展開して不定積分

btakeshi

多項式の不定積分、分数が入っても大丈夫かな。まだの人は下のページで練習してから戻ってこよう。

btakeshi

不定積分する式が因数分解されている問題に挑戦です。これは展開してから、今まで通り積分するだけです。意外と展開を間違えることがあるので注意して解きましょう。

「ますどら」へようこそ！

数学を楽しむためには、基本となる問題を繰り返し問いて身につけることが大切です。このページでは可能な限り同じパターンの問題を集めてあります。問題を見たら解き方が見えてくるようになるまで頑張ってみましょう。

不定積分のキホン

まとめ「不定積分」

まず積の形になっている場合は展開してから積分します。

x

を増やす

$\displaystyle\int 式\ \colorbox{cornsilk}{$dx$}$ なら $\colorbox{cornsilk}{$x$}$ を増やす
$\displaystyle\int 式\ \colorbox{honeydew}{$dt$}$ なら $\colorbox{honeydew}{$t$}$ を増やす
$\displaystyle\int 式\ \colorbox{lavenderblush}{$du$}$ なら $\colorbox{lavenderblush}{$u$}$ を増やす
ただの数には $x$ をつける

x

の肩の数で割る

積分定数

+C

約分・係数を整理して完成！

次の不定積分を求めよう♪

\displaystyle\int (x-1)(x-2)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colPoint{\hosoku\color{red}} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \colPoint{}まず& \colPoint\Rightarrow{}展開\\ \int (x-1)(x-2)\ dx & =\int (x^2-3x+2)\ dx\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^3-3x^2+2x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\\ \colStepC{}③+積分定数 & \\ &= \frac{1}{3}x^3-\frac32x^2+2x + C \end{align*}

\displaystyle\int (x+1)(x+3)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colPoint{\hosoku\color{red}} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \colPoint{}まず& \colPoint\Rightarrow{}展開\\ \int (x+1)(x+3)\ dx & =\int (x^2+4x+3)\ dx\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^3+4x^2+3x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^3}{3}+\frac{4x^2}{2}+3x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x + C \end{align*}

\displaystyle\int (x-1)(x+2)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colPoint{\hosoku\color{red}} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \colPoint{}まず& \colPoint\Rightarrow{}展開\\ \int (x-1)(x+2)\ dx & =\int (x^2+x-2)\ dx\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^3+x^2-2x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= \frac{1}{3}x^3+\frac12x^2-2x + C \end{align*}

\displaystyle\int (2x+3)^2\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colPoint{\hosoku\color{red}} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \colPoint{}まず& \colPoint\Rightarrow{}展開\\ \int (2x+3)^2\ dx & =\int (4x^2+12x+9)\ dx\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 4x^3+12x^2+9x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{4x^3}{3}+\frac{12x^2}{2}+9x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= \frac{4}{3}x^3+6x^2+9x + C \end{align*}

\displaystyle\int (x+1)^3\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colPoint{\hosoku\color{red}} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \colPoint{}まず& \colPoint\Rightarrow{}展開\\ \int (x+1)^3\ dx & =\int (x^3+3x^2+3x+1)\ dx\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^4+3x^3+3x^2+1x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^4}{4}+\frac{3x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+1x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= \frac14x^4+x^3+\frac32x^2+x + C \end{align*}

\displaystyle\int (3t+2)^2\ dt

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colPoint{\hosoku\color{red}} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \colPoint{}まず& \colPoint\Rightarrow{}展開\\ \int (3t+2)^2\ \colorbox{mistyrose}{$dt$} & =\int (9t^2+12t+4)\ dt\\ \colStepA{}①\ \colorbox{mistyrose}{$t$}\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 9t^3+12t^2+4t\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{9t^3}{3}+\frac{12t^2}{2}+4t\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= 3t^3+6t^2+4t + C \end{align*}

\displaystyle\int (u+5)(u-5)\ du

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colPoint{\hosoku\color{red}} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \colPoint{}まず& \colPoint\Rightarrow{}展開\\ \int (u+5)(u-5)\ \colorbox{mistyrose}{$du$} & =\int (u^2-25)\ du\\ \colStepA{}①\ \colorbox{mistyrose}{$u$}\ を増やす & \colStepA\Rightarrow u^3-25u\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{u^3}{3}-25u\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= \frac13u^3-25u + C \end{align*}