単項式の不定積分

「ますどら」へようこそ！

数学を楽しむためには、基本となる問題を繰り返し問いて身につけることが大切です。このページでは可能な限り同じパターンの問題を集めてあります。問題を見たら解き方が見えてくるようになるまで頑張ってみましょう。

不定積分のキホン

まとめ「不定積分」

まず積の形になっている場合は展開してから積分します。

x

を増やす

$\displaystyle\int 式\ \colorbox{cornsilk}{$dx$}$ なら $\colorbox{cornsilk}{$x$}$ を増やす
$\displaystyle\int 式\ \colorbox{honeydew}{$dt$}$ なら $\colorbox{honeydew}{$t$}$ を増やす
$\displaystyle\int 式\ \colorbox{lavenderblush}{$du$}$ なら $\colorbox{lavenderblush}{$u$}$ を増やす
ただの数には $x$ をつける

x

の肩の数で割る

積分定数

+C

約分・係数を整理して完成！

次の不定積分を求めよう♪

btakeshi

最もシンプルな「単項式の不定積分」です。単項式が出来れば「多項式」も簡単です。キホンをしっかりと身につけましょう。

\displaystyle\int dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \scriptsize\color{red}\downarrow\quad & \scriptsize\color{red}\qquad\quad\downarrow省略\\ \int dx &= \int \colorbox{pink}{1} \ dx\\ & \qquad\begin{align*} \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 1x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow 1x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ \end{align*}\\ &= x + C \end{align*}

\displaystyle\int x\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} & \int x \ dx\\ & \qquad\begin{align*} \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^2\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^2}{2}\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ \end{align*}\\ &= \frac{1}{2}x^2 + C \end{align*}

\displaystyle\int x^2\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} & \int x^2 \ dx\\ & \qquad\begin{align*} \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^3\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^3}{3}\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ \end{align*}\\ &= \frac{1}{3}x^3 + C \end{align*}

\displaystyle\int 7\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} & \int 7 \ dx\\ & \qquad\begin{align*} \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 7x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow 7x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ \end{align*}\\ &= 7x + C \end{align*}

\displaystyle\int x^3\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} & \int x^3 \ dx\\ & \qquad\begin{align*} \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^4\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^4}{4}\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ \end{align*}\\ &= \frac{1}{4}x^4 + C \end{align*}

\displaystyle\int x^4\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} & \int x^4 \ dx\\ & \qquad\begin{align*} \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^5\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^5}{5}\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ \end{align*}\\ &= \frac{1}{5}x^5 + C \end{align*}

\displaystyle\int (-5)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} & \int (-5) \ dx\\ & \qquad\begin{align*} \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow -5x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow -5x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ \end{align*}\\ &= -5x + C \end{align*}