btakeshi
単項式の不定積分は身についたかな。まだの人は下のページで練習してから戻ってこよう。
単項式の不定積分
btakeshi
準備が出来たら多項式の不定積分に挑戦です。ただし解き方は単項式の場合と同じステップを踏むだけだから簡単です。では頑張っていきましょう。
「ますどら」へようこそ！
数学を楽しむためには、基本となる問題を繰り返し問いて身につけることが大切です。このページでは可能な限り同じパターンの問題を集めてあります。問題を見たら解き方が見えてくるようになるまで頑張ってみましょう。
不定積分のキホンを確認しよう！
不定積分のキホン
- x を増やす
- x の肩の数で割る
- 積分定数 +C をつける
まず積の形になっている場合は展開してから積分します。
x を増やす
- \displaystyle\int 式\ \colorbox{cornsilk}{$dx$} なら \colorbox{cornsilk}{$x$} を増やす
- \displaystyle\int 式\ \colorbox{honeydew}{$dt$} なら \colorbox{honeydew}{$t$} を増やす
- \displaystyle\int 式\ \colorbox{lavenderblush}{$du$} なら \colorbox{lavenderblush}{$u$} を増やす
- ただの数には x をつける
x の肩の数で割る
- 肩の数で「割る」➡肩の数を「分母」に
- 微分は「かける」、積分は「わる」
- 肩の数がない➡何もしない
積分定数+C
約分・係数を整理して完成！
- STEP.1〜3の手順で式を変形し、最後に約分をして、係数を整理したら完成です。
- 最初の頃はSTEPを意識して、ゆっくりと丁寧に計算を進めましょう。
- 何度も練習しているうち
次の不定積分を求めよう♪
\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (3x^2-4x+2)\ dx &\\
\colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 3x^3-4x^2+2x\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{3x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+2x\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= x^3-2x^2+2x + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (x^2-3x+2)\ dx &\\
\colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^3-3x^2+2x\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= \frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (6x^2+x-5)\ dx &\\
\colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 6x^3+x^2-5x\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{6x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-5x\\
\colStepC{}③+積分定数 & \\
&= 2x^3+\frac{1}{2}x^2-5x + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (x^3+4)\ dx &\\
\colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^4+4x\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^4}{4}+4x\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= \frac{1}{4}x^4+4x + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (x^2+4x+3)\ dx &\\
\colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^3+4x^2+3x\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^3}{3}+\frac{4x^2}{2}+3x\\
\colStepC{}③+積分定数 & \colStepC\Rightarrow \frac{x^3}{3}+\frac{4x^2}{2}+3x+C\\\\
&= \frac{1}{3}x^3+2x^2+3x + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (2x-1)\ dx &\\
\colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 2x^2-1x\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{2x^2}{2}-1x\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= x^2-x + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (x^2-3x-2)\ dx &\\
\colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow x^3-3x^2-2x\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-2x\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= \frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2-2x + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (4x^3-3x^2-2x-1)\ dx &\\
\colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 4x^4-3x^3-2x^2-x\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{4x^4}{4}-\frac{3x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}-x\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= x^4-x^3-x^2-x + C
\end{align*}次の不定積分を求めよう♪（文字違い）
btakeshi
ここからは積分する文字が変わります。dx ではないので間違えないように注意して解きましょう。文字が違うだけで解き方は同じです。
\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (9t^2+12t+4)\ \colorbox{mistyrose}{$dt$} &\\
\colStepA{}①\ \colorbox{mistyrose}{$t$}\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 9t^3+12t^2+4t\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{9t^3}{3}+\frac{12t^2}{2}+4t\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= 3t^3+6t^2+4t + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (-3t^2+6t+5)\ \colorbox{mistyrose}{$dt$} &\\
\colStepA{}①\ \colorbox{mistyrose}{$t$}\ を増やす & \colStepA\Rightarrow -3t^3+6t^2+5t\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{-3t^3}{3}+\frac{6t^2}{2}+5t\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= -t^3+3t^2+5t + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (y^3-2y)\ \colorbox{mistyrose}{$dy$} &\\
\colStepA{}①\ \colorbox{mistyrose}{$y$}\ を増やす & \colStepA\Rightarrow y^4-2y^2\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{y^4}{4}-\frac{2y^2}{2}\\
\colStepC{}③+積分定数 & \\
&= \frac{1}{4}y^4-y^2 + C
\end{align*}\def\hosoku{\scriptsize}
\def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}}
\def\colStepB{\hosoku\color{green}}
\def\colStepC{\hosoku\color{purple}}
\def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}}
\begin{align*}
\int (u^2-25)\ \colorbox{mistyrose}{$du$} &\\
\colStepA{}①\ \colorbox{mistyrose}{$u$}\ を増やす & \colStepA\Rightarrow u^3-25u\\
\colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{u^3}{3}-25u\\
\colStepC{}③+積分定数 &\\
&= \frac{1}{3}u^3-25u + C
\end{align*}
