分数入り不定積分

btakeshi

多項式の不定積分は大丈夫かな。まだの人は下のページで練習してから戻ってこよう。

btakeshi

続いては多項式の不定積分に、分数が入った問題に挑戦です。別に解き方は多項式の場合と同じですが、分数の計算が入るので丁寧に。では頑張っていきましょう。

「ますどら」へようこそ！

数学を楽しむためには、基本となる問題を繰り返し問いて身につけることが大切です。このページでは可能な限り同じパターンの問題を集めてあります。問題を見たら解き方が見えてくるようになるまで頑張ってみましょう。

不定積分のキホン

まとめ「不定積分」

まず積の形になっている場合は展開してから積分します。

x

を増やす

$\displaystyle\int 式\ \colorbox{cornsilk}{$dx$}$ なら $\colorbox{cornsilk}{$x$}$ を増やす
$\displaystyle\int 式\ \colorbox{honeydew}{$dt$}$ なら $\colorbox{honeydew}{$t$}$ を増やす
$\displaystyle\int 式\ \colorbox{lavenderblush}{$du$}$ なら $\colorbox{lavenderblush}{$u$}$ を増やす
ただの数には $x$ をつける

x

の肩の数で割る

積分定数

+C

約分・係数を整理して完成！

次の不定積分を求めよう♪

\displaystyle\int \left(\frac14x^2+\frac13x+5\right)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \int \left(\frac14x^2+\frac13x+5\right)\ dx &\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow \frac14x^3+\frac13x^2+5x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac14\cdot\frac{x^3}{3}+\frac13\cdot\frac{x^2}{2}+5x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= \frac{1}{12}x^3+\frac16x^2+5x + C \end{align*}

\displaystyle\int \left(-\frac32x^3+\frac34x^2+\frac32\right)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \int \left(-\frac32x^3+\frac34x^2+\frac32\right)\ dx &\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow -\frac32x^4+\frac34x^3+\frac23x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow -\frac32\cdot\frac{x^4}{4}+\frac34\cdot\frac{x^3}{3}+\frac23x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= -\frac{3}{8}x^4+\frac14x^2+\frac23x + C \end{align*}

\displaystyle\int \left(\frac23x^3-3x^2+1\right)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \int \left(\frac23x^3-3x^2+1\right)\ dx &\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow \frac23x^4-3x^3+1x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac23\cdot\frac{x^4}{4}-\frac{3x^3}{3}+1x\\ \colStepC{}③+積分定数 &\\ &= \frac{1}{6}x^4-x^3+x + C \end{align*}

\displaystyle\int \left(\frac23x^3+x^2+1\right)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \int \left(\frac23x^3+x^2+1\right)\ dx &\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow \frac23x^4+x^3+1x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac23\cdot\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+1x\\ \colStepC{}③+積分定数 & \\ &= \frac{1}{6}x^4+\frac13x^3+x + C \end{align*}

\displaystyle\int \left(3x^2-\frac23x+1\right)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \int \left(3x^2-\frac23x+1\right)\ dx &\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow 3x^3-\frac23x^2+1x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac{3x^3}{3}-\frac23\cdot\frac{x^2}{2}+1x\\ \colStepC{}③+積分定数 & \\ &= x^3-\frac13x^2+x + C \end{align*}

\displaystyle\int \left(-\frac13x^3+\frac12x+1\right)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \int \left(-\frac13x^3+\frac12x+1\right)\ dx &\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow -\frac13x^4+\frac12x^2+1x\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow -\frac13\cdot\frac{x^4}{4}+\frac12\cdot\frac{x^2}{2}+1x\\ \colStepC{}③+積分定数 & \\ &= -\frac{1}{12}x^4+\frac14x^2+x + C \end{align*}

\displaystyle\int \left(\frac14-\frac32x^2+\frac12x^3\right)\ dx

\def\hosoku{\scriptsize} \def\colStepA{\hosoku\color{darkorange}} \def\colStepB{\hosoku\color{green}} \def\colStepC{\hosoku\color{purple}} \def\colStepD{\hosoku\color{skyblue}} \begin{align*} \int \left(\frac14-\frac32x^2+\frac12x^3\right)\ dx &\\ \colStepA{}①\ x\ を増やす & \colStepA\Rightarrow \frac14x-\frac32x^3+\frac12x^4\\ \colStepB{}②肩の数で割る & \colStepB\Rightarrow \frac14x-\frac32\cdot\frac{x^3}{3}+\frac12\cdot\frac{x^4}{4}\\ \colStepC{}③+積分定数 & \\ &= \frac14x-\frac12x^3+\frac18x^4 + C\\\\ &= \frac18x^4-\frac12x^3+\frac14x + C \end{align*}