相互関係を利用して等式を証明しよう

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{方針}\ \scriptsize\color{red}\ \tan\theta\ が扱いづらいので\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\ ➡\ \tan\theta\ を含む相互関係を利用しよう！\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\ ➡\ 左辺\ に\ \tan\theta\ があるから，左辺から右辺に変形！\\
\\
& \colorbox{bisque}{$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$}\textcolor{orange}{\scriptsize\cdots ①}\ より\ \scriptsize\color{red}両辺の逆数を求めて\\
& \qquad\colorbox{palegreen}{$\dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$}\ \scriptsize\color{green}\cdots ②\\
\\
&\begin{align*}
& \scriptsize\color{orange}\qquad ①より\color{green}\qquad ②より\\
左辺 &= \colorbox{bisque}{$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$} + \colorbox{palegreen}{$\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$}\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{green}\Darr\ 分数の足し算\\
&= \dfrac{\colorbox{bisque}{$\sin\theta$}\colorbox{palegreen}{$\sin\theta$}+\colorbox{palegreen}{$\cos\theta$}\colorbox{bisque}{$\cos\theta$}}{\colorbox{bisque}{$\cos\theta$}\colorbox{palegreen}{$\sin\theta$}}\\
\\
&= \dfrac{\colorbox{plum}{$\sin^2\theta+\cos^2\theta$}}{\sin\theta\cos\theta}\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{magenta}\Darr\ s^2+c^2=1\\
&= \dfrac{\colorbox{plum}{$1$}}{\sin\theta\cos\theta} = 右辺\\
\scriptsize\color{red}左辺 & \scriptsize\color{red}\ が\ 右辺と等しいから\\
\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad \tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}
\quad\color{gray}\fbox{\scriptsize\bf 終}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{方針}\ \scriptsize\color{red}\ 右辺は定数だから\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\ ➡\ 左辺を計算して右辺を導こう！\\
\\
&\begin{align*}
& \scriptsize\color{orange}\qquad(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\ を利用して展開\\
左辺 &= \sin^2\theta \colorbox{palegreen}{$+\,2\sin\theta\cos\theta$} + \cos^2\theta\\
& \qquad +\sin^2\theta \colorbox{palegreen}{$-2\sin\theta\cos\theta$}+\cos^2\theta\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{green}\Darr\ 式を整理\\
&= \fcolorbox{magenta}{white}{$2$}\sin^2\theta + \fcolorbox{magenta}{white}{$2$}\cos^2\theta\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{magenta}\Darr\ 共通してるから因数分解\\
&= \fcolorbox{magenta}{white}{$2$}\left(\colorbox{lightcyan}{$\sin^2\theta + \cos^2\theta$}\right)\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{deepskyblue}\Darr\ \fbox{$s^2+c^2=1$}\\
&= 2 \times \colorbox{lightcyan}{$1$}\\
\\
&= 2 = 右辺\\
\scriptsize\color{red}左辺 & \scriptsize\color{red}\ が\ 右辺と等しいから\\
\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad \left(\sin\theta + \cos\theta\right)^2 + \left(\sin\theta - \cos\theta\right)^2 = 2
\quad\color{gray}\fbox{\scriptsize\bf 終}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{方針}\ \scriptsize\color{red}\ \tan\theta\ が扱いづらいので\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\ ➡\ \tan\theta\ を含む相互関係を利用しよう！\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\ ➡\ 左辺は和，右辺は積だから，右辺から左辺に変形！\\
\\
& 1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\ より\ \scriptsize\color{red}\tan^2\theta\ について解くと\\
& \qquad\colorbox{bisque}{$\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}-1$}\ \scriptsize\color{orange}\cdots ①\\
\\
& \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\ より\ \scriptsize\color{red}両辺\ 2\ 乗して\\
& \qquad\colorbox{plum}{$\tan^2\theta = \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$}\ \scriptsize\color{magenta}\cdots ②\\
\\
&\begin{align*}
& \scriptsize\color{orange}\qquad ①を利用して右辺を置き換える\\
右辺 &= \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{\cos^2\theta}-1$}\right) \sin^2\theta\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{green}\Darr\ 展開\\
&= \fcolorbox{magenta}{white}{$\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$} - \sin^2\theta\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{magenta}\Darr\ ②を利用して置き換える\\
&= \fcolorbox{magenta}{white}{$\tan^2\theta$} - \sin^2\theta = 左辺\\
\scriptsize\color{red}右辺 & \scriptsize\color{red}\ が\ 左辺と等しいから\\
\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad \tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta\sin^2\theta
\quad\color{gray}\fbox{\scriptsize\bf 終}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{方針}\ \scriptsize\color{red}\ \tan\theta\ が扱いづらいので\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\ ➡\ \tan\theta\ を含む相互関係を利用しよう！\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\ ➡\ 左辺は和，右辺は積だけど，左辺から右辺に挑戦！\\
\\
& 1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\ より\ \scriptsize\color{red}\tan^2\theta\ について解くと\\
& \qquad\colorbox{bisque}{$\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}-1$}\ \scriptsize\color{orange}\cdots ①\\
\\
& \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\ より\ \scriptsize\color{red}両辺\ 2\ 乗して\\
& \qquad\colorbox{plum}{$\tan^2\theta = \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$}\ \scriptsize\color{magenta}\cdots ②\\
\\
&\begin{align*}
& \scriptsize\color{magenta}\qquad ②を利用して左辺を置き換える\\
左辺 &= \fcolorbox{magenta}{white}{$\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$} - \sin^2\theta\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{green}\Darr\ 因数分解して\\
&= \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{\cos^2\theta}-1$}\right) \sin^2\theta\\
& \qquad\qquad\scriptsize\color{orange}\Darr\ ①を利用して置き換える\\
&= \colorbox{bisque}{$\tan^2\theta$} \sin^2\theta = 右辺\\
\scriptsize\color{red}左辺 & \scriptsize\color{red}\ が\ 右辺と等しいから\\
\end{align*}\\
& よって,\\
& \qquad \tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta\sin^2\theta
\quad\color{gray}\fbox{\scriptsize\bf 終}
\end{align*}