\triangle{\rm OAB} において,次の式を満たす点 {\rm P} の存在範囲を求めよ。
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\overrightarrow{\rm OP} = s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\ は\ s+t=1\ なら\ {\rm P}\ は直線{\rm AB}上に\\ & \scriptsize\color{red}\quad だけど\ ・・・\ s+t=2\\ & s+t=2\ から \scriptsize\color{red}\quad両辺に\ \frac{1}{2}\ をかけて\\ & \qquad \frac{s}{2} + \frac{t}{2} = 1\ \scriptsize\color{red}・・・\ 1になった!\\ \\ & ここで\\ & \qquad \frac{s}{2} = s',\ \frac{t}{2} = t'\ とおくと\scriptsize\color{red}\quad s'+t'=1\\ & \scriptsize\color{red}\qquad s = 2 s',\ t = 2 t'\ だから\\ & \begin{align*} \overrightarrow{\rm OP} &= s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\\ &= 2 s' \,\overrightarrow{\rm OA} + 2 t'\,\overrightarrow{\rm OB}\\ &= \colorbox{bisque}{$s'$} \,\left(2 \overrightarrow{\rm OA}\right) + \colorbox{bisque}{$t'$} \,\left(2 \overrightarrow{\rm OB}\right)\\ &\qquad\colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\ \end{align*}\\ \\ & よって,\scriptsize\color{green}\quad 説明しやすいように点に名前をつける!\\ & \qquad 2 \overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{\rm OA'},\ 2 \overrightarrow{\rm OB} = \overrightarrow{\rm OB'}\\ & となる点\ {\rm A}',\ {\rm B}'\ をとると\\ \\ & \qquad\overrightarrow{\rm O\colorbox{mistyrose}{P}} = \colorbox{bisque}{$s'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{A$'$}} + \colorbox{bisque}{$t'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{B$'$}},\\ & \qquad\quad \colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\ \\ & したがって,\\ & \qquad 点\colorbox{mistyrose}{\rm P}の存在範囲は線分\colorbox{palegreen}{\rm A$'$B$'$}である。\end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\overrightarrow{\rm OP} = s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\ は\ s+t=1\ なら\ {\rm P}\ は直線{\rm AB}上に\\ & \scriptsize\color{red}\quad だけど\ ・・・\ s+t=\frac{1}{2}\\ & s+t=\frac{1}{2}\ から \scriptsize\color{red}\quad両辺に\ 2\ をかけて\\ & \qquad 2 s + 2 t = 1\ \scriptsize\color{red}・・・\ 1になった!\\ \\ & ここで\\ & \qquad 2 s = s',\ 2 t = t'\ とおくと\scriptsize\color{red}\quad s'+t'=1\\ & \scriptsize\color{red}\qquad s = \frac{1}{2} s',\ t = \frac{1}{2} t'\ だから\\ & \begin{align*} \overrightarrow{\rm OP} &= s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\\ &= \frac{1}{2} s' \,\overrightarrow{\rm OA} + \frac{1}{2} t'\,\overrightarrow{\rm OB}\\ &= \colorbox{bisque}{$s'$} \,\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\rm OA}\right) + \colorbox{bisque}{$t'$} \,\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\rm OB}\right)\\ &\qquad\colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\ \end{align*}\\ \\ & よって,\scriptsize\color{green}\quad 説明しやすいように点に名前をつける!\\ & \qquad \frac{1}{2} \overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{\rm OA'},\ \frac{1}{2} \overrightarrow{\rm OB} = \overrightarrow{\rm OB'}\\ & となる点\ {\rm A}',\ {\rm B}'\ をとると\\ \\ & \qquad\overrightarrow{\rm O\colorbox{mistyrose}{P}} = \colorbox{bisque}{$s'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{A$'$}} + \colorbox{bisque}{$t'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{B$'$}},\\ & \qquad\quad \colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\ \\ & したがって,\\ & \qquad 点\colorbox{mistyrose}{\rm P}の存在範囲は線分\colorbox{palegreen}{\rm A$'$B$'$}である。\end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\overrightarrow{\rm OP} = s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\ は\ s+t=1\ なら\ {\rm P}\ は直線{\rm AB}上に\\ & \scriptsize\color{red}\quad だけど\ ・・・\ s+t=\frac{1}{3}\\ & s+t=\frac{1}{3}\ から \scriptsize\color{red}\quad両辺に\ 3\ をかけて\\ & \qquad 3 s + 3 t = 1\ \scriptsize\color{red}・・・\ 1になった!\\ \\ & ここで\\ & \qquad 3 s = s',\ 3 t = t'\ とおくと\scriptsize\color{red}\quad s'+t'=1\\ & \scriptsize\color{red}\qquad s = \frac{1}{3} s',\ t = \frac{1}{3} t'\ だから\\ & \begin{align*} \overrightarrow{\rm OP} &= s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\\ &= \frac{1}{3} s' \,\overrightarrow{\rm OA} + \frac{1}{3} t'\,\overrightarrow{\rm OB}\\ &= \colorbox{bisque}{$s'$} \,\left(\frac{1}{3} \overrightarrow{\rm OA}\right) + \colorbox{bisque}{$t'$} \,\left(\frac{1}{3} \overrightarrow{\rm OB}\right)\\ &\qquad\colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\ \end{align*}\\ \\ & よって,\scriptsize\color{green}\quad 説明しやすいように点に名前をつける!\\ & \qquad \frac{1}{3} \overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{\rm OA'},\ \frac{1}{3} \overrightarrow{\rm OB} = \overrightarrow{\rm OB'}\\ & となる点\ {\rm A}',\ {\rm B}'\ をとると\\ \\ & \qquad\overrightarrow{\rm O\colorbox{mistyrose}{P}} = \colorbox{bisque}{$s'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{A$'$}} + \colorbox{bisque}{$t'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{B$'$}},\\ & \qquad\quad \colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\ \\ & したがって,\\ & \qquad 点\colorbox{mistyrose}{\rm P}の存在範囲は線分\colorbox{palegreen}{\rm A$'$B$'$}である。\end{align*}