２点を通る直線のベクトル方程式
異なる２点 {\rm A}(\overrightarrow{a})，{\rm B}(\overrightarrow{b}) を通る直線 {\rm AB} のベクトル方程式は
\Large\overrightarrow{p} = \colorbox{mistyrose}{$s$}\,\overrightarrow{a}+\colorbox{mistyrose}{$t$}\,\overrightarrow{b}，\colorbox{mistyrose}{$s+t=1$}s+t=1 より s=1-t であるから，
\overrightarrow{p} = \colorbox{mistyrose}{$(1-t)$}\,\overrightarrow{a}+\colorbox{mistyrose}{$t$}\,\overrightarrow{b}，\quad\scriptsize\colorbox{mistyrose}{$(1-t)+t=1$}
\triangle{\rm OAB} において，次の式を満たす点 {\rm P} の存在範囲を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\overrightarrow{\rm OP} = s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\ は\ s+t=1\ なら\ {\rm P}\ は直線{\rm AB}上に\\
& \scriptsize\color{red}\quad だけど\ ・・・\ s+t=2\\
& s+t=2\ から \scriptsize\color{red}\quad両辺に\ \frac{1}{2}\ をかけて\\
& \qquad \frac{s}{2} + \frac{t}{2} = 1\ \scriptsize\color{red}・・・\ １になった！\\
\\
& ここで\\
& \qquad \frac{s}{2} = s',\ \frac{t}{2} = t'\ とおくと\scriptsize\color{red}\quad s'+t'=1\\
& \scriptsize\color{red}\qquad s = 2 s',\ t = 2 t'\ だから\\
& \begin{align*}
\overrightarrow{\rm OP} &= s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\\
&= 2 s' \,\overrightarrow{\rm OA} + 2 t'\,\overrightarrow{\rm OB}\\
&= \colorbox{bisque}{$s'$} \,\left(2 \overrightarrow{\rm OA}\right) + \colorbox{bisque}{$t'$} \,\left(2 \overrightarrow{\rm OB}\right)\\
&\qquad\colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\
\end{align*}\\
\\
& よって,\scriptsize\color{green}\quad 説明しやすいように点に名前をつける！\\
& \qquad 2 \overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{\rm OA'},\ 2 \overrightarrow{\rm OB} = \overrightarrow{\rm OB'}\\
& となる点\ {\rm A}',\ {\rm B}'\ をとると\\
\\
& \qquad\overrightarrow{\rm O\colorbox{mistyrose}{P}} = \colorbox{bisque}{$s'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{A$'$}} + \colorbox{bisque}{$t'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{B$'$}},\\
& \qquad\quad \colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\
\\
& したがって,\\
& \qquad 点\colorbox{mistyrose}{\rm P}の存在範囲は線分\colorbox{palegreen}{\rm A$'$B$'$}である。\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\overrightarrow{\rm OP} = s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\ は\ s+t=1\ なら\ {\rm P}\ は直線{\rm AB}上に\\
& \scriptsize\color{red}\quad だけど\ ・・・\ s+t=\frac{1}{2}\\
& s+t=\frac{1}{2}\ から \scriptsize\color{red}\quad両辺に\ 2\ をかけて\\
& \qquad 2 s + 2 t = 1\ \scriptsize\color{red}・・・\ １になった！\\
\\
& ここで\\
& \qquad 2 s = s',\ 2 t = t'\ とおくと\scriptsize\color{red}\quad s'+t'=1\\
& \scriptsize\color{red}\qquad s = \frac{1}{2} s',\ t = \frac{1}{2} t'\ だから\\
& \begin{align*}
\overrightarrow{\rm OP} &= s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\\
&= \frac{1}{2} s' \,\overrightarrow{\rm OA} + \frac{1}{2} t'\,\overrightarrow{\rm OB}\\
&= \colorbox{bisque}{$s'$} \,\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\rm OA}\right) + \colorbox{bisque}{$t'$} \,\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\rm OB}\right)\\
&\qquad\colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\
\end{align*}\\
\\
& よって,\scriptsize\color{green}\quad 説明しやすいように点に名前をつける！\\
& \qquad \frac{1}{2} \overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{\rm OA'},\ \frac{1}{2} \overrightarrow{\rm OB} = \overrightarrow{\rm OB'}\\
& となる点\ {\rm A}',\ {\rm B}'\ をとると\\
\\
& \qquad\overrightarrow{\rm O\colorbox{mistyrose}{P}} = \colorbox{bisque}{$s'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{A$'$}} + \colorbox{bisque}{$t'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{B$'$}},\\
& \qquad\quad \colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\
\\
& したがって,\\
& \qquad 点\colorbox{mistyrose}{\rm P}の存在範囲は線分\colorbox{palegreen}{\rm A$'$B$'$}である。\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\overrightarrow{\rm OP} = s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\ は\ s+t=1\ なら\ {\rm P}\ は直線{\rm AB}上に\\
& \scriptsize\color{red}\quad だけど\ ・・・\ s+t=\frac{1}{3}\\
& s+t=\frac{1}{3}\ から \scriptsize\color{red}\quad両辺に\ 3\ をかけて\\
& \qquad 3 s + 3 t = 1\ \scriptsize\color{red}・・・\ １になった！\\
\\
& ここで\\
& \qquad 3 s = s',\ 3 t = t'\ とおくと\scriptsize\color{red}\quad s'+t'=1\\
& \scriptsize\color{red}\qquad s = \frac{1}{3} s',\ t = \frac{1}{3} t'\ だから\\
& \begin{align*}
\overrightarrow{\rm OP} &= s\,\overrightarrow{\rm OA} + t\,\overrightarrow{\rm OB}\\
&= \frac{1}{3} s' \,\overrightarrow{\rm OA} + \frac{1}{3} t'\,\overrightarrow{\rm OB}\\
&= \colorbox{bisque}{$s'$} \,\left(\frac{1}{3} \overrightarrow{\rm OA}\right) + \colorbox{bisque}{$t'$} \,\left(\frac{1}{3} \overrightarrow{\rm OB}\right)\\
&\qquad\colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\
\end{align*}\\
\\
& よって,\scriptsize\color{green}\quad 説明しやすいように点に名前をつける！\\
& \qquad \frac{1}{3} \overrightarrow{\rm OA} = \overrightarrow{\rm OA'},\ \frac{1}{3} \overrightarrow{\rm OB} = \overrightarrow{\rm OB'}\\
& となる点\ {\rm A}',\ {\rm B}'\ をとると\\
\\
& \qquad\overrightarrow{\rm O\colorbox{mistyrose}{P}} = \colorbox{bisque}{$s'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{A$'$}} + \colorbox{bisque}{$t'$}\overrightarrow{\rm O\colorbox{palegreen}{B$'$}},\\
& \qquad\quad \colorbox{bisque}{$s'+t'=1$},\ s' \geqq 0,\ t' \geqq 0\\
\\
& したがって,\\
& \qquad 点\colorbox{mistyrose}{\rm P}の存在範囲は線分\colorbox{palegreen}{\rm A$'$B$'$}である。\end{align*}
