2点 {\rm A}(\,\overrightarrow{a}\,)，{\rm B}(\,\overrightarrow{b}\,) を結ぶ線分 {\rm AB} に対して，次のような点の位置ベクトルを求めよ。
【解答】
\begin{align*}& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 3 + 4}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{\color{orange}3 + 4}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{4}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{3} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{3 + 4}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{4 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 3 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{3 + 4}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 3 : 4\ に 内分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{3 + 4}
&= \dfrac{4 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{7}\\
&= \frac{4}{7}\overrightarrow{a} +\frac{3}{7}\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 外分・・・小さい方にマイナス！}\\
& \qquad\textcolor{red}{3 : 4\ に外分 \Longrightarrow -3 : 4}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ -3 + 4}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}4\overrightarrow{a} + (-3)\overrightarrow{b}}{\color{orange}-3 + 4}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{4}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{(-3)} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{-3 + 4}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{4 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + (-3) \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{-3 + 4}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 3 : 4\ に 外分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{4\overrightarrow{a} + (-3)\overrightarrow{b}}{-3 + 4}
&= \dfrac{4 \overrightarrow{a} - 3 \overrightarrow{b}}{1}\\
&= 4\overrightarrow{a} -3\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 3 + 2}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{\color{orange}3 + 2}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{2}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{3} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{3 + 2}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{2 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 3 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{3 + 2}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 3 : 2\ に 内分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{3 + 2}
&= \dfrac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{5}\\
&= \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{3}{5}\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 外分・・・小さい方にマイナス！}\\
& \qquad\textcolor{red}{3 : 2\ に外分 \Longrightarrow 3 : -2}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 3 + (-2)}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}-2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{\color{orange}3 + (-2)}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{-2}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{3} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{3 + (-2)}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{-2 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 3 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{3 + (-2)}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 3 : 2\ に 外分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{-2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{3 + (-2)}
&= \dfrac{- 2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{1}\\
&= -2\overrightarrow{a} +3\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 2 + 3}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}}{\color{orange}2 + 3}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{3}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{2} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{2 + 3}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{3 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 2 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{2 + 3}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 2 : 3\ に 内分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}}{2 + 3}
&= \dfrac{3 \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}}{5}\\
&= \frac{3}{5}\overrightarrow{a} +\frac{2}{5}\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 外分・・・小さい方にマイナス！}\\
& \qquad\textcolor{red}{2 : 3\ に外分 \Longrightarrow -2 : 3}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ -2 + 3}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}3\overrightarrow{a} + (-2)\overrightarrow{b}}{\color{orange}-2 + 3}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{3}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{(-2)} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{-2 + 3}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{3 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + (-2) \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{-2 + 3}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 2 : 3\ に 外分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{3\overrightarrow{a} + (-2)\overrightarrow{b}}{-2 + 3}
&= \dfrac{3 \overrightarrow{a} - 2 \overrightarrow{b}}{1}\\
&= 3\overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 3 + 1}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}1\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{\color{orange}3 + 1}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{1}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{3} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{3 + 1}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{1 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 3 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{3 + 1}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 3 : 1\ に 内分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{1\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{3 + 1}
&= \dfrac{\overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{4}\\
&= \frac{1}{4}\overrightarrow{a} +\frac{3}{4}\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 外分・・・小さい方にマイナス！}\\
& \qquad\textcolor{red}{3 : 1\ に外分 \Longrightarrow 3 : -1}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 3 + (-1)}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}-1\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{\color{orange}3 + (-1)}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{-1}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{3} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{3 + (-1)}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{-1 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 3 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{3 + (-1)}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 3 : 1\ に 外分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{-1\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}}{3 + (-1)}
&= \dfrac{- \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2}\\
&= - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} +\frac{3}{2}\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 4 + 1}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}1\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}}{\color{orange}4 + 1}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{1}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{4} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{4 + 1}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{1 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 4 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{4 + 1}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 4 : 1\ に 内分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{1\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}}{4 + 1}
&= \dfrac{\overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b}}{5}\\
&= \frac{1}{5}\overrightarrow{a} +\frac{4}{5}\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 外分・・・小さい方にマイナス！}\\
& \qquad\textcolor{red}{4 : 1\ に外分 \Longrightarrow 4 : -1}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 4 + (-1)}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}-1\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}}{\color{orange}4 + (-1)}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{-1}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{4} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{4 + (-1)}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{-1 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 4 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{4 + (-1)}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 4 : 1\ に 外分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{-1\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}}{4 + (-1)}
&= \dfrac{- \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b}}{3}\\
&= - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} +\frac{4}{3}\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ 1 + 2}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}2\overrightarrow{a} + 1\overrightarrow{b}}{\color{orange}1 + 2}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{2}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{1} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{1 + 2}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{2 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + 1 \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{1 + 2}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 1 : 2\ に 内分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{2\overrightarrow{a} + 1\overrightarrow{b}}{1 + 2}
&= \dfrac{2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{3}\\
&= \frac{2}{3}\overrightarrow{a} +\frac{1}{3}\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 外分・・・小さい方にマイナス！}\\
& \qquad\textcolor{red}{1 : 2\ に外分 \Longrightarrow -1 : 2}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順①}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母\ -1 + 2}\\
& \qquad\dfrac{\color{lightgray}2\overrightarrow{a} + (-1)\overrightarrow{b}}{\color{orange}-1 + 2}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順②}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ 分母を入れ替えて分子に}\\
& \qquad\dfrac{\textcolor{orange}{2}\textcolor{lightgray}{\overrightarrow{a} +} \textcolor{orange}{(-1)} \textcolor{lightgray}{\overrightarrow{b}}}{-1 + 2}\\
\\
& \textcolor{orange}{\fbox{\scriptsize\bf 書き順③}}
\textcolor{orange}{\scriptsize\Rightarrow\ {\rm AB}\ の順にセットして足す}\\
& \qquad\dfrac{2 \textcolor{orange}{\overrightarrow{a}} + (-1) \textcolor{orange}{\overrightarrow{b}}}{-1 + 2}\\
\\
& \colorbox{red}{\color{white}\scriptsize\bf 解答}\\
& 1 : 2\ に 外分 する点の位置ベクトルは\\
& \qquad\begin{align*}
\dfrac{2\overrightarrow{a} + (-1)\overrightarrow{b}}{-1 + 2}
&= \dfrac{2 \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}}{1}\\
&= 2\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}
\end{align*}
\end{align*}
