未来を見通す「期待値」を求めよう

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 賞金}の期待値\ \Longrightarrow\ 賞金と確率の表を作る\\
& \scriptsize\color{red}賞金の全パターンは以下の通り\\
& \scriptsize\color{red}1000円・500円・0円\\
\\
& 以下のような表を埋めながら考えよう。\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|}\hline
賞金（円） & 1000円 & 500円 & 0円 & \color{lightgray}計\\\hline
本数（本） & 2 & 3 & 5 & \color{lightgray}10本\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{　} & \colorbox{palegreen}{　} & \colorbox{violet}{　} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& 賞金1000円が当たる確率は,\\
& 10本のうち2本だから\ \colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{10}$}\\
\\
& 賞金500円が当たる確率は,\\
& 10本のうち3本だから\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{10}$}\\
\\
& はずれ＝賞金0円が当たる確率は,\\
& 10本のうち残り5本だから\ \colorbox{violet}{$\dfrac{5}{10}$}\\
\\
& よって\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|}\hline
賞金（円） & \colorbox{bisque}{$1000$}円 & \colorbox{palegreen}{$500$}円 & \colorbox{violet}{$0$}円 & \color{lightgray}計\\\hline
本数（本） & 2 & 3 & 5 & \color{lightgray}10本\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{10}$} & \colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{10}$} & \colorbox{violet}{$\dfrac{5}{10}$} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& したがって,\ 求める期待値は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
& \colorbox{bisque}{$1000 \times \dfrac{2}{10}$}+\colorbox{palegreen}{$500 \times \dfrac{3}{10}$}+\colorbox{violet}{$0 \times \dfrac{5}{10}$}\\
\\
=& \dfrac{1000 \times 2 + 500 \times 3 + 0 \times 5}{10}\\
\\
=& \dfrac{2000+1500+0}{10} = \dfrac{3500}{10} = 350（円）
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 表の枚数}の期待値\ \Longrightarrow\ 表の枚数と確率の表を作る\\
& \scriptsize\color{red}表の枚数の全パターンは以下の通り\\
& \scriptsize\color{red}表2枚,\ 表1枚,\ 表0枚\\
\\
& 以下のような表を埋めながら考えよう。\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|}\hline
表（枚） & 2\ 枚 & 1\ 枚 & 0\ 枚 & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{　} & \colorbox{palegreen}{　} & \colorbox{violet}{　} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& 表\ 2\ 枚が出る確率は,\\
& \qquad \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{4}$}\\
\\
& 表\ 1\ 枚が出る確率は,\ \scriptsize\color{green}2\ 枚のうち\ 1\ 枚が表\\
& \qquad {}_{2}{\rm C}_{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^1\left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = 2 \times \dfrac{1}{4} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{4}$}\\
\\
& 表\ 0\ 枚が出る確率は,\scriptsize\color{violet}すべて裏\\
& \qquad \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \colorbox{violet}{$\dfrac{1}{4}$}\\
\\
& よって\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|}\hline
表（枚） & 2\ 枚 & 1\ 枚 & 0\ 枚 & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{$\dfrac14$} & \colorbox{palegreen}{$\dfrac24$} & \colorbox{violet}{$\dfrac14$} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& したがって,\ 求める期待値は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
& \colorbox{bisque}{$2 \times \dfrac{1}{4}$}+\colorbox{palegreen}{$1 \times \dfrac{2}{4}$}+\colorbox{violet}{$0 \times \dfrac{1}{4}$}\\
\\
=& \dfrac{2 \times 1 + 1 \times 2 + 0 \times 1}{4}\\
\\
=& \dfrac{2+2+0}{4} = \dfrac{4}{4} = 1（枚）
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 表の枚数}の期待値\ \Longrightarrow\ 表の枚数と確率の表を作る\\
& \scriptsize\color{red}表の枚数の全パターンは以下の通り\\
& \scriptsize\color{red}表3枚,\ 表2枚,\ 表1枚,\ 表0枚\\
\\
& 以下のような表を埋めながら考えよう。\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline
表（枚） & 3\ 枚 & 2\ 枚 & 1\ 枚 & 0\ 枚 & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{　} & \colorbox{palegreen}{　} & \colorbox{violet}{　} & \colorbox{lightcyan}{　} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& 表\ 3\ 枚が出る確率は,\\
& \qquad \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{8}$}\\
\\
& 表\ 2\ 枚が出る確率は,\ \scriptsize\color{green}3\ 枚のうち\ 2\ 枚が表\\
& \qquad {}_{3}{\rm C}_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = 3 \times \dfrac{1}{8} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{8}$}\\
\\
& 表\ 1\ 枚が出る確率は,\ \scriptsize\color{green}3\ 枚のうち\ 1\ 枚が表\\
& \qquad {}_{3}{\rm C}_{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^1\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 3 \times \dfrac{1}{8} = \colorbox{violet}{$\dfrac{3}{8}$}\\
\\
& 表\ 0\ 枚が出る確率は,\ \scriptsize\color{green}すべて裏\\
& \qquad \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{8}$}\\
\\
& よって\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline
表（枚） & 3\ 枚 & 2\ 枚 & 1\ 枚 & 0\ 枚 & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{$\dfrac18$} & \colorbox{palegreen}{$\dfrac38$} & \colorbox{violet}{$\dfrac38$} & \colorbox{lightcyan}{$\dfrac18$} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& したがって,\ 求める期待値は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
& \colorbox{bisque}{$3 \times \dfrac{1}{8}$}+\colorbox{palegreen}{$2 \times \dfrac{3}{8}$}+\colorbox{violet}{$1 \times \dfrac{3}{8}$}+\colorbox{lightcyan}{$0 \times \dfrac{1}{8}$}\\
\\
=& \dfrac{3 \times 1 + 2 \times 3 + 1 \times 3 + 0 \times 1}{8}\\
\\
=& \dfrac{3+6+3+0}{8} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}（枚）
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 表の枚数}の期待値\ \Longrightarrow\ 出る目と確率の表を作る\\
& \scriptsize\color{red}出る目の全パターンは以下の通り\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{1},\ \fbox{2},\ \fbox{3},\ \fbox{4},\ \fbox{5},\ \fbox{6}\\
\\
& どの目が出る確率も\ \dfrac16\ であるから\\
& \quad\def\arraystretch{2}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
出る目 & \fbox{1} & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{5} & \fbox{6} & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \dfrac16 & \dfrac16 & \dfrac16 & \dfrac16 & \dfrac16 & \dfrac16 & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& したがって,\ 求める期待値は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
& 1 \cdot \dfrac16 + 2 \cdot \dfrac16 + 3 \cdot \dfrac16 + 4 \cdot \dfrac16 + 5 \cdot \dfrac16 + 6 \cdot \dfrac16\\
\\
=& \dfrac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1}{6}\\
\\
=& \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 出る目}の期待値\ \Longrightarrow\ 出る目と確率の表を作る\\
& \scriptsize\color{red}出る目の全パターンは以下の通り\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{1},\ \fbox{2},\ \fbox{3}\\
\\
& 以下のような表を埋めながら考えよう。\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline
出る目 & \fbox{1} & \fbox{2} & \fbox{3} & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{　} & \colorbox{palegreen}{　} & \colorbox{violet}{　} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& \fbox{1}\ が出る確率は,\scriptsize\color{orange}\fbox{1}\ は\ 1\ 面あるから\\
& \qquad \colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{6}$}\\
\\
& \fbox{2}\ が出る確率は,\scriptsize\color{green}\fbox{2}\ は\ 2\ 面あるから\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{6}$}\\
\\
& \fbox{3}\ が出る確率は,\scriptsize\color{magenta}\fbox{3}\ は\ 3\ 面あるから\\
& \qquad \colorbox{violet}{$\dfrac{3}{6}$}\\
\\
& よって\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline
出る目 & \fbox{1} & \fbox{2} & \fbox{3} & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{$\dfrac16$} & \colorbox{palegreen}{$\dfrac26$} & \colorbox{violet}{$\dfrac36$} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& したがって,\ 求める期待値は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
& \colorbox{bisque}{$1 \times \dfrac{1}{6}$}+\colorbox{palegreen}{$2 \times \dfrac{2}{6}$}+\colorbox{violet}{$3 \times \dfrac{3}{6}$}\\
\\
=& \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3}{6}\\
\\
=& \dfrac{1+4+9}{6} = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 賞金}の期待値\ \Longrightarrow\ 賞金と確率の表を作る\\
& \scriptsize\color{red}賞金の全パターンは以下の通り\\
& \scriptsize\color{red}500円,\ 100円,\ 30円,\ 0円\\
\\
& 以下のような表を埋めながら考えよう。\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline
賞金（円） & 500 & 100 & 30 & 0 & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{　} & \colorbox{palegreen}{　} & \colorbox{violet}{　} & \colorbox{lightcyan}{　} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& 賞金\ 500\ 円\ が当たる確率は,\scriptsize\color{orange}10\ 本あるから\\
& \qquad \colorbox{bisque}{$\dfrac{10}{100}$}\\
\\
& 賞金\ 100\ 円\ が当たる確率は,\scriptsize\color{green}30\ 本あるから\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac{30}{100}$}\\
\\
& 賞金\ 30\ 円\ が当たる確率は,\scriptsize\color{magenta}50\ 本あるから\\
& \qquad \colorbox{violet}{$\dfrac{50}{100}$}\\
\\
& 賞金\ 0\ 円\ が当たる確率は,\scriptsize\color{deepskyblue}残り10\ 本あるから\\
& \qquad \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{10}{100}$}\\
\\
& よって\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline
賞金（円） & 500 & 100 & 30 & 0 & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{$\dfrac{10}{100}$} & \colorbox{palegreen}{$\dfrac{30}{100}$} & \colorbox{violet}{$\dfrac{50}{100}$} & \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{10}{100}$} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& したがって,\ 求める期待値は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
& \colorbox{bisque}{$500 \times \dfrac{10}{100}$}+\colorbox{palegreen}{$100 \times \dfrac{30}{100}$}+\colorbox{violet}{$30 \times \dfrac{50}{100}$}+\colorbox{lightcyan}{$0 \times \dfrac{10}{100}$}\\
\\
=& \dfrac{500 \cdot 10 + 100 \cdot 30 + 30 \cdot 50 + 0 \cdot 10}{100}\\
\\
=& \dfrac{5000+3000+1500+0}{100} = \dfrac{9500}{100} = 95
\end{align*}\\
\\
& 期待値が\ 95\ 円だから\\
& \qquad 1\ 本\ 100\ 円で買うことは得ではない。
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 大きい方の数}の期待値\ \Longrightarrow\ 大きい方の数と確率の表を作る\\
& \scriptsize\color{red}大きい方の数の全パターンは以下の通り\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{2},\ \fbox{3},\ \fbox{4},\ \fbox{5}\\
\\
& 以下のような表を埋めながら考えよう。\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline
大きい方の数 & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{5} & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{　} & \colorbox{palegreen}{　} & \colorbox{violet}{　} & \colorbox{lightcyan}{　} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& 5\ 枚のカードから\ 2\ 枚を引くのは\\
& \qquad{}_{5}{\rm C}_{2} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 10\ （通り）\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{2}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{orange}(1,2)\ の\ 1\ 通りだから\\
& \qquad \colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{10}$}\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{3}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{green}(1,3),\ (2,\ 3)\ の\ 2\ 通りだから\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{10}$}\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{4}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{magenta}(1,4),\ (2,\ 4),\ (3,\ 4)\ の\ 3\ 通りだから\\
& \qquad \colorbox{violet}{$\dfrac{3}{10}$}\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{5}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}(1,5),\ (2,\ 5),\ (3,\ 5),\ (4,\ 5)\ の\ 4\ 通りだから\\
& \qquad \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{4}{10}$}\\
\\
& よって\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|}\hline
大きい方の数 & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{5} & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{10}$} & \colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{10}$} & \colorbox{violet}{$\dfrac{3}{10}$} & \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{4}{10}$} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& したがって,\ 求める期待値は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
& \colorbox{bisque}{$2 \times \dfrac{1}{10}$}+\colorbox{palegreen}{$3 \times \dfrac{2}{10}$}+\colorbox{violet}{$4 \times \dfrac{3}{10}$}+\colorbox{lightcyan}{$5 \times \dfrac{4}{10}$}\\
\\
=& \dfrac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4}{10}\\
\\
=& \dfrac{2+6+12+20}{10} = \dfrac{40}{10} = 4
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 大きい方の数}の期待値\ \Longrightarrow\ 大きい方の数と確率の表を作る\\
& \scriptsize\color{red}大きい方の数の全パターンは以下の通り\\
& \scriptsize\color{red}\fbox{1},\ \fbox{2},\ \fbox{3},\ \fbox{4},\ \fbox{5},\ \fbox{6}\\
\\
& 以下のような表を埋めながら考えよう。\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}\hline
大きい方の数 & \fbox{1} & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{5} & \fbox{6} & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & & \colorbox{bisque}{　} & \colorbox{palegreen}{　} & \colorbox{violet}{　} & \colorbox{lightcyan}{　} & & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& 2\ 個のさいころを投げるのは\\
& \qquad 6 \times 6 = 36\ （通り）\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{1}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{gray}(1,1)\ の\ 1\ 通りだから\\
& \qquad \dfrac{1}{36}\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{2}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{orange}(1,2),\ (2,1),\ (2,2)\ の\ 3\ 通りだから\\
& \qquad \colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{36}$}\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{3}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{green}(1,3),\ (2,3),\ (3,3),\ (3,2),\ (3,1)\ の\ 5\ 通りだから\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac{5}{36}$}\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{4}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{magenta}(1,4),\ (2,4),\ (3,4),\ (4,4),\ (4,3),\ (4,2),\ (4,1)\ の\ 7\ 通りだから\\
& \qquad \colorbox{violet}{$\dfrac{7}{36}$}\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{5}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{deepskyblue}(1,5),\ (2,5),\ (3,5),\ (4,5),\ (5,5),\ (5,4),\ (5,3),\ (5,2)\ (5,1)\ の\ 9\ 通りだから\\
& \qquad \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{9}{36}$}\\
\\
& 大きい数が\ \fbox{6}\ になる確率は,\\
& \scriptsize\color{gray}(1,6),\ (2,6),\ (3,6),\ (4,6),\ (5,6),\ (6,6)\ (6,5)\ (6,4),\ (6,3),\ (6,2),\ (6,1)\ の\ 11\ 通りだから\\
& \qquad \dfrac{11}{36}\\
\\
& よって\\
& \quad\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}\hline
大きい方の数 & \fbox{1} & \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{5} & \fbox{6} & \color{lightgray}計\\\hline
確率 & \dfrac{1}{36} & \colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{36}$} & \colorbox{palegreen}{$\dfrac{5}{36}$} & \colorbox{violet}{$\dfrac{7}{36}$} & \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{9}{36}$} & \dfrac{11}{36} & \color{lightgray}1\\\hline
\end{array}\\
\\
& したがって,\ 求める期待値は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
& 1 \times \dfrac{1}{36} + \colorbox{bisque}{$2 \times \dfrac{3}{36}$}+\colorbox{palegreen}{$3 \times \dfrac{5}{36}$}+\colorbox{violet}{$4 \times \dfrac{7}{36}$}+\colorbox{lightcyan}{$5 \times \dfrac{9}{36}$} + 6 \times \dfrac{11}{36}\\
\\
=& \dfrac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11}{36}\\
\\
=& \dfrac{1+6+15+28+45+66}{36} = \dfrac{161}{36}
\end{align*}
\end{align*}