確率の乗法定理

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{乗法定理}\ 条件付き確率で考える！\\
& \scriptsize\color{orange}１枚目が偶数で\color{red}\fbox{\bf あったとき}\\
& \quad\scriptsize\color{green}２枚目も偶数である\color{black}確率\\
\\
& 1\ 枚目が偶数になる事象を\ \colorbox{bisque}{$A$},\\
& 2\ 枚目が偶数になる事象を\ \colorbox{palegreen}{$B$}とすると,\\
& 求める確率は\ P(A \cap B)\ である。\\
\\
& \colorbox{bisque}{確率\ $P(A)$\ }は,\\
& 13\ 枚の中から偶数のカード\textcolor{orange}{\scriptsize (2,4,6,8,10,12)}を引く確率で,\\
& \qquad P(A) = \dfrac{6}{13}\\
\\
& \colorbox{mistyrose}{確率\ $P_A(B)$\ }は,\\
& \scriptsize\color{red}A\ が起こったから（偶数が１枚減っている）\\
& 残り\ 12\ 枚の中から偶数のカード\textcolor{red}{\scriptsize (残り\ 5\ 枚)}を引く確率で,\\
& \qquad P_A(B) = \dfrac{5}{12}\\
\\
& よって,\scriptsize\color{red}\quad P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\ より\\
\\
& \qquad\begin{align*}
\colorbox{palegreen}{$P(A \cap B)$} &= \colorbox{bisque}{$P(A)$} \times \colorbox{mistyrose}{$P_A(B)$}\\
\\
&= \dfrac{6}{13} \times \dfrac{5}{12}\\
\\
&= \dfrac{1}{13} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{26}
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\fbox{乗法定理}\ 条件付き確率で考える！\\
& \scriptsize\color{orange}１枚目が３の倍数で\color{red}\fbox{\bf あったとき}\\
& \quad\scriptsize\color{green}２枚目も３の倍数である\color{black}確率\\
\\
& 1\ 枚目が\ 3\ の倍数になる事象を\ \colorbox{bisque}{$A$},\\
& 2\ 枚目が\ 3\ の倍数になる事象を\ \colorbox{palegreen}{$B$}とすると,\\
& 求める確率は\ P(A \cap B)\ である。\\
\\
& \colorbox{bisque}{確率\ $P(A)$\ }は,\\
& 13\ 枚の中から\ 3\ の倍数のカード\textcolor{orange}{\scriptsize (3,6,9,12)}を引く確率で,\\
& \qquad P(A) = \dfrac{4}{13}\\
\\
& \colorbox{mistyrose}{確率\ $P_A(B)$\ }は,\\
& \scriptsize\color{red}A\ が起こったから（３の倍数が１枚減っている）\\
& 残り\ 12\ 枚の中から\ 3\ の倍数のカード\textcolor{red}{\scriptsize (残り\ 3\ 枚)}を引く確率で,\\
& \qquad P_A(B) = \dfrac{3}{12}\\
\\
& よって,\scriptsize\color{red}\quad P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\ より\\
\\
& \qquad\begin{align*}
\colorbox{palegreen}{$P(A \cap B)$} &= \colorbox{bisque}{$P(A)$} \times \colorbox{mistyrose}{$P_A(B)$}\\
\\
&= \dfrac{4}{13} \times \dfrac{3}{12}\\
\\
&= \dfrac{1}{13} \times \dfrac{3}{3} = \dfrac{1}{13}
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& {\rm A}\ が当たる確率は,\scriptsize\color{red}\quad 8\ 本中当たりが\ 3\ 本\ だから\\
& \qquad\dfrac{3}{8}\\
\\
& {\rm B}\ が当たる確率は,\\
& \qquad \ (i)\ {\rm A}\ が当たり,\ {\rm B}\ も当たる。\\
& \qquad\qquad \colorbox{mistyrose}{または}\\
& \qquad (ii)\ {\rm A}\ がはずれ,\ {\rm B}\ が当たる。\\
\\
& \ (i)\ \colorbox{bisque}{{\rm A}\ が当たり},\ \colorbox{palegreen}{{\rm B}も当たる}確率は\\
& \qquad\quad\qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{8}$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{7}$}\\
\\
& (ii)\ \colorbox{violet}{{\rm A}\ がはずれ},\ \colorbox{lightcyan}{{\rm B}が当たる}確率は\\
& \qquad\quad\qquad\colorbox{violet}{$\dfrac{5}{8}$} \times \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{3}{7}$}\\
\\
& のいずれかで,\ これらは\colorbox{mistyrose}{互いに排反}である。\\
& よって,\ {\rm B}\ が当たる確率は,\\
& \qquad\begin{align*}
& \colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{8}$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{7}$}\ \colorbox{mistyrose}{$+$}\ \colorbox{violet}{$\dfrac{5}{8}$} \times \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{3}{7}$}\\
\\
=& \dfrac{3 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{56}\\
\\
=& \dfrac{6+15}{56} = \dfrac{21}{56} = \dfrac{3}{8}\\
\end{align*}
\end{align*}

\begin{align*}
& {\rm A}\ が当たる確率は,\scriptsize\color{red}\quad 10\ 本中当たりが\ 4\ 本\ だから\\
& \qquad\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\\
\\
& {\rm B}\ が当たる確率は,\\
& \qquad \ (i)\ {\rm A}\ が当たり,\ {\rm B}\ も当たる。\\
& \qquad\qquad \colorbox{mistyrose}{または}\\
& \qquad (ii)\ {\rm A}\ がはずれ,\ {\rm B}\ が当たる。\\
\\
& \ (i)\ \colorbox{bisque}{{\rm A}\ が当たり},\ \colorbox{palegreen}{{\rm B}も当たる}確率は\\
& \qquad\quad\qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{4}{10}$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{9}$}\\
\\
& (ii)\ \colorbox{violet}{{\rm A}\ がはずれ},\ \colorbox{lightcyan}{{\rm B}が当たる}確率は\\
& \qquad\quad\qquad\colorbox{violet}{$\dfrac{6}{10}$} \times \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{4}{9}$}\\
\\
& のいずれかで,\ これらは\colorbox{mistyrose}{互いに排反}である。\\
& よって,\ {\rm B}\ が当たる確率は,\\
& \qquad\begin{align*}
& \colorbox{bisque}{$\dfrac{4}{10}$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{9}$}\ \colorbox{mistyrose}{$+$}\ \colorbox{violet}{$\dfrac{6}{10}$} \times \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{4}{9}$}\\
\\
=& \dfrac{4 \cdot 3 + 6 \cdot 4}{90}\\
\\
=& \dfrac{12+24}{90} = \dfrac{36}{90} = \dfrac{2}{5}\\
\end{align*}
\end{align*}