【解答】
\begin{align*}
& {\bf ３回}のうち，\\
& ３の倍数の目がちょうど {\bf １回}出る場合は
\colorbox{mistyrose}{${}_{3}{\rm C}_{1}$} = 3\ 通りある。\\
\\
& また,\ 各回は互いに独立な試行で,\
どの回においても,\\
& \qquad 3の倍数が出る確率は\quad\ \dfrac{2}{6}=\colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{3}$}\\
\\
& \qquad 3の倍数が出ない確率は\ \dfrac{4}{6}=\colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{3}$}\\
\\
& ①１回目に出て、２回目出ず、３回目も出ない場合\\
& \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac13$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} = \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2\\
\\
& ②１回目出ず、２回目に出て、３回目は出ない場合\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{bisque}{$\dfrac13$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} = \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2\\
\\
& ③１回目出ず、２回目出ず、３回目に出る場合\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{bisque}{$\dfrac13$} = \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2\\
\\
& よって,\ 求める確率は①または②または③だから\\
& \qquad\begin{align*}
& \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2 + \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2 + \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2\\
& \scriptsize\color{red}\Darr 同じ式が３個！\\
=&\ 3 \times \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2\\
& \scriptsize\color{red}\Darr {}_{3}{\rm C}_{1} = 3\\
=&\ \colorbox{mistyrose}{${}_{3}{\rm C}_{1}$} \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2
\end{align*}
\end{align*}【解答】
\begin{align*}
& {\bf ４回}のうち，\\
& ３の倍数の目がちょうど {\bf １回}出る場合は
\colorbox{mistyrose}{${}_{4}{\rm C}_{1}$} = 4\ 通りある。\\
\\
& また,\ 各回は互いに独立な試行で,\
どの回においても,\\
& \qquad 3の倍数が出る確率は\quad\ \dfrac{2}{6}=\colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{3}$}\\
\\
& \qquad 3の倍数が出ない確率は\ \dfrac{4}{6}=\colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{3}$}\\
\\
& ①１回目に出て、２回目出ず、３回目出ず、4回目も出ない場合\\
& \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac13$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} = \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3\\
\\
& ②１回目出ず、２回目に出て、３回目出ず、４回目も出ない場合\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{bisque}{$\dfrac13$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} = \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3\\
\\
& ③１回目出ず、２回目出ず、３回目に出て、４回目は出ない場合\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{bisque}{$\dfrac13$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} = \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3\\
\\
& ④１回目出ず、２回目出ず、３回目出ず、４回目に出る場合\\
& \qquad \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$} \times \colorbox{bisque}{$\dfrac13$} = \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3\\
\\
& よって,\ 求める確率は①または②または③または④だから\\
& \qquad\begin{align*}
& \scriptsize\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3 + \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3 + \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3 + \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3\\
& \scriptsize\color{red}\Darr 同じ式が４個！\\
=&\ 4 \times \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3\\
& \scriptsize\color{red}\Darr {}_{4}{\rm C}_{1} = 4\\
=&\ \colorbox{mistyrose}{${}_{4}{\rm C}_{1}$} \left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^1\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^3
\end{align*}
\end{align*}１個のさいころを投げて，３の倍数の目が出る確率を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\bf\ パターン数を求める\\
& 5\ 回のうち\ 4\ 回だから\ \colorbox{mistyrose}{${}_{5}{\rm C}_{4}$} = 5\ 通り\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 出る・出ない確率を求める\\
& 3\ の倍数の目が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出る}}確率は,\quad\ \dfrac{2}{6} = \colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\\
& 3\ の倍数の目が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出ない}}確率は,\ \dfrac{4}{6} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\quad\scriptsize\color{gray}\Leftarrow\ 1-\dfrac13\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 準備完了！式を立てて計算する\\
& よって,\ この試行を\ 5\ 回繰り返すとき,\\
& 3\ の倍数の目がちょうど\ 4\ 回出る確率は,\\
& \quad\begin{align*}
\scriptsize\textcolor{orange}{\bf (出る)^{4回}}\textcolor{green}{\bf (出ない)^{1回}}\\
\colorbox{mistyrose}{${}_{5}{\rm C}_{4}$}\,
\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^4\,
\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^1
&= 5 \times \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \times \dfrac{2}{3}\\
&= \dfrac{10}{243}
\end{align*}
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\bf\ パターン数を求める\\
& 5\ 回のうち\ 3\ 回だから\ \colorbox{mistyrose}{${}_{5}{\rm C}_{3}$} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\ 通り\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 出る・出ない確率を求める\\
& 3\ の倍数の目が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出る}}確率は,\quad\ \dfrac{2}{6} = \colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\\
& 3\ の倍数の目が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出ない}}確率は,\ \dfrac{4}{6} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\quad\scriptsize\color{gray}\Leftarrow\ 1-\dfrac13\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 準備完了！式を立てて計算する\\
& よって,\ この試行を\ 5\ 回繰り返すとき,\\
& 3\ の倍数の目がちょうど\ 3\ 回出る確率は,\\
& \quad\begin{align*}
\scriptsize\textcolor{orange}{\bf (出る)^{3回}}\textcolor{green}{\bf (出ない)^{2回}}\\
\colorbox{mistyrose}{${}_{5}{\rm C}_{3}$}\,
\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^3\,
\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2
&= 5 \times \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3} \times \dfrac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3}\\
&= \dfrac{20}{243}
\end{align*}
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\bf\ パターン数を求める\\
& 4\ 回のうち\ 2\ 回だから\ \colorbox{mistyrose}{${}_{4}{\rm C}_{2}$} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\ 通り\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 出る・出ない確率を求める\\
& 3\ の倍数の目が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出る}}確率は,\quad\ \dfrac{2}{6} = \colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\\
& 3\ の倍数の目が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出ない}}確率は,\ \dfrac{4}{6} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\quad\scriptsize\color{gray}\Leftarrow\ 1-\dfrac13\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 準備完了！式を立てて計算する\\
& よって,\ この試行を\ 4\ 回繰り返すとき,\\
& 3\ の倍数の目がちょうど\ 2\ 回出る確率は,\\
& \quad\begin{align*}
\scriptsize\textcolor{orange}{\bf (出る)^{2回}}\textcolor{green}{\bf (出ない)^{2回}}\\
\colorbox{mistyrose}{${}_{4}{\rm C}_{2}$}\,
\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^2\,
\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^2
&= 6 \times \dfrac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} \times \dfrac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3}\\
&= 2 \times \dfrac{1 \cdot 1}{1 \cdot 3} \times \dfrac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3}\\
&= \dfrac{8}{27}
\end{align*}
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\bf\ パターン数を求める\\
& 6\ 回のうち\ 2\ 回だから\ \colorbox{mistyrose}{${}_{6}{\rm C}_{2}$} = \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\ 通り\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 出る・出ない確率を求める\\
& 3\ の倍数の目が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出る}}確率は,\quad\ \dfrac{2}{6} = \colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\\
& 3\ の倍数の目が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出ない}}確率は,\ \dfrac{4}{6} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\quad\scriptsize\color{gray}\Leftarrow\ 1-\dfrac13\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 準備完了！式を立てて計算する\\
& よって,\ この試行を\ 6\ 回繰り返すとき,\\
& 3\ の倍数の目がちょうど\ 2\ 回出る確率は,\\
& \quad\begin{align*}
\scriptsize\textcolor{orange}{\bf (出る)^{2回}}\textcolor{green}{\bf (出ない)^{4回}}\\
\colorbox{mistyrose}{${}_{6}{\rm C}_{2}$}\,
\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac13$}\right)^2\,
\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac23$}\right)^4
&= 15 \times \dfrac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} \times \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \colorbox{lightgray}{$5$} \times \dfrac{1 \cdot 1}{\colorbox{lightgray}{$1$} \cdot 3} \times \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\\
&= \dfrac{80}{243}
\end{align*}
\end{align*}
赤玉３個と白玉７個が入っている袋から，玉を１個取り出して，その色を見てから袋に戻すとき，赤玉が出る確率を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\bf\ パターン数を求める\\
& 4\ 回のうち\ 2\ 回だから\ \colorbox{mistyrose}{${}_{4}{\rm C}_{2}$} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\ 通り\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 出る・出ない確率を求める\\
& 赤玉が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出る}}確率は,\quad\ \colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{10}$}\\
& 赤玉が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出ない}}確率は,\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{7}{10}$}\quad\scriptsize\color{gray}\Leftarrow\ 1-\dfrac{3}{10}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 準備完了！式を立てて計算する\\
& よって,\ この試行を\ 4\ 回繰り返すとき,\\
& 赤玉が\ 2\ 回出る確率は,\\
& \quad\begin{align*}
\scriptsize\textcolor{orange}{\bf (出る)^{2回}}\textcolor{green}{\bf (出ない)^{2回}}\\
\colorbox{mistyrose}{${}_{4}{\rm C}_{2}$}\,
\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{10}$}\right)^2\,
\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac{7}{10}$}\right)^2
&= 6 \times \dfrac{3 \cdot 3}{10 \cdot 10} \times \dfrac{7 \cdot 7}{10 \cdot 10}\\
&= \colorbox{lightgray}{$3$} \times \dfrac{3 \cdot 3}{\colorbox{lightgray}{$5$} \cdot 10} \times \dfrac{7 \cdot 7}{10 \cdot 10}\\
&= \dfrac{1323}{5000}
\end{align*}
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\bf\ パターン数を求める\\
& 5\ 回のうち\ 2\ 回だから\ \colorbox{mistyrose}{${}_{5}{\rm C}_{2}$} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\ 通り\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 出る・出ない確率を求める\\
& 赤玉が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出る}}確率は,\quad\ \colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{10}$}\\
& 赤玉が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出ない}}確率は,\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{7}{10}$}\quad\scriptsize\color{gray}\Leftarrow\ 1-\dfrac{3}{10}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 準備完了！式を立てて計算する\\
& よって,\ この試行を\ 5\ 回繰り返すとき,\\
& 赤玉が\ 2\ 回出る確率は,\\
& \quad\begin{align*}
\scriptsize\textcolor{orange}{\bf (出る)^{2回}}\textcolor{green}{\bf (出ない)^{3回}}\\
\colorbox{mistyrose}{${}_{5}{\rm C}_{2}$}\,
\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{10}$}\right)^2\,
\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac{7}{10}$}\right)^3
&= 10 \times \dfrac{3 \cdot 3}{10 \cdot 10} \times \dfrac{7 \cdot 7 \cdot 7}{10 \cdot 10 \cdot 10}\\
&= \colorbox{lightgray}{$1$} \times \dfrac{3 \cdot 3}{\colorbox{lightgray}{$1$} \cdot 10} \times \dfrac{7 \cdot 7 \cdot 7}{10 \cdot 10 \cdot 10}\\
&= \dfrac{3087}{10000}
\end{align*}
\end{align*}
赤玉２個と白玉６個が入っている袋から，玉を１個取り出して，その色を見てから袋に戻す反復試行
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\bf\ パターン数を求める\\
& 5\ 回のうち\ 3\ 回だから\ \colorbox{mistyrose}{${}_{5}{\rm C}_{3}$} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\ 通り\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 出る・出ない確率を求める\\
& 赤玉が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出る}}確率は,\quad\ \dfrac{2}{8} = \colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{4}$}\\
& 赤玉が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出ない}}確率は,\ \dfrac{6}{8} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{4}$}\quad\scriptsize\color{gray}\Leftarrow\ 1-\dfrac{1}{4}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 準備完了！式を立てて計算する\\
& よって,\ この試行を\ 5\ 回繰り返すとき,\\
& 赤玉が\ 3\ 回出る確率は,\\
& \quad\begin{align*}
\scriptsize\textcolor{orange}{\bf (出る)^{3回}}\textcolor{green}{\bf (出ない)^{2回}}\\
\colorbox{mistyrose}{${}_{5}{\rm C}_{3}$}\,
\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{4}$}\right)^3\,
\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{4}$}\right)^2
&= 10 \times \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 1}{4 \cdot 4 \cdot 4} \times \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4}\\
&= \colorbox{lightgray}{$5$} \times \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 1}{\colorbox{lightgray}{$2$} \cdot 4 \cdot 4} \times \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4}\\
&= \dfrac{45}{512}
\end{align*}
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}\bf\ パターン数を求める\\
& 4\ 回のうち\ 2\ 回だから\ \colorbox{mistyrose}{${}_{4}{\rm C}_{2}$} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\ 通り\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 出る・出ない確率を求める\\
& 赤玉が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出る}}確率は,\quad\ \dfrac{2}{8} = \colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{4}$}\\
& 赤玉が\textcolor{red}{\fbox{\color{black}\bf 出ない}}確率は,\ \dfrac{6}{8} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{4}$}\quad\scriptsize\color{gray}\Leftarrow\ 1-\dfrac{1}{4}\\
\\
& \scriptsize\color{red}\bf\ 準備完了！式を立てて計算する\\
& よって,\ この試行を\ 4\ 回繰り返すとき,\\
& 赤玉が\ 2\ 回出る確率は,\\
& \quad\begin{align*}
\scriptsize\textcolor{orange}{\bf (出る)^{2回}}\textcolor{green}{\bf (出ない)^{2回}}\\
\colorbox{mistyrose}{${}_{4}{\rm C}_{2}$}\,
\left(\colorbox{bisque}{$\dfrac{1}{4}$}\right)^2\,
\left(\colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{4}$}\right)^2
&= 6 \times \dfrac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} \times \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4}\\
&= \colorbox{lightgray}{$3$} \times \dfrac{1 \cdot 1}{\colorbox{lightgray}{$2$} \cdot 4} \times \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4}\\
&= \dfrac{27}{128}
\end{align*}
\end{align*}
