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赤玉4個と白玉2個が入っている袋Xと,赤玉3個と白玉2個が入っている袋Yがある。それぞれの袋から1個ずつ玉を取り出すとき,次の確率を求めよ。
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 袋{\rm X}から赤が出ると,\\ & 袋{\rm Y}からは赤が出ない・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & それぞれの袋から球を取り出すことは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,どちらの袋からも赤玉が出る確率は\\ & (袋{\rm X}から赤が出る確率) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (袋{\rm Y}から赤が出る確率)\\ & \end{align*}\\ & 袋{\rm X}から赤玉を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}袋{\rm X}には全部で6個,そのうち赤は4個 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{4}{6}\ $}}\\ \\ & 袋{\rm Y}から赤玉を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}袋{\rm Y}には全部で5個,そのうち赤は3個 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{5}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{4}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{5}$} = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 袋{\rm X}から白が出ると,\\ & 袋{\rm Y}からは白が出ない・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & それぞれの袋から球を取り出すことは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,どちらの袋からも白玉が出る確率は\\ & (袋{\rm X}から白が出る確率) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (袋{\rm Y}から白が出る確率)\\ & \end{align*}\\ & 袋{\rm X}から白玉を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}袋{\rm X}には全部で6個,そのうち白は2個 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{2}{6}\ $}}\\ \\ & 袋{\rm Y}から白玉を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}袋{\rm Y}には全部で5個,そのうち白は2個 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{2}{5}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{5}$} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{15} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 袋{\rm X}から赤が出ると,\\ & 袋{\rm Y}からは白が出ない・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & それぞれの袋から球を取り出すことは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,袋{\rm X}から赤・袋{\rm Y}から白が出る確率は\\ & (袋{\rm X}から赤が出る確率) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (袋{\rm Y}から白が出る確率)\\ & \end{align*}\\ & 袋{\rm X}から赤玉を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}袋{\rm X}には全部で6個,そのうち赤は4個 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{4}{6}\ $}}\\ \\ & 袋{\rm Y}から白玉を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}袋{\rm Y}には全部で5個,そのうち白は2個 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{2}{5}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{4}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{5}$} = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{15} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 袋{\rm X}から白が出ると,\\ & 袋{\rm Y}からは赤が出ない・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & それぞれの袋から球を取り出すことは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,袋{\rm X}から白・袋{\rm Y}から赤が出る確率は\\ & (袋{\rm X}から白が出る確率) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (袋{\rm Y}から赤が出る確率)\\ & \end{align*}\\ & 袋{\rm X}から白玉を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}袋{\rm X}には全部で6個,そのうち白は2個 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{2}{6}\ $}}\\ \\ & 袋{\rm Y}から赤玉を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}袋{\rm Y}には全部で5個,そのうち赤は3個 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{5}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{5}$} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{5} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 少なくとも}\ 1-余事象(否定)\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 「少なくとも」1個は白玉が出る\\ & \Downarrow 否定\\ & 1個も白玉が出ない!\\ & つまり・・・余事象は「2個とも赤」\\ & \end{align*}\\ & 2個とも赤玉が出る確率は\scriptsize\color{orange}\quad 上の問題を参照!\\ & \qquad\dfrac{4}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5} = \colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{5}$}\\ \\ & \colorbox{mistyrose}{\bf 少なくとも}1個は白玉が出る確率は,\\ & \qquad\quad\scriptsize\color{red} 1-余事象の確率\\ & \qquad\quad\colorbox{mistyrose}{$1\,-$}\,\colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{5}$} = \dfrac{5}{5}-\dfrac{2}{5} = \dfrac{5-2}{5} = \dfrac{3}{5} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 少なくとも}\ 1-余事象(否定)\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 「少なくとも」1個は赤玉が出る\\ & \Downarrow 否定\\ & 1個も赤玉が出ない!\\ & つまり・・・余事象は「2個とも白」\\ & \end{align*}\\ & 2個とも白玉が出る確率は\scriptsize\color{orange}\quad 上の問題を参照!\\ & \qquad\dfrac{2}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{5} = \colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{15}$}\\ \\ & \colorbox{mistyrose}{\bf 少なくとも}1個は赤玉が出る確率は,\\ & \qquad\quad\scriptsize\color{red} 1-余事象の確率\\ & \qquad\quad\colorbox{mistyrose}{$1\,-$}\,\colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{15}$} = \dfrac{15}{15}-\dfrac{2}{15} = \dfrac{15-2}{15} = \dfrac{13}{15} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 同じ色}\ って何色?\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 「2個とも白色」\colorbox{mistyrose}{\bf または}「2個とも赤色」\\ & \Downarrow\\ & \colorbox{mistyrose}{\bf 足す!}\\ & \end{align*}\\ & 2個とも赤玉が出る確率は\scriptsize\color{orange}\quad 上の問題を参照!\\ & \qquad\dfrac{4}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5} = \colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{5}$}\\ \\ & 2個とも白玉が出る確率は\scriptsize\color{orange}\quad 上の問題を参照!\\ & \qquad\dfrac{2}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{5} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{15}$}\\ \\ & \colorbox{mistyrose}{\bf 同じ色}の玉が出る確率は,\\ & \quad\scriptsize\color{red} \textcolor{orange}{2個とも赤}\colorbox{mistyrose}{\bf または}\textcolor{green}{2個とも白}\\ & \qquad\quad\colorbox{bisque}{$\dfrac{2}{5}$}\ \colorbox{mistyrose}{$\ +\ $}\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{15}$} = \dfrac{6}{15}+\dfrac{2}{15} = \dfrac{6+2}{15} = \dfrac{8}{15} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 異なる色}\ って何色?\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 「{\rm X}から赤・{\rm Y}から白」\colorbox{mistyrose}{\bf または}「{\rm X}から白・{\rm Y}から赤」\\ & \Downarrow\\ & \colorbox{mistyrose}{\bf 足す!}\\ & \end{align*}\\ & 袋{\rm X}から赤玉,袋{\rm Y}から白玉が出る確率は\scriptsize\color{orange}\quad 上の問題を参照!\\ & \qquad\dfrac{4}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{5} = \colorbox{bisque}{$\dfrac{4}{15}$}\\ \\ & 袋{\rm X}から白玉,袋{\rm Y}から赤玉が出る確率は\scriptsize\color{orange}\quad 上の問題を参照!\\ & \qquad\dfrac{2}{6} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{5} = \colorbox{palegreen}{$\dfrac{1}{5}$}\\ \\ & \colorbox{mistyrose}{\bf 異なる色}の玉が出る確率は,\\ & \quad\scriptsize\color{red} \textcolor{orange}{{\rm X}赤,{\rm Y}白}\colorbox{mistyrose}{\bf または}\textcolor{green}{{\rm X}白,{\rm Y}赤}\\ & \qquad\quad\colorbox{bisque}{$\dfrac{4}{15}$}\ \colorbox{mistyrose}{$\ +\ $}\ \colorbox{palegreen}{$\dfrac{1}{5}$} = \dfrac{4}{15}+\dfrac{3}{15} = \dfrac{4+3}{15} = \dfrac{7}{15} \end{align*}
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1から6までの整数を1つずつ書いたカード6枚が入っている袋Xと,5から9までの整数を1つずつ書いたカード5枚が入っている袋Yと,8から11までの整数を1つずつ書いたカード4枚が入っている袋Zがある。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出すとき,次の確率を求めよ。
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 袋{\rm X}から奇数が出て,\\ & 袋{\rm Y}から奇数が出たら,\\ & 袋{\rm Z}からは奇数が出ない・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & それぞれの袋からカードを取り出すことは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,どの袋からも奇数が出る確率は\\ & (袋{\rm X}から奇数) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (袋{\rm Y}から奇数) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (袋{\rm Z}から奇数)\\ & \end{align*}\\ & 袋{\rm X}から奇数を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}袋{\rm X}には全部で6枚,そのうち奇数は3枚 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{6}\ $}}\\ \\ & 袋{\rm Y}から奇数を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}袋{\rm Y}には全部で5枚,そのうち奇数は3枚 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{5}\ $}}\\ \\ & 袋{\rm Z}から奇数を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{magenta}袋{\rm Z}には全部で4枚,そのうち奇数は2枚 \quad\colorbox{violet}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{2}{4}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{5}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{violet}{$\dfrac{2}{4}$} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{20} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 袋{\rm X}から偶数が出て,\\ & 袋{\rm Y}から偶数が出たら,\\ & 袋{\rm Z}からは偶数が出ない・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & それぞれの袋からカードを取り出すことは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,どの袋からも偶数が出る確率は\\ & (袋{\rm X}から偶数) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (袋{\rm Y}から偶数) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (袋{\rm Z}から偶数)\\ & \end{align*}\\ & 袋{\rm X}から偶数を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}袋{\rm X}には全部で6枚,そのうち偶数は3枚 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{6}\ $}}\\ \\ & 袋{\rm Y}から偶数を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}袋{\rm Y}には全部で5枚,そのうち奇数は2枚 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{2}{5}\ $}}\\ \\ & 袋{\rm Z}から偶数を取り出す確率は\\ & \quad\scriptsize\color{magenta}袋{\rm Z}には全部で4枚,そのうち奇数は2枚 \quad\colorbox{violet}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{2}{4}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{5}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{violet}{$\dfrac{2}{4}$} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{10} \end{align*}
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大小2個のさいころを投げるとき,次の確率を求めよ。
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 大さいころに奇数が出ると,\\ & 小さいころは奇数が出ない・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & 大小それぞれのさいころを投げることは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,どちらのさいころも奇数が出る確率は\\ & (大が奇数) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (小が奇数)\\ & \end{align*}\\ & 大きいさいころは奇数の目が出る確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}大さいころは全部で6面,そのうち奇数は3面 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{6}\ $}}\\ \\ & 小さいさいころは奇数の目が出る確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}小さいころは全部で6面,そのうち奇数は3面 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{6}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{6}$} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 大さいころに偶数が出ると,\\ & 小さいころは偶数が出ない・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & 大小それぞれのさいころを投げることは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,どちらのさいころも偶数が出る確率は\\ & (大が偶数) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (小が偶数)\\ & \end{align*}\\ & 大きいさいころは偶数の目が出る確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}大さいころは全部で6面,そのうち偶数は3面 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{6}\ $}}\\ \\ & 小さいさいころは偶数の目が出る確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}小さいころは全部で6面,そのうち偶数は3面 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{6}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{3}{6}$} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行を探せ!}\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & 大さいころが偶数がだと,\\ & 小さいころは3以上・・・なんてことは{\bf ない}。\\ & つまり・・・ & \end{align*}\\ & 大小それぞれのさいころを投げることは\\ & \bf 独立な試行である。\\ & \scriptsize\color{red}\begin{align*} & よって,大の目は偶数で,小の目は2以下になる確率は\\ & (大が偶数) \colorbox{mistyrose}{$\times$} (小が2以下)\\ & \end{align*}\\ & 大きいさいころは偶数の目が出る確率は\\ & \quad\scriptsize\color{orange}大さいころは全部で6面,そのうち偶数は3面 \quad\colorbox{bisque}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{3}{6}\ $}}\\ \\ & 小さいさいころは2以下の目が出る確率は\\ & \quad\scriptsize\color{green}小さいころは全部で6面,そのうち2以下なのは2面 \quad\colorbox{palegreen}{\color{black}{$\normalsize\ \dfrac{2}{6}\ $}}\\ \\ & よって,求める確率は,\scriptsize\color{red}\fbox{\bf 独立な試行}\ ➡\ \colorbox{mistyrose}{かける!}\\ & \qquad\colorbox{bisque}{$\dfrac{3}{6}$} \,\colorbox{mistyrose}{$\times$}\,\colorbox{palegreen}{$\dfrac{2}{6}$} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \end{align*}