「少なくとも」を含む余事象の確率
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}「少なくとも\ 1\ 本当たる」のは以下の３パターン\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 当たり・はずれ\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ はずれ・当たり\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 当たり・当たり\\
& \scriptsize\quad\color{red}\fbox{\bf 余事象}「少なくとも\ 1\ 本当たる」を否定して\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ はずれ・はずれ\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 1-P(\ 2\ 本ともはずれ)\\
\\
& 「2\ 本ともはずれる」という事象を\ A\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 10\ 本から\ 2\ 本を引くから
\ {}_{10}{\rm C}_{2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 9\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ はずれ\ 7\ 本から\ 2\ 本を引くから
\ {}_{7}{\rm C}_{2} = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 7 \cdot 3\\
& P(A) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{${}_{7}{\rm C}_{2}$}}{\colorbox{bisque}{${}_{10}{\rm C}_{2}$}}
= \dfrac{7 \cdot 3}{5 \cdot 9}
= \dfrac{7 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \dfrac{7}{15}\\
\\
& よって,\ 少なくとも\ 1\ 本は当たる確率\ P(\overline{\,A\,})\ は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
P(\overline{\,A\,}) &= 1- P(A)\\
\\
&= 1- \dfrac{7}{15}\\
\\
&= \dfrac{15}{15}- \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}\\
\end{align*}
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\quad\color{red}「少なくとも\ 1\ 枚が表である」のは以下の７パターン\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 表・裏・裏\ ／\ 裏・表・裏\ ／\ 裏・裏・表\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 表・表・裏\ ／\ 表・裏・表\ ／\ 裏・表・表\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 表・表・表\\
& \scriptsize\quad\color{red}\fbox{\bf 余事象}「少なくとも\ 1\ 枚が表である」を否定して\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 裏・裏・裏\\
& \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 1-P(\ 3\ 枚とも裏)\\
\\
& 「3\ 枚とも裏が出る」という事象を\ A\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 3\ 枚の硬貨それぞれ表と裏があるから\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}2 \times 2\times 2 = 8\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 3枚の硬貨すべて裏になるのは\\
& \qquad\scriptsize\color{green}1 \times 1 \times 1 = 1\ 通り\\
& P(A) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{$1$}}{\colorbox{bisque}{$8$}}\\
\\
& よって,\ 少なくとも\ 1\ 本は当たる確率\ P(\overline{\,A\,})\ は,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
P(\overline{\,A\,}) &= 1- P(A)\\
\\
&= 1- \dfrac{1}{8}\\
\\
&= \dfrac{8}{8}- \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\\
\end{align*}
\end{align*}
