「少なくとも」を含む余事象の確率
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}「少なくとも\ 1\ 本当たる」のは以下の3パターン\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 当たり・はずれ\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ はずれ・当たり\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 当たり・当たり\\ & \scriptsize\quad\color{red}\fbox{\bf 余事象}「少なくとも\ 1\ 本当たる」を否定して\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ はずれ・はずれ\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 1-P(\ 2\ 本ともはずれ)\\ \\ & 「2\ 本ともはずれる」という事象を\ A\ とすると,\\ & \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 10\ 本から\ 2\ 本を引くから \ {}_{10}{\rm C}_{2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 9\\ & \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ はずれ\ 7\ 本から\ 2\ 本を引くから \ {}_{7}{\rm C}_{2} = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 7 \cdot 3\\ & P(A) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{${}_{7}{\rm C}_{2}$}}{\colorbox{bisque}{${}_{10}{\rm C}_{2}$}} = \dfrac{7 \cdot 3}{5 \cdot 9} = \dfrac{7 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \dfrac{7}{15}\\ \\ & よって,\ 少なくとも\ 1\ 本は当たる確率\ P(\overline{\,A\,})\ は,\\ \\ & \qquad\begin{align*} P(\overline{\,A\,}) &= 1- P(A)\\ \\ &= 1- \dfrac{7}{15}\\ \\ &= \dfrac{15}{15}- \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}\\ \end{align*} \end{align*}
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【解答】
\begin{align*} & \scriptsize\quad\color{red}「少なくとも\ 1\ 枚が表である」のは以下の7パターン\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 表・裏・裏\ /\ 裏・表・裏\ /\ 裏・裏・表\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 表・表・裏\ /\ 表・裏・表\ /\ 裏・表・表\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 表・表・表\\ & \scriptsize\quad\color{red}\fbox{\bf 余事象}「少なくとも\ 1\ 枚が表である」を否定して\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 裏・裏・裏\\ & \scriptsize\qquad\color{red}\Rightarrow\ 1-P(\ 3\ 枚とも裏)\\ \\ & 「3\ 枚とも裏が出る」という事象を\ A\ とすると,\\ & \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 3\ 枚の硬貨それぞれ表と裏があるから\\ & \qquad\scriptsize\color{orange}2 \times 2\times 2 = 8\ 通り\\ & \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 3枚の硬貨すべて裏になるのは\\ & \qquad\scriptsize\color{green}1 \times 1 \times 1 = 1\ 通り\\ & P(A) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{$1$}}{\colorbox{bisque}{$8$}}\\ \\ & よって,\ 少なくとも\ 1\ 本は当たる確率\ P(\overline{\,A\,})\ は,\\ \\ & \qquad\begin{align*} P(\overline{\,A\,}) &= 1- P(A)\\ \\ &= 1- \dfrac{1}{8}\\ \\ &= \dfrac{8}{8}- \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\\ \end{align*} \end{align*}