赤玉と白玉が入っている袋から，玉を取り出すとき，次の事象の確率を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}「３個とも同じ色」って何色？\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\Rightarrow 「３個とも赤」\colorbox{mistyrose}{\bf または}「３個とも白」\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\Rightarrow P(３個とも赤) \quad\colorbox{mistyrose}{\bf 足す}\quad P(３個とも白) - P(共通部分)\\
\\
& ３個とも赤玉である事象を\ A\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 12\ 個から\ 3\ 個を取り出すから\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\qquad{}_{12}{\rm C}_{3} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 赤\ 8\ 個から\ 3\ 個を取り出すのは\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad{}_{8}{\rm C}_{3} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7\\
& P(A) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{${}_{8}{\rm C}_{3}$}}{\colorbox{bisque}{${}_{12}{\rm C}_{3}$}} = \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 11 \cdot 10} = \dfrac{56}{220}\\
\\
& ３個とも白玉である事象を\ B\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 12\ 個から\ 3\ 個を取り出すから\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\qquad{}_{12}{\rm C}_{3} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 白\ 4\ 個から\ 3\ 個を取り出すのは\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad{}_{4}{\rm C}_{3} = {}_{4}{\rm C}_{1} = 4\\
& P(B) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{${}_{4}{\rm C}_{3}$}}{\colorbox{bisque}{${}_{12}{\rm C}_{3}$}} = \dfrac{4}{2 \cdot 11 \cdot 10} = \dfrac{4}{220}\\
\\
& 求める確率は\ P(A \colorbox{mistyrose}{$\cup$} B)で,\\
& A\ と\ B\ は排反事象であるから\scriptsize\quad\color{red}P(A \cap B)=0\\
\\
& \qquad\begin{align*}
P(A \colorbox{mistyrose}{$\cup$} B) &= P(A) \colorbox{mistyrose}{$+$} P(B)-P(A \cap B)\\
\\
&= \dfrac{56}{220} + \dfrac{4}{220} -0\\
\\
&= \dfrac{56+4}{220}
= \dfrac{60}{220}
= \dfrac{3}{11}
\end{align*}
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}「４個とも同じ色」って何色？\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\Rightarrow 「４個とも赤」\colorbox{mistyrose}{\bf または}「４個とも白」\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\Rightarrow P(４個とも赤) \quad\colorbox{mistyrose}{\bf 足す}\quad P(４個とも白) - P(共通部分)\\
\\
& 4\ 個とも赤玉である事象を\ A\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 12\ 個から\ 4\ 個を取り出すから\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\qquad{}_{12}{\rm C}_{4} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 9\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 赤\ 8\ 個から\ 4\ 個を取り出すのは\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad{}_{8}{\rm C}_{4} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 7 \cdot 5\\
& P(A) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{${}_{8}{\rm C}_{4}$}}{\colorbox{bisque}{${}_{12}{\rm C}_{4}$}} = \dfrac{2 \cdot 7 \cdot 5}{11 \cdot 5 \cdot 9} = \dfrac{70}{495}\\
\\
& 4\ 個とも白玉である事象を\ B\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 12\ 個から\ 4\ 個を取り出すから\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\qquad{}_{12}{\rm C}_{4} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 9\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 白\ 4\ 個から\ 4\ 個を取り出すのは\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad{}_{4}{\rm C}_{4} = 1\\
& P(B) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{${}_{4}{\rm C}_{4}$}}{\colorbox{bisque}{${}_{12}{\rm C}_{4}$}} = \dfrac{1}{11 \cdot 5 \cdot 9} = \dfrac{1}{495}\\
\\
& 求める確率は\ P(A \colorbox{mistyrose}{$\cup$} B)で,\\
& A\ と\ B\ は排反事象であるから\scriptsize\quad\color{red}P(A \cap B)=0\\
\\
& \qquad\begin{align*}
P(A \colorbox{mistyrose}{$\cup$} B) &= P(A) \colorbox{mistyrose}{$+$} P(B)-P(A \cap B)\\
\\
&= \dfrac{70}{495} + \dfrac{1}{495} -0\\
\\
&= \dfrac{70+1}{495}
= \dfrac{71}{495}
\end{align*}
\end{align*}
番号が１つずつ書かれたカードがある。この中から１枚のカードを引くとき，次の事象の確率を求めよ。
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}「２の倍数」\colorbox{mistyrose}{\bf または}「３の倍数」\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\Rightarrow P(２の倍数) \quad\colorbox{mistyrose}{\bf 足す}\quad P(３の倍数) - P(共通部分)\\
\\
& 番号が\ 2\ の倍数になる事象を\ A\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 50\ 枚から\ 1\ 枚を引くのは\ 50\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 2\ の倍数は下の\ 25\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad 2 \cdot 1,\ 2\cdot 2,\ 2 \cdot 3,\ \cdots ,\ 2 \cdot 25\\
& P(A) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{$25$}}{\colorbox{bisque}{$50$}}\\
\\
& 番号が\ 3\ の倍数になる事象を\ B\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 50\ 枚から\ 1\ 枚を引くのは\ 50\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 3\ の倍数は下の\ 16\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad 3 \cdot 1,\ 3\cdot 2,\ 3 \cdot 3,\ \cdots ,\ 3 \cdot 16\\
& P(B) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{$16$}}{\colorbox{bisque}{$50$}}\\
\\
& A \cap B\ は番号が\ 6\ の倍数になる事象だから,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 50\ 枚から\ 1\ 枚を引くのは\ 50\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 6\ の倍数は下の\ 16\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad 6 \cdot 1,\ 6 \cdot 2,\ 6 \cdot 3,\ \cdots ,\ 6 \cdot 8\\
& P(A \cap B) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{$8$}}{\colorbox{bisque}{$50$}}\\
\\
& 求める確率は\ P(A \colorbox{mistyrose}{$\cup$} B)で,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
P(A \colorbox{mistyrose}{$\cup$} B) &= P(A) \colorbox{mistyrose}{$+$} P(B)-P(A \cap B)\\
\\
&= \dfrac{25}{50} + \dfrac{16}{50} - \dfrac{8}{50}\\
\\
&= \dfrac{25+16-8}{50}
= \dfrac{33}{50}
\end{align*}
\end{align*}
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【解答】
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}「３の倍数」\colorbox{mistyrose}{\bf または}「５の倍数」\\
& \scriptsize\color{red}\qquad\Rightarrow P(３の倍数) \quad\colorbox{mistyrose}{\bf 足す}\quad P(５の倍数) - P(共通部分)\\
\\
& 番号が\ 3\ の倍数になる事象を\ A\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 50\ 枚から\ 1\ 枚を引くのは\ 50\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 3\ の倍数は下の\ 16\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad 3 \cdot 1,\ 3\cdot 2,\ 3 \cdot 3,\ \cdots ,\ 3 \cdot 16\\
& P(A) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{$16$}}{\colorbox{bisque}{$50$}}\\
\\
& 番号が\ 5\ の倍数になる事象を\ B\ とすると,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 50\ 枚から\ 1\ 枚を引くのは\ 50\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 5\ の倍数は下の\ 10\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad 5 \cdot 1,\ 5 \cdot 2,\ 5 \cdot 3,\ \cdots ,\ 5 \cdot 10\\
& P(B) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{$10$}}{\colorbox{bisque}{$50$}}\\
\\
& A \cap B\ は番号が\ 15\ の倍数になる事象だから,\\
& \qquad\scriptsize\color{orange}\fbox{全部で}\ 50\ 枚から\ 1\ 枚を引くのは\ 50\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\fbox{このうち}\ 15\ の倍数は下の\ 3\ 通り\\
& \qquad\scriptsize\color{green}\qquad 15 \cdot 1,\ 15 \cdot 2,\ 15 \cdot 3\\
& P(A \cap B) = \dfrac{\colorbox{palegreen}{$3$}}{\colorbox{bisque}{$50$}}\\
\\
& 求める確率は\ P(A \colorbox{mistyrose}{$\cup$} B)で,\\
\\
& \qquad\begin{align*}
P(A \colorbox{mistyrose}{$\cup$} B) &= P(A) \colorbox{mistyrose}{$+$} P(B)-P(A \cap B)\\
\\
&= \dfrac{16}{50} + \dfrac{10}{50} - \dfrac{3}{50}\\
\\
&= \dfrac{16+10-3}{50}
= \dfrac{23}{50}
\end{align*}
\end{align*}
