同時に起こらない「排反」を理解しよう

【目次】数学Ａ「場合の数と確率」

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１個のさいころを投げるとき，次の事象Ａ，Ｂは排反事象であるか。

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$A$ ：奇数の目が出る事象
$B$ ：偶数の目が出る事象

【解答】

\def\varA{1,\ 3,\ 5} \def\varB{2,\ 4,\ 6} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{red}{mistyrose}{$\varnothing$}\\ & である。共通部分がないから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 同時には起こらない}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 排反事象である}\ 。 \end{align*}

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$A$ ：奇数の目が出る事象
$B$ ：３の倍数の目が出る事象

【解答】

\def\varA{1,\ \colorbox{bisque}{$3$},\ 5} \def\varB{\colorbox{bisque}{$3$},\ 6} \def\varAB{\colorbox{bisque}{$3$}} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{blue}{lightcyan}{$\left\{ \varAB \right\}$}\\ & である。共通部分があるから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{blue}{lightcyan}{\bf 同時に起こる}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{blue}{lightcyan}{\bf 排反ではない}\ 。 \end{align*}

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$A$ ：奇数の目が出る事象
$B$ ：４の目が出る事象

【解答】

\def\varA{1,\ 3,\ 5} \def\varB{4} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{red}{mistyrose}{$\varnothing$}\\ & である。共通部分がないから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 同時には起こらない}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 排反事象である}\ 。 \end{align*}

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$A$ ：３の倍数の目が出る事象
$B$ ：４の目が出る事象

【解答】

\def\varA{3,\ 6} \def\varB{4} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{red}{mistyrose}{$\varnothing$}\\ & である。共通部分がないから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 同時には起こらない}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 排反事象である}\ 。 \end{align*}

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１から５までの番号が１つずつ書かれた５個の赤玉と，１から３までの番号が１つずつ書かれた３個の青玉が入っている袋から，１個の玉を取り出すとき，次の事象Ａ，Ｂは排反事象であるか。

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$A$ ：赤玉が出る事象
$B$ ：青玉が出る事象

【解答】

\def\varA{赤_1,\ 赤_2,\ 赤_3,\ 赤_4,\ 赤_5} \def\varB{青_1,\ 青_2,\ 青_3} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{red}{mistyrose}{$\varnothing$}\\ & である。共通部分がないから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 同時には起こらない}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 排反事象である}\ 。 \end{align*}

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$A$ ：赤玉が出る事象
$B$ ：１の番号が出る事象

【解答】

\def\varA{\colorbox{bisque}{$赤_1$},\ 赤_2,\ 赤_3,\ 赤_4,\ 赤_5} \def\varB{\colorbox{bisque}{$赤_1$},\ 青_1} \def\varAB{\colorbox{bisque}{$赤_1$}} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{blue}{lightcyan}{$\left\{ \varAB \right\}$}\\ & である。共通部分があるから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{blue}{lightcyan}{\bf 同時に起こる}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{blue}{lightcyan}{\bf 排反ではない}\ 。 \end{align*}

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$A$ ：赤玉が出る事象
$B$ ：５の番号が出る事象

【解答】

\def\varA{赤_1,\ 赤_2,\ 赤_3,\ 赤_4,\ \colorbox{bisque}{$赤_5$}} \def\varB{\colorbox{bisque}{$赤_5$}} \def\varAB{\colorbox{bisque}{$赤_5$}} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{blue}{lightcyan}{$\left\{ \varAB \right\}$}\\ & である。共通部分があるから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{blue}{lightcyan}{\bf 同時に起こる}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{blue}{lightcyan}{\bf 排反ではない}\ 。 \end{align*}

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$A$ ：青玉が出る事象
$B$ ：１の番号が出る事象

【解答】

\def\varA{\colorbox{bisque}{$青_1$},\ 青_2,\ 青_3} \def\varB{赤_1,\ \colorbox{bisque}{$青_1$}} \def\varAB{\colorbox{bisque}{$青_1$}} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{blue}{lightcyan}{$\left\{ \varAB \right\}$}\\ & である。共通部分があるから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{blue}{lightcyan}{\bf 同時に起こる}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{blue}{lightcyan}{\bf 排反ではない}\ 。 \end{align*}

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$A$ ：青玉が出る事象
$B$ ：５の番号が出る事象

【解答】

\def\varA{青_1,\ 青_2,\ 青_3} \def\varB{赤_5} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{red}{mistyrose}{$\varnothing$}\\ & である。共通部分がないから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 同時には起こらない}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 排反事象である}\ 。 \end{align*}

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$A$ ：１の番号が出る事象
$B$ ：５の番号が出る事象

【解答】

\def\varA{赤_1,\ 青_1} \def\varB{赤_5} \begin{align*} & 事象\ A,\ B\ は,\ それぞれ\\ & \qquad A = \left\{\ \varA\ \right\}\\ & \qquad B = \left\{\ \varB\ \right\}\\ & と表され,\\ & \qquad A \cap B = \fcolorbox{red}{mistyrose}{$\varnothing$}\\ & である。共通部分がないから,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 同時には起こらない}\ 。\\ & よって,\\ & \quad 事象\ A,\ B\ は互いに\ \fcolorbox{red}{mistyrose}{\bf 排反事象である}\ 。 \end{align*}

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