組分けの総数

「場合の数と確率」

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6人の生徒を,次のように分ける方法は何通りあるか。

(1)3つの部屋PRに2人ずつ入るように分ける。

(2)2人ずつの3つの組に分ける。

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \colFB{red}{(1)}\\
& 6人の中から,\\
&{\rm P}\ に入る\ 2\ 人の選び方は\ \colBX{bisque}{${}_{6}{\rm C}_{2}$}\ 通り,\\
\\
& 残り\ 4\ 人の中から,\\
& {\rm Q}\ に入る\ 2\ 人の選び方は\ \colBX{palegreen}{${}_{4}{\rm C}_{2}$}\ 通り,\\
\\
& 残り\ 2\ 人は\ {\rm R}\ に入る。\colMM{magenta}{{}_{2}{\rm C}_{2} = 1\ 通り}\\
\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により\\
\\
&  \begin{align*}
&\colBX{bisque}{${}_{6}{\rm C}_{2}$}\ \times \colBX{palegreen}{${}_{4}{\rm C}_{2}$} \colMM{magenta}{\times 1}\\
\\
&= \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \times \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1}\\
\\
&= 3 \cdot 5 \times 2 \cdot 3= 15 \times 6=90(通り)\\
\\
& \colFB{red}{(2)}\\
& (1)\ の分け方において,\\
& 割り当てる{\rm P,\ Q,\ R}\\
& \colBX{lightcyan}{3つの部屋の区別をなくせ}ば良いから\\
&  \dfrac{90}{3\,!} = \dfrac{90}{\colBX{lightcyan}{$3 \cdot 2 \cdot 1$}}=15(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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8人の生徒を,次のように分ける方法は何通りあるか。

(1)4つの部屋PR,Sに2人ずつ入るように分ける。

(2)2人ずつの4つの組に分ける。

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \colFB{red}{(1)}\\
& 8人の中から,\\
&{\rm P}\ に入る\ 2\ 人の選び方は\ \colBX{bisque}{${}_{8}{\rm C}_{2}$}\ 通り,\\
\\
& 残り\ 6\ 人の中から,\\
& {\rm Q}\ に入る\ 2\ 人の選び方は\ \colBX{palegreen}{${}_{6}{\rm C}_{2}$}\ 通り,\\
\\
& 残り\ 4\ 人の中から,\\
& {\rm Q}\ に入る\ 2\ 人の選び方は\ \colBX{violet}{${}_{4}{\rm C}_{2}$}\ 通り,\\
\\
& 残り\ 2\ 人は\ {\rm S}\ に入る。\colMM{lightvyan}{{}_{2}{\rm C}_{2} = 1\ 通り}\\
\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により\\
\\
&  \begin{align*}
&\colBX{bisque}{${}_{8}{\rm C}_{2}$}\ \times \colBX{palegreen}{${}_{6}{\rm C}_{2}$} \times \colBX{violet}{${}_{4}{\rm C}_{2}$} \colMM{lightcyan}{\times 1}\\
\\
&= \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \times \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \times \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1}\\
\\
&= 4 \cdot 7 \times 3 \cdot 5 \times 2 \cdot 3= 28 \times 15 \times 6=2520(通り)\\
\\
& \colFB{red}{(2)}\\
& (1)\ の分け方において,\\
& 割り当てる{\rm P,\ Q,\ R,\ S}\\
& \colBX{lightcyan}{4\ つの部屋の区別をなくせ}ば良いから\\
&  \dfrac{2520}{4\,!} = \dfrac{2520}{\colBX{lightcyan}{$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$}}=105(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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