別のものから組み合わせる

「場合の数と確率」

男子6人,女子5人から4人を選ぶ。次のような選び方は何通りあるか。

この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)

【解答】

\def\gAall{6}
\def\gAslct{2}
\def\gBall{5}
\def\gBslct{2}
\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 男子\ \gAall\ 人から\ \gAslct\ 人を選ぶ\\
&   組み合わせは,\colBX{bisque}{${}_{\gAall}{\rm C}_{\gAslct}$}\ 通り\\
& 女子\ \gBall\ 人から\ \gBslct\ 人を選ぶ\\
&   組み合わせは,\colBX{palegreen}{${}_{\gBall}{\rm C}_{\gBslct}$}\ 通り\\
\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により選び方の総数は,\\
\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{${}_{\gAall}{\rm C}_{\gAslct}$} \times \colBX{palegreen}{${}_{\gBall}{\rm C}_{\gBslct}$} &= \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \times \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}\\
\\
&= 3 \cdot 5 \times 5 \cdot 2\\
\\
&= 15 \times 10 = 150(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \colFB{red}{女子から少なくとも1人}\colMM{red}{は,以下の4パターン}\\
& \colMM{red}{男男男女 男男女女 男女女女 女女女女}\\
& \colMM{red}{これを否定すると「男男男男」1パターンのみ!}\\
& \colMM{red}{  \Rightarrow 全体 - 「男男男男」}\\
\\
& 11\ 人から\ 4\ 人を選ぶ組み合わせは,\colBX{lightcyan}{${}_{11}{\rm C}_{4}$}通り\\
& そのうち男子ばかりを選ぶ組み合わせは,\\
& 男子\ 6\ 人から\ 4\ 人を選べば良いから,\colBX{bisque}{${}_{6}{\rm C}_{4}$}通り\\
\\
& よって,選び方の総数は,\\
\\
&   \begin{align*}
\colBX{lightcyan}{${}_{11}{\rm C}_{4}$} - \colBX{bisque}{${}_{6}{\rm C}_{4}$} &= \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} - \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\
\\
&= 11 \cdot 10 \cdot 3 - 5 \cdot 3\\
\\
&= 330 - 15 = 315(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

男子5人,女子6人から5人を選ぶ。次のような選び方は何通りあるか。

この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)

【解答】

\def\gAall{5}
\def\gAslct{2}
\def\gBall{6}
\def\gBslct{3}
\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 男子\ \gAall\ 人から\ \gAslct\ 人を選ぶ\\
&   組み合わせは,\colBX{bisque}{${}_{\gAall}{\rm C}_{\gAslct}$}\ 通り\\
& 女子\ \gBall\ 人から\ \gBslct\ 人を選ぶ\\
&   組み合わせは,\colBX{palegreen}{${}_{\gBall}{\rm C}_{\gBslct}$}\ 通り\\
\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により選び方の総数は,\\
\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{${}_{\gAall}{\rm C}_{\gAslct}$} \times \colBX{palegreen}{${}_{\gBall}{\rm C}_{\gBslct}$} &= \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \times \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\
\\
&= 5 \cdot 2 \times 5 \cdot 4\\
\\
&= 10 \times 20 = 200(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \colFB{red}{女子から少なくとも1人}\colMM{red}{は,以下の5パターン}\\
& \colMM{red}{男男男男女 男男男女女 男男女女女 男女女女女 女女女女女}\\
& \colMM{red}{これを否定すると「男男男男男」1パターンのみ!}\\
& \colMM{red}{  \Rightarrow 全体 - 「男男男男男」}\\
\\
& 11\ 人から\ 5\ 人を選ぶ組み合わせは,\colBX{lightcyan}{${}_{11}{\rm C}_{5}$}通り\\
& そのうち男子ばかりを選ぶ組み合わせは,\\
& 男子\ 5\ 人から\ 5\ 人を選べば良いから,\colBX{bisque}{${}_{5}{\rm C}_{5}$}通り\\
\\
& よって,選び方の総数は,\\
\\
&   \begin{align*}
\colBX{lightcyan}{${}_{11}{\rm C}_{5}$} - \colBX{bisque}{${}_{5}{\rm C}_{5}$} &= \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} - 1\\
\\
&= 11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 - 1\\
\\
&= 11 \cdot 42 -1\\
\\
&= 462 - 1 = 461(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

男子4人,女子5人から4人を選ぶ。次のような選び方は何通りあるか。

この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)

【解答】

\def\gAall{4}
\def\gAslct{2}
\def\gBall{5}
\def\gBslct{2}
\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 男子\ \gAall\ 人から\ \gAslct\ 人を選ぶ\\
&   組み合わせは,\colBX{bisque}{${}_{\gAall}{\rm C}_{\gAslct}$}\ 通り\\
& 女子\ \gBall\ 人から\ \gBslct\ 人を選ぶ\\
&   組み合わせは,\colBX{palegreen}{${}_{\gBall}{\rm C}_{\gBslct}$}\ 通り\\
\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により選び方の総数は,\\
\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{${}_{\gAall}{\rm C}_{\gAslct}$} \times \colBX{palegreen}{${}_{\gBall}{\rm C}_{\gBslct}$} &= \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \times \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}\\
\\
&= 2 \cdot 3 \times 5 \cdot 2\\
\\
&= 6 \times 10 = 60(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \colFB{red}{男子から少なくとも1人}\colMM{red}{は,以下の5パターン}\\
& \colMM{red}{男女女女 男男女女 男男男女 男男男男}\\
& \colMM{red}{これを否定すると「女女女女」1パターンのみ!}\\
& \colMM{red}{  \Rightarrow 全体 - 「女女女女」}\\
\\
& 9\ 人から\ 4\ 人を選ぶ組み合わせは,\colBX{lightcyan}{${}_{9}{\rm C}_{4}$}通り\\
& そのうち女子ばかりを選ぶ組み合わせは,\\
& 女子\ 5\ 人から\ 4\ 人を選べば良いから,\colBX{bisque}{${}_{5}{\rm C}_{4}$}通り\\
\\
& よって,選び方の総数は,\\
\\
&   \begin{align*}
\colBX{lightcyan}{${}_{9}{\rm C}_{4}$} - \colBX{bisque}{${}_{5}{\rm C}_{4}$} &= \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} - \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\
\\
&= 9 \cdot 2 \cdot 7 - 5\\
\\
&= 126 - 5 = 121(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です