数字を並べて整数を作るのは何通り？

SHARE

「場合の数と確率」

６個の数字１，２，３，４，５，６すべてを並べて６桁の整数を作るとき，次のような整数はいくつできるか。

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

\large\bf 偶数 \Longleftrightarrow 一の位が偶数

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 偶数になるためには，一の位が偶数\\
& すなわち\ 2,\ 4,\ 6\ のいずれかであればよいから，\\
& 一の位は\ \colBX{bisque}{$3$}\ 通りである。\\
& 　\colNS{gray}{これらのどの場合でも}\colMM{red}{　　{}_{5}{\rm P}_{5}\DarrでもOK}\\
& 残りの５個の数字の並べ方は\ \colBX{palegreen}{$5\,!$}通りずつある。\\
& よって，\\
& \colFR{red}{\bf 積の法則}により偶数は全部で，\\
& 　\colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{5\,!} = 3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 15 \cdot 24 = 360（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 60万未満の整数となるためには，十万の位が\ 6\ 未満\\
& すなわち\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\ のいずれかであればよいから，\\
& 十万の位は\ \colBX{bisque}{$5$}\ 通りである。\\
& 　\colNS{gray}{これらのどの場合でも}\colMM{red}{　　　{}_{5}{\rm P}_{5}\DarrでもOK}\\
& 残りの５個の数字の並べ方は\ \colBX{palegreen}{$5\,!$}通りずつある。\\
& よって，\\
& \colFR{red}{\bf 積の法則}により偶数は全部で，\\
& 　\colBX{bisque}{$5$} \times \colBX{palegreen}{5\,!} = 5 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 25 \cdot 24 = 600（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

６個の数字１，２，３，４，５，６から，異なる４個を並べて４桁の整数を作るとき，次のような整数はいくつできるか。

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

\large\bf 奇数 \Longleftrightarrow 一の位が奇数

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 奇数になるためには，一の位が奇数\\
& すなわち\ 1,\ 3,\ 5\ のいずれかであればよいから，\\
& 一の位は\ \colBX{bisque}{$3$}\ 通りである。\\
& 　\colNS{gray}{これらのどの場合でも}\\
& 残りの\ 3\ 個の数字の並べ方は\ \colBX{palegreen}{${}_{5}{\rm P}_{3}$}通りずつある。\\
& よって，\\
& \colFR{red}{\bf 積の法則}により偶数は全部で，\\
& 　\colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{${}_{5}{\rm P}_{3}$} = 3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 = 3 \cdot 60 = 180（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 3000以上の整数となるためには，千の位が\ 3\ 以上\\
& すなわち\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\ のいずれかであればよいから，\\
& 千の位は\ \colBX{bisque}{$4$}\ 通りである。\\
& 　\colNS{gray}{これらのどの場合でも}\colMM{red}{　　　残り5個から3個を並べる}\\
& 残りの\ 3\ 個の数字の並べ方は\ \colBX{palegreen}{${}_{5}{\rm P}_{3}$}通りずつある。\\
& よって，\\
& \colFR{red}{\bf 積の法則}により偶数は全部で，\\
& 　\colBX{bisque}{$4$} \times \colBX{palegreen}{${}_{5}{\rm P}_{3}$} = 4 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 = 4 \cdot 60 = 240（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

０，１，２，３，４，５，６の中から異なる３個を並べて３桁の整数を作るとき，次のような整数はいくつできるか。

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 百の位は\ 0\ を除く\ 6\ 個から選ぶから\ 6\ 通り。\\
& 十の位は残り\ 6\ 個から選ぶから\ 6\ 通り。\\
& 一の位は残り\ 5\ 個から選ぶから\ 5\ 通り。\\
& よって，\\
& \colFR{red}{\bf 積の法則}により，\\
& 　6 \times 6 \times 5 = 180（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \scriptsize\color{red}0\ は百の位になれない。\\
& \scriptsize\color{red}0\ は一の位に入れば偶数になる。\\
& \scriptsize\color{red}\quad\Rightarrow 0\ の位置で場合分け！\\
\\
& \ (i)\ 0\ が一の位にくる場合\\
& \qquad\colorbox{mistyrose}{または}\\
& (ii)\ 0\ が一の位にこない場合\\
\\
& \ (i)\ 0\ が一の位にくる場合\\
& 残り\ 6\ 個から\ 2\ 個選んで百・十の位に並べるのは\\
& \qquad{}_{6}{\rm P}_{2} = 6 \cdot 5 = 30（通り）\\
\\
& (ii)\ 0\ が一の位にこない場合\\
& 2,\ 4,\ 6\ が一の位にくるのが\ 3\ 通り\\
& 残り\ 6\ 個から\ 0\ を除いた\ 5\ 個から百の位を選ぶのが\ 5\ 通り。\\
& 残り\ 5\ 個から十の位を選ぶのが\ 5\ 通り。\\
\\
& 百の位は\ 0\ を除く\ 6\ 個から選ぶから\ 6\ 通り。\\
& 十の位は残り\ 6\ 個から選ぶから\ 6\ 通り。\\
& 一の位は残り\ 5\ 個から選ぶから\ 5\ 通り。\\
& よって，\\
& \colFR{red}{\bf 積の法則}により，\\
& 　3 \times 5 \times 5 = 75（個）\\
\\
& したがって,\\
& \qquad 30 + 75 = 105（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 451\ より大きい数だから百の位は,\ 4, \ 5,\ 6\ のいずれかである。\\
\\
& \ (i)\ 4\ が百の位にくる場合\\
& \qquad 452, 453, 456\\
& \qquad 460, 461, 462, 463, 465\\
& \qquad 以上,\ 8\ 通り。\\
\\
& (ii)\ 5\ が百の位にくる場合\\
& \qquad 残り\ 6\ 個から\ 2\ 個選んで十・一の位に並べるのは\\
& \qquad\qquad{}_{6}{\rm P}_{2} = 6 \cdot 5 = 30（通り）\\
\\
& (iii)\ 6\ が百の位にくる場合\\
& \qquad 残り\ 6\ 個から\ 2\ 個選んで十・一の位に並べるのは\\
& \qquad\qquad{}_{6}{\rm P}_{2} = 6 \cdot 5 = 30（通り）\\
\\
& したがって,\\
& \qquad 8 + 30 + 30 = 68（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

2 COMMENTS

岡

2つ目の問題、「１，２，３，４，５，６すべてを並べて４桁の整数を・・・」よりも「１，２，３，４，５，６から４つ選んで４桁の整数を・・・」の方がしっくりくる気がします。

返信する
btakeshi

ご指摘ありがとうございます。m(_ _)m
コピーして貼り付けたため、変な表現になっていました。
修正しました。

返信する

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 ※ が付いている欄は必須項目です

前の記事

場合の数を求める基本「積の法則」

次の記事

組分けの総数