全部使って整数を作ろう
6個の数字 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 すべてを並べて6桁の整数を作るとき,次のような整数はいくつできるでしょうか。
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
6個の数字すべて!並べればいいよね。
【解答】
\def\N{6} \def\S{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \def\K{720} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} & 数字\ \N\ 個の並べ方は,\\ & \textcolor{lightgray}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}=}\colBX{palegreen}{$\N\,!$}\ 通り\\ & \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}}= \S\\ & \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}}= \K(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
一の位が偶数であればよいから,一の位に使える偶数を数えよう!
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が偶数!}\\ & 偶数になるためには,\\ & 一の位が\ 2,\ 4,\ 6\ の\\ & いずれかであればいいから,\\ & 一の位は \colBX{bisque}{$3$}通り\\ & \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば一の位に「4」を選んだとする}\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆◆◆4\ \leftarrow 残り5桁!}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6}\\ & 残りの\ 5\ 個の数字の並べ方は\\ & \textcolor{lightgray}{{}_{5}{\rm P}_{5}=}\colBX{palegreen}{$5\,!$}\ 通り\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\ & よって,偶数は全部で,\\ & \colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{$5\,!$}\\ &= 3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\ &= 360(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
一の位が奇数であればよいから,一の位に使える奇数を数えよう!
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が奇数!}\\ & 奇数になるためには,\\ & 一の位が\ 1,\ 3,\ 5\ の\\ & いずれかであればいいから,\\ & 一の位は \colBX{bisque}{$3$}通り\\ & \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば一の位に「5」を選んだとする}\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆◆◆5\ \leftarrow 残り5桁!}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6}\\ & 残りの\ 5\ 個の数字の並べ方は\\ & \textcolor{lightgray}{{}_{5}{\rm P}_{5}=}\colBX{palegreen}{$5\,!$}\ 通り\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\ & よって,奇数は全部で,\\ & \colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{$5\,!$}\\ &= 3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\ &= 360(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
十万の位が 6 未満であればよいから,十万の位に使える数字を数えよう!
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◆◇◇◇◇◇\ \leftarrow 十万の位が\ 6\ 未満}\\ & 60万未満の整数となるためには,\\ & 十万の位が\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\ の\\ & いずれかであればいいから,\\ & 十万の位は \colBX{bisque}{$5$}通り\\ & \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば十万の位に「5」を選んだとする}\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ 5◆◆◆◆◆\ \leftarrow 残り5桁!}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6}\\ & 残りの\ 5\ 個の数字の並べ方は\\ & \textcolor{lightgray}{{}_{5}{\rm P}_{5}=}\colBX{palegreen}{$5\,!$}\ 通り\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\ & よって,60万未満の整数は全部で,\\ & \colBX{bisque}{$5$} \times \colBX{palegreen}{$5\,!$}\\ &= 5 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\ &= 600(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
5個の数字 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 すべてを並べて5桁の整数を作るとき,次のような整数はいくつできるでしょうか。
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
5個の数字すべて!並べればいいよね。
【解答】
\def\N{5} \def\S{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \def\K{120} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} & 数字\ \N\ 個の並べ方は,\\ & \textcolor{lightgray}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}=}\colBX{palegreen}{$\N\,!$}\ 通り\\ & \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}}= \S\\ & \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}}= \K(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
一の位が偶数であればよいから,一の位に使える偶数を数えよう!
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が偶数!}\\ & 偶数になるためには,\\ & 一の位が\ 2,\ 4\ の\\ & いずれかであればいいから,\\ & 一の位は \colBX{bisque}{$2$}通り\\ & \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば一の位に「4」を選んだとする}\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆◆4\ \leftarrow 残り4桁!}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 5}\\ & 残りの\ 4\ 個の数字の並べ方は\\ & \textcolor{lightgray}{{}_{4}{\rm P}_{4}=}\colBX{palegreen}{$4\,!$}\ 通り\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\ & よって,偶数は全部で,\\ & \colBX{bisque}{$2$} \times \colBX{palegreen}{$4\,!$}\\ &= 2 \times 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\ &= 48(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
一の位が奇数であればよいから,一の位に使える奇数を数えよう!
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が奇数!}\\ & 奇数になるためには,\\ & 一の位が\ 1,\ 3,\ 5\ の\\ & いずれかであればいいから,\\ & 一の位は \colBX{bisque}{$3$}通り\\ & \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば一の位に「5」を選んだとする}\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆◆5\ \leftarrow 残り4桁!}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 4}\\ & 残りの\ 4\ 個の数字の並べ方は\\ & \textcolor{lightgray}{{}_{4}{\rm P}_{4}=}\colBX{palegreen}{$4\,!$}\ 通り\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\ & よって,奇数は全部で,\\ & \colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{$4\,!$}\\ &= 3 \times 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\ &= 72(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
万の位が 4 未満であればよいから,万の位に使える数字を数えよう!
➡並べる数字に0が入っている時は要注意!
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◆◇◇◇◇\ \leftarrow 万の位が\ 4\ 未満}\\ & 4万未満の整数となるためには,\\ & 万の位が\ 1,\ 2,\ 3\ の\\ & いずれかであればいいから,\\ & 万の位は \colBX{bisque}{$3$}通り\\ & \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば万の位に「3」を選んだとする}\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ 3◆◆◆◆\ \leftarrow 残り4桁!}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 4,\ 5}\\ & 残りの\ 4\ 個の数字の並べ方は\\ & \textcolor{lightgray}{{}_{4}{\rm P}_{4}=}\colBX{palegreen}{$4\,!$}\ 通り\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\ & よって,4万未満の整数は全部で,\\ & \colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{$4\,!$}\\ &= 3 \times 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\ &= 72(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
一部を使って整数を作ろう
6個の数字 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 から,異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき,次のような整数はいくつできるでしょうか。
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
6個の数字から4個選んで並べればいいよね。
➡並べる数字に0が入っている時は要注意!
【解答】
\def\N{6} \def\P{4} \def\S{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} \def\K{360} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} & \ \N\ 個から異なる\ \P\ 個をとって並べるのは,\\ & {}_{\N}{\rm P}_{\P} = \S\\ & \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\P}} = \K(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
一の位が奇数であればよいから,一の位に使える奇数を数えよう!
【解答】
\def\ICHI{1,\ 3,\ 5} \def\ICHIN{3} \def\SELECT{1} \def\NKORI{2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6} \def\N{5} \def\R{3} \def\SIKI{3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3} \def\KOTAE{180} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が奇数!}\\ & 奇数になるためには,\\ & 一の位が\ \ICHI\ の\\ & いずれかであればいいから,\\ & 一の位は \colBX{bisque}{$\ICHIN$}通り\\ & \colMM{orange}{ \ \ \ \Darr \SELECT を選んだとすれば}\\ \colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆\ \SELECT\ \leftarrow 残り\ \R\ 桁!}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6}\\ & 残りの\ \R\ 個の数字の並べ方は\\ & 残っている\ \N\ 個から\ \R\ 個とって並べればよいから,\\ & {}_{\N}{\rm P}_{\R}\ 通り\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\ & よって,奇数は全部で,\\ & \colBX{bisque}{$\ICHIN$} \times \colBX{palegreen}{${}_{\N}{\rm P}_{\R}$}\\ &= \SIKI\\ &= \KOTAE(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
↓この問題へのリンクはこちら(右クリックで保存)
一の位が偶数であればよいから,一の位に使える偶数を数えよう!
【解答】
\def\ICHI{2,\ 4,\ 6} \def\ICHIN{3} \def\SELECT{2} \def\NOKORI{1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6} \def\N{5} \def\R{3} \def\SIKI{3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3} \def\KOTAE{180} \newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が偶数!}\\ & 偶数になるためには,\\ & 一の位が\ \ICHI\ の\\ & いずれかであればいいから,\\ & 一の位は \colBX{bisque}{$\ICHIN$}通り\\ & \colMM{orange}{ \ \ \ \Darr \SELECT を選んだとすれば}\\ \colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆\ \SELECT\ \leftarrow 残り\ \R\ 桁!}\colMM{orange}{ 残る数字は\ \NOKORI}\\ & 残りの\ \R\ 個の数字の並べ方は\\ & 残っている\ \N\ 個から\ \R\ 個とって並べればよいから,\\ & {}_{\N}{\rm P}_{\R}\ 通り\\ \\ \colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\ & よって,偶数は全部で,\\ & \colBX{bisque}{$\ICHIN$} \times \colBX{palegreen}{${}_{\N}{\rm P}_{\R}$}\\ &= \SIKI\\ &= \KOTAE(個) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan