全部使って整数を作ろう
６個の数字 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 すべてを並べて６桁の整数を作るとき，次のような整数はいくつできるでしょうか。
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６個の数字すべて！並べればいいよね。
【解答】
\def\N{6}
\def\S{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
\def\K{720}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& 数字\ \N\ 個の並べ方は，\\
& \textcolor{lightgray}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}=}\colBX{palegreen}{$\N\,!$}\ 通り\\
& \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}}= \S\\
& \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}}= \K（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
一の位が偶数であればよいから，一の位に使える偶数を数えよう！
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が偶数！}\\
& 偶数になるためには，\\
& 一の位が\ 2,\ 4,\ 6\ の\\
& いずれかであればいいから，\\
& 一の位は \colBX{bisque}{$3$}通り\\
& \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば一の位に「4」を選んだとする}\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆◆◆４\ \leftarrow 残り５桁！}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6}\\
& 残りの\ 5\ 個の数字の並べ方は\\
& \textcolor{lightgray}{{}_{5}{\rm P}_{5}=}\colBX{palegreen}{$5\,!$}\ 通り\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\
& よって，偶数は全部で，\\
& \colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{$5\,!$}\\
&= 3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 360（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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一の位が奇数であればよいから，一の位に使える奇数を数えよう！
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が奇数！}\\
& 奇数になるためには，\\
& 一の位が\ 1,\ 3,\ 5\ の\\
& いずれかであればいいから，\\
& 一の位は \colBX{bisque}{$3$}通り\\
& \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば一の位に「5」を選んだとする}\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆◆◆５\ \leftarrow 残り５桁！}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6}\\
& 残りの\ 5\ 個の数字の並べ方は\\
& \textcolor{lightgray}{{}_{5}{\rm P}_{5}=}\colBX{palegreen}{$5\,!$}\ 通り\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\
& よって，奇数は全部で，\\
& \colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{$5\,!$}\\
&= 3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 360（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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十万の位が 6 未満であればよいから，十万の位に使える数字を数えよう！
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◆◇◇◇◇◇\ \leftarrow 十万の位が\ 6\ 未満}\\
& 60万未満の整数となるためには，\\
& 十万の位が\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\ の\\
& いずれかであればいいから，\\
& 十万の位は \colBX{bisque}{$5$}通り\\
& \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば十万の位に「5」を選んだとする}\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ５◆◆◆◆◆\ \leftarrow 残り５桁！}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6}\\
& 残りの\ 5\ 個の数字の並べ方は\\
& \textcolor{lightgray}{{}_{5}{\rm P}_{5}=}\colBX{palegreen}{$5\,!$}\ 通り\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\
& よって，60万未満の整数は全部で，\\
& \colBX{bisque}{$5$} \times \colBX{palegreen}{$5\,!$}\\
&= 5 \times 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 600（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan５個の数字 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 すべてを並べて５桁の整数を作るとき，次のような整数はいくつできるでしょうか。
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５個の数字すべて！並べればいいよね。
【解答】
\def\N{5}
\def\S{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
\def\K{120}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& 数字\ \N\ 個の並べ方は，\\
& \textcolor{lightgray}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}=}\colBX{palegreen}{$\N\,!$}\ 通り\\
& \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}}= \S\\
& \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\N}}= \K（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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一の位が偶数であればよいから，一の位に使える偶数を数えよう！
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が偶数！}\\
& 偶数になるためには，\\
& 一の位が\ 2,\ 4\ の\\
& いずれかであればいいから，\\
& 一の位は \colBX{bisque}{$2$}通り\\
& \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば一の位に「4」を選んだとする}\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆◆４\ \leftarrow 残り４桁！}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 5}\\
& 残りの\ 4\ 個の数字の並べ方は\\
& \textcolor{lightgray}{{}_{4}{\rm P}_{4}=}\colBX{palegreen}{$4\,!$}\ 通り\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\
& よって，偶数は全部で，\\
& \colBX{bisque}{$2$} \times \colBX{palegreen}{$4\,!$}\\
&= 2 \times 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 48（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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一の位が奇数であればよいから，一の位に使える奇数を数えよう！
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が奇数！}\\
& 奇数になるためには，\\
& 一の位が\ 1,\ 3,\ 5\ の\\
& いずれかであればいいから，\\
& 一の位は \colBX{bisque}{$3$}通り\\
& \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば一の位に「5」を選んだとする}\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆◆５\ \leftarrow 残り４桁！}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 4}\\
& 残りの\ 4\ 個の数字の並べ方は\\
& \textcolor{lightgray}{{}_{4}{\rm P}_{4}=}\colBX{palegreen}{$4\,!$}\ 通り\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\
& よって，奇数は全部で，\\
& \colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{$4\,!$}\\
&= 3 \times 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 72（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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万の位が 4 未満であればよいから，万の位に使える数字を数えよう！
➡並べる数字に０が入っている時は要注意！
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◆◇◇◇◇\ \leftarrow 万の位が\ 4\ 未満}\\
& 4万未満の整数となるためには，\\
& 万の位が\ 1,\ 2,\ 3\ の\\
& いずれかであればいいから，\\
& 万の位は \colBX{bisque}{$3$}通り\\
& \colMM{orange}{ \Rightarrow 例えば万の位に「3」を選んだとする}\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ３◆◆◆◆\ \leftarrow 残り４桁！}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 4,\ 5}\\
& 残りの\ 4\ 個の数字の並べ方は\\
& \textcolor{lightgray}{{}_{4}{\rm P}_{4}=}\colBX{palegreen}{$4\,!$}\ 通り\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\
& よって，4万未満の整数は全部で，\\
& \colBX{bisque}{$3$} \times \colBX{palegreen}{$4\,!$}\\
&= 3 \times 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 72（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan一部を使って整数を作ろう
６個の数字 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 から，異なる４個を並べて４桁の整数を作るとき，次のような整数はいくつできるでしょうか。
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６個の数字から４個選んで並べればいいよね。
➡並べる数字に０が入っている時は要注意！
【解答】
\def\N{6}
\def\P{4}
\def\S{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}
\def\K{360}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \ \N\ 個から異なる\ \P\ 個をとって並べるのは，\\
& {}_{\N}{\rm P}_{\P} = \S\\
& \textcolor{white}{{}_{\N}{\rm P}_{\P}} = \K（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
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一の位が奇数であればよいから，一の位に使える奇数を数えよう！
【解答】
\def\ICHI{1,\ 3,\ 5}
\def\ICHIN{3}
\def\SELECT{1}
\def\NKORI{2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6}
\def\N{5}
\def\R{3}
\def\SIKI{3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3}
\def\KOTAE{180}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が奇数！}\\
& 奇数になるためには，\\
& 一の位が\ \ICHI\ の\\
& いずれかであればいいから，\\
& 一の位は \colBX{bisque}{$\ICHIN$}通り\\
& \colMM{orange}{ \ \ \ \Darr \SELECT を選んだとすれば}\\
\colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆\ \SELECT\ \leftarrow 残り\ \R\ 桁！}\colMM{orange}{ 残る数字は\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6}\\
& 残りの\ \R\ 個の数字の並べ方は\\
& 残っている\ \N\ 個から\ \R\ 個とって並べればよいから，\\
& {}_{\N}{\rm P}_{\R}\ 通り\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\
& よって，奇数は全部で，\\
& \colBX{bisque}{$\ICHIN$} \times \colBX{palegreen}{${}_{\N}{\rm P}_{\R}$}\\
&= \SIKI\\
&= \KOTAE（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
一の位が偶数であればよいから，一の位に使える偶数を数えよう！
【解答】
\def\ICHI{2,\ 4,\ 6}
\def\ICHIN{3}
\def\SELECT{2}
\def\NOKORI{1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6}
\def\N{5}
\def\R{3}
\def\SIKI{3 \times 5 \cdot 4 \cdot 3}
\def\KOTAE{180}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{\fbox{Step.1}} & \colMM{red}{ ◇◇◇◆\ \leftarrow 一の位が偶数！}\\
& 偶数になるためには，\\
& 一の位が\ \ICHI\ の\\
& いずれかであればいいから，\\
& 一の位は \colBX{bisque}{$\ICHIN$}通り\\
& \colMM{orange}{ \ \ \ \Darr \SELECT を選んだとすれば}\\
\colMM{red}{\fbox{Step.2}} & \colMM{red}{ ◆◆◆\ \SELECT\ \leftarrow 残り\ \R\ 桁！}\colMM{orange}{ 残る数字は\ \NOKORI}\\
& 残りの\ \R\ 個の数字の並べ方は\\
& 残っている\ \N\ 個から\ \R\ 個とって並べればよいから，\\
& {}_{\N}{\rm P}_{\R}\ 通り\\
\\
\colMM{red}{\fbox{Step.3}} & \colMM{red}{ 積の法則}\\
& よって，偶数は全部で，\\
& \colBX{bisque}{$\ICHIN$} \times \colBX{palegreen}{${}_{\N}{\rm P}_{\R}$}\\
&= \SIKI\\
&= \KOTAE（個）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan