条件を付けて並べる

「場合の数と確率」

5個の文字a,b,c,d,eすべてを1列に並べるとき,次のような並べ方は何通りあるか。

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 両端でのa,bの並べ方は\ \colBX{bisque}{${}_{2}{\rm P}_{2}$}\ 通りある。\\
&  \colNS{gray}{そのそれぞれに対して,}\\
& c,d,eの3文字の並べ方は\ \colBX{palegreen}{$3\,!$}\ 通りずつある。\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により\\
& a,bが両端にくる並べ方は,\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{${}_{2}{\rm P}_{2}$} \times \colBX{palegreen}{$3\,!$} &= 2 \cdot 1 \times 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 2 \times 6 = 12(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 隣り合うa,bを1つのものとみなして,\\
& 4\ つのものを並べると考えると,\\
& その並べ方は\ \colBX{bisque}{$4\,!$}\ 通りある。\\
&  \colNS{gray}{そのそれぞれに対して,}\\
& a,bの並べ方は\ \colBX{palegreen}{$2\,!$}\ 通りずつある。\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により\\
& a,bが隣り合う並べ方は,\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{$4\,!$} \times \colBX{palegreen}{$2\,!$} &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 2 \cdot 1\\
&= 24 \times 2 = 48(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

男子2人,女子3人が1列に並ぶとき,次のような並べ方は何通りあるか。

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 両端での女子の並べ方は\\
& 女子\ 3\ 人から\ 2\ 人を選んで並べるから\ \colBX{bisque}{${}_{3}{\rm P}_{2}$}\ 通りある。\\
&  \colNS{gray}{そのそれぞれに対して,}\\
& 残り\ 3\ 人の並べ方は\ \colBX{palegreen}{$3\,!$}\ 通りずつある。\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により\\
& 女子が両端にくる並べ方は,\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{${}_{3}{\rm P}_{2}$} \times \colBX{palegreen}{$3\,!$} &= 3 \cdot 2 \times 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 6 \times 6 = 36(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 続いて並ぶ女子\ 3\ 人を1つのものとみなして,\\
& 3\ つのものを並べると考えると,\\
& その並べ方は\ \colBX{bisque}{$3\,!$}\ 通りある。\\
&  \colNS{gray}{そのそれぞれに対して,}\\
& 女子\ 3\ 人の並べ方は\ \colBX{palegreen}{$3\,!$}\ 通りずつある。\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により\\
& 女子\ 3\ 人が続いて並ぶ並べ方は,\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{$3\,!$} \times \colBX{palegreen}{$3\,!$} &= 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 6 \times 6 = 36(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

男子5人,女子3人が1列に並ぶとき,次のような並べ方は何通りあるか。

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 両端での男子の並べ方は\\
& 男子\ 5\ 人から\ 2\ 人を選んで並べるから\ \colBX{bisque}{${}_{5}{\rm P}_{2}$}\ 通りある。\\
&  \colNS{gray}{そのそれぞれに対して,}\\
& 残り\ 6\ 人の並べ方は\ \colBX{palegreen}{$6\,!$}\ 通りずつある。\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により\\
& 男子が両端にくる並べ方は,\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{${}_{5}{\rm P}_{2}$} \times \colBX{palegreen}{$6\,!$} &= 5 \cdot 4 \times 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 20 \times 720 = 14400(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 続いて並ぶ女子\ 3\ 人を1つのものとみなして,\\
& 6\ つのものを並べると考えると,\\
& その並べ方は\ \colBX{bisque}{$6\,!$}\ 通りある。\\
&  \colNS{gray}{そのそれぞれに対して,}\\
& 女子\ 3\ 人の並べ方は\ \colBX{palegreen}{$3\,!$}\ 通りずつある。\\
& よって,\colFR{red}{\bf 積の法則}により\\
& 女子\ 3\ 人が続いて並ぶ並べ方は,\\
&   \begin{align*}
\colBX{bisque}{$6\,!$} \times \colBX{palegreen}{$3\,!$} &= 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 3 \cdot 2 \cdot 1\\
&= 720 \times 6 = 4320(通り)
\end{align*}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

A,B,C,Dの4つのボックスにそれぞれ1つずつの色を塗るとき,次の問いに答えなさい。

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 青,赤,黄,緑の4文字を並べて箱の前に置けばいいから\\
& \qquad {}_{4}{\rm P}_{4} = 4\,! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24(通り)

\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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【解答】

\newcommand\colNS[2]{\textcolor{#1}{#2}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& 青,赤,黄の3文字から2回使う色を選ぶのは\\
& \qquad 3\ 通り。\\
& 4つの箱から選んだ同じ色を塗るボックスの選び方は\\
& \qquad{}_{4}{\rm C}_{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6(通り)\\
\\
& 残った2つのボックスに残った2色を塗るのは\\
& \qquad {}_{2}{\rm P}_{2} = 2\,! = 2 \cdot 1 = 2(通り)\\
\\
& したがって\\
& \qquad 3 \times 6 \times 2 = 36(通り)

\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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