btakeshi
「場合の数と確率」に入る前に「集合」の基本的な事項をまとめておきます。場合の数や確率を求めるにあたって「集合」は大切な考え方になります。高校数学ではあまり表に出てきませんが，集合と確率のつながりを意識すると見えないものが見えてくるようになるはずです。
集合と要素
属しているものが明確に定まるものの集まりを 集合 という。この集合に属している１つ１つのものを，その集合の 要素 または 元 という。
- ５以下の自然数全体の集まり
- 素数全体の集まり
- ３の倍数の集まり
などのように，それに属しているものが明確に定まるものの集まりを 集合 といいます。英語では set です。お子様セットとか，ランチセットとかの set です。こちらの方が分かりやすい気がします。
集合はアルファベット大文字を使って
A,\ B,\ C,\ \cdots
などと表します。集合はA, B, C, とアルファベット頭から順に使っていきます。文字は２つ以上組合せても構いません。例えば有名な集合に
SMAP
というのがあります。既に解散してしまいましたが，５人のメンバーの集まりでしたね。
- きれいな花の集まり
- 大きな生物の集まり
なんてのも集合に見えますが，「きれいな花」は人それぞれ異なります。どのぐらい大きいと「大きな生物」に含めるのか明確ではありません。このように人や感覚によって変わってしまうものは，数学では集合として扱いません。
btakeshi
世界中の誰もが同じメンバーをイメージするものの集まり、それが集合です。
集合に属している（含まれている）１つ１つのものを，その集合の 要素 といいます。英語では element または member などと表します。集合のメンバーと言われると分かりやすいですね。
先程の集合の例で考えてみましょう。
- ５以下の自然数全体の集まり
➡要素は「1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5」の５つだけ。 - 素数全体の集まり
➡要素は「2,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots」無限にあります。 - ３の倍数の集まり
➡要素は「3,\ 6,\ 9,\ 12,\ \cdots」無限にあります。
btakeshi
要素は英語で element といいます。ファンタジーの世界が好きな方なら，element といえば「火・空気・水・土」という四元素を思い浮かべるはずです。これも世界を構成する大切な集合ですね。
- a が集合 A の要素であることを a \in A
- b が集合 A の要素でないことを b \notin B
先程の集合の例で考えてみましょう。５以下の自然数全体の集まりを A とします。
- 3は「5以下の自然数」だから
- 3はAの要素です。
➡\ 3 \in A
- 3はAの要素です。
- 7は「5以下の自然数」ではないから
- 7はAの要素ではありません。
➡\ 7 \notin A
- 7はAの要素ではありません。
btakeshi
「ますどら」では \KaTeX という仕組みを使って数式を表現しています。残念ながら日本で使われている要素でないことを表す記号と \notin は，ななめ線が逆になっています。どちらでも問題はありませんが，世界では \notin が一般的なようです。
特に断りがなければ N は
自然数全体の集合
を表します。英語で自然数のことを
Natural Number
といいます。この頭文字をとって N と表します。
特に断りがなければ R は
実数全体の集合
を表します。英語で実数のことを
Real Number
といいます。この頭文字をとって R と表します。
よくある表現です。きちんと解釈すれば
n\ は集合\ N\ の要素である
となります。特に断りがなければ N は自然数全体の集合を表すから
n\ は自然数
という意味になります。よく出てくるので慣れてしまいましょう。
よくある表現です。きちんと解釈すれば
x\ は集合\ R\ の要素である
となります。特に断りがなければ R は実数全体の集合を表すから
x\ は実数
という意味になります。よく出てくるので慣れてしまいましょう。
有限集合と無限集合
有限個の要素からなる集合を 有限集合 という。無限に多くの要素からなる集合を 無限集合 という。
読んで字のごとく「限り有る集合」です。きちんとした定義は難しいですが，自然数の集合 \{\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\ \} と全単射（１対１対応）が存在することで定義されます。簡単にいうと「１個２個・・・ｎ個」と数えられるものが有限集合です。
読んで字のごとく「限りが無い集合」です。数学的には有限集合ではない集合のことを無限集合と呼びます。こちらも簡単にいうと数えきれないものが無限集合です。
変な話ですが数え切れないけれど個数（濃度）を考えられます。例えば自然数全体の集合の要素の個数は \aleph_{0} です。興味ある人は「アレフ０」で検索してみてください。
次の集合を，要素を書き並べて表そう。
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【解答】
\def\set{2,\ 4,\ 6,\ 8,}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{集合は中括弧で始めて 閉じる}\\
\colMM{red}{\Darr\ \ \Darr}\\
\{\ \colFR{orange}{$\set$}\ \cdots\ \}\\
\colMM{orange}{正の偶数を並べる \Uarr}\colMM{green}{ \Uarr 無} & \colMM{green}{限に続く \cdots}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan言葉の確認
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& この集合をAとすれば\\
& \colBX{mistyrose}{$A$} = \{2,\ \colBX{bisque}{$4$},\ 6,\ 8,\ \cdots\}\\
\\
& \colBX{bisque}{$4$}は \colBX{mistyrose}{$A$} に属する（含まれる）から\\
& \Rightarrow 4\ は\ A\ の{\color{red}\bf 要素}である\\
& \Rightarrow4 \in A\\
\\
& 5 は \colBX{mistyrose}{$A$} に属さない（含まれない）から\\
& \Rightarrow 5\ は\ A\ の{\bf 要素でない}\\
& \Rightarrow 5 \notin A\\
\\
& A は無限に多くの要素からなる集合だから\\
& \Rightarrow {\color{red}\bf 無限集合}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{ 式} \colMM{green}{条件}\\
& \{\ \colBX{bisque}{$2x$}\ |\ \colBX{palegreen}{$x$は正の整数}\ \}\\
& \colMM{green}{ \Darr 条件を満たす\ x\ を並べる}\\
& = \{\ 2\,\colFR{magenta}{$x$}\ |\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots\ \}\\
& \colMM{magenta}{ \Longleftarrow x\ を式に代入}\\
&= \{\ 2\cdot\colFR{magenta}{$1$},\ 2\cdot\colFR{magenta}{$2$},\ 2\cdot\colFR{magenta}{$3$},\ 2\cdot\colFR{magenta}{$4$},\ \cdots\ \}\\
& \colMM{deepskyblue}{ \Darr 計算}\\
&= \{\ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \cdots\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan言葉の確認
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& この集合をAとすれば\\
& \colBX{mistyrose}{$A$} = \{2,\ 4,\ \colBX{bisque}{$6$},\ 8,\ \cdots\}\\
\\
& \colBX{bisque}{$6$}は \colBX{mistyrose}{$A$} に属する（含まれる）から\\
& \Rightarrow 6\ は\ A\ の{\color{red}\bf 要素}である\\
& \Rightarrow 6 \in A\\
\\
& 7 は \colBX{mistyrose}{$A$} に属さない（含まれない）から\\
& \Rightarrow 7は\ A\ の{\bf 要素でない}\\
& \Rightarrow 7 \notin A\\
\\
& A は無限に多くの要素からなる集合だから\\
& \Rightarrow {\color{red}\bf 無限集合}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
24の正の約数 &= かけて24を探す！\\
\\
24 &= 1 \times 24\\
&= 2 \times 12\\
&= 3 \times 8\\
&= 4 \times 6
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan【解答】
\def\set{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{集合は中括弧で始めて 閉じる}\\
\colMM{red}{\Darr \ \Darr}\\
\{\ \colFR{orange}{$\set$}\ \}\\
\colMM{orange}{かけて24になる数を並べる \Uarr }
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan言葉の確認
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& この集合をAとすれば\\
& \colBX{mistyrose}{$A$} = \{1,\ \colBX{bisque}{$2$},\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\ \}\\
\\
& \colBX{bisque}{$2$}は \colBX{mistyrose}{$A$} に属する（含まれる）から\\
& \Rightarrow 2\ は\ A\ の{\color{red}\bf 要素}である\\
& \Rightarrow 2 \in A\\
\\
& 7 は \colBX{mistyrose}{$A$} に属さない（含まれない）から\\
& \Rightarrow 7\ は\ A\ の{\bf 要素でない}\\
& \Rightarrow 7 \notin A\\
\\
& A は有限個の要素からなる集合だから\\
& \Rightarrow {\color{red}\bf 有限集合}\\
& \Rightarrow 数えられる！ n(A)= 8
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{ 式} \colMM{green}{条件}\\
& \{\ \colBX{bisque}{$x$}\ |\ \colBX{palegreen}{$x \in N$\ かつ\ $x$\ は$\,24\,$の約数}\ \}\\
& \colMM{green}{ \Darr 条件を満たす\ x\ を並べる}\\
& = \{\ \colFR{magenta}{$x$}\ |\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\ \}\\
& \colMM{magenta}{ \Longleftarrow x\ を式に代入}\\
&= \{\ \colFR{magenta}{$1$},\ \colFR{magenta}{$2$},\ \colFR{magenta}{$3$},\ \colFR{magenta}{$4$},\ \colFR{magenta}{$6$},\ \colFR{magenta}{$8$},\ \colFR{magenta}{$12$},\ \colFR{magenta}{$24$}\ \}\\
& \colMM{deepskyblue}{ \Darr 計算・・・はないけど}\\
&= \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan言葉の確認
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& この集合をAとすれば\\
& \colBX{mistyrose}{$A$} = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \colBX{bisque}{$6$},\ 8,\ 12,\ 24\}\\
\\
& \colBX{bisque}{$6$}は \colBX{mistyrose}{$A$} に属する（含まれる）から\\
& \Rightarrow 6\ は\ A\ の{\color{red}\bf 要素}である\\
& \Rightarrow 6 \in A\\
\\
& 7 は \colBX{mistyrose}{$A$} に属さない（含まれない）から\\
& \Rightarrow 7\ は\ A\ の{\bf 要素でない}\\
& \Rightarrow 7 \notin A\\
\\
& A は有限個の要素からなる集合だから\\
& \Rightarrow {\color{red}\bf 有限集合}\\
& \Rightarrow 数えられる！ n(A)=8
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& \colMM{orange}{ 式} \colMM{green}{条件}\\
& \{\ \colBX{bisque}{$2n-1$}\ |\ \colBX{palegreen}{$n \in N$}\ \}\\
& \colMM{green}{ \Darr 条件を満たす\ n\ を並べる}\\
& = \{\ 2\colFR{magenta}{$n$}-1\ |\ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots\ \}\\
& \colMM{magenta}{ \Longleftarrow x\ を式に代入}\\
&= \{2\cdot\colFR{magenta}{$1$}-1,\ 2\cdot\colFR{magenta}{$2$}-1,\ 2\cdot\colFR{magenta}{$3$}-1,\ 2\cdot\colFR{magenta}{$4$}-1,\ \cdots\ \}\\
& \colMM{deepskyblue}{ \Darr 計算}\\
&= \{\ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan言葉の確認
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& この集合をAとすれば\\
& \colBX{mistyrose}{$A$} = \{1,\ 3,\ 5,\ \colBX{bisque}{$7$},\ \cdots\ \}\\
\\
& \colBX{bisque}{$7$}は \colBX{mistyrose}{$A$} に属する（含まれる）から\\
& \Rightarrow 7\ は\ A\ の{\color{red}\bf 要素}である\\
& \Rightarrow 7 \in A\\
\\
& 8 は \colBX{mistyrose}{$A$} に属さない（含まれない）から\\
& \Rightarrow 8\ は\ A\ の{\bf 要素でない}\\
& \Rightarrow 8 \notin A\\
\\
& A は無限に多くの要素からなる集合だから\\
& \Rightarrow {\color{red}\bf 無限集合}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\def\set{1,\ 3,\ 5,\ 7,}
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{集合は中括弧で始めて 閉じる}\\
\colMM{red}{\Darr\ \ \Darr}\\
\{\ \colFR{orange}{$\set$}\ \cdots\ \}\\
\colMM{orange}{正の奇数を並べる \Uarr}\colMM{green}{ \Uarr 無} & \colMM{green}{限に続く \cdots}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan言葉の確認
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
& この集合をAとすれば\\
& \colBX{mistyrose}{$A$} = \{1,\ \colBX{bisque}{$3$},\ 5,\ 7,\ \cdots\}\\
\\
& \colBX{bisque}{$3$}は \colBX{mistyrose}{$A$} に属する（含まれる）から\\
& \Rightarrow 3\ は\ A\ の{\color{red}\bf 要素}である\\
& \Rightarrow 3 \in A\\
\\
& 4 は \colBX{mistyrose}{$A$} に属さない（含まれない）から\\
& \Rightarrow 4\ は\ A\ の{\bf 要素でない}\\
& \Rightarrow 4 \notin A\\
\\
& A は無限に多くの要素からなる集合だから\\
& \Rightarrow {\color{red}\bf 無限集合}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
