共通部分と和集合

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btakeshi
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集合たちの世界に「和と積」を導入します。数の世界の和積とは異なりますが、やりたいことは同じです。そんなことも想像しながら共通部分と和集合について見ていきます。

共通部分と和集合

２つの集合 A，B について，A と B の両方に属する要素全体の集合を，A と B の 共通部分 といい，A \cap B で表す。

２つの集合 A，B について，A と B の少なくとも一方に属する要素全体の集合を，A と B の 和集合 といい，A \cup B で表す。

２つの集合 A，B について，A と B の両方に属する要素全体の集合のことを，A と B の 共通部分 といいます。これを記号では A \cap B と表します。カッコよく数式で書くと以下のようになります。

A \cap B = \{\ x\ |\ x \in A　かつ　x \in B\ \}

共通部分のことを英語で

intersection

といい，交差点を意味します。複数の道路が交わった場所，それが共通部分です。前置詞 inter には「〜の間」とか「相互の」といった意味があります。意味から覚えましょう。

btakeshi
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語弊を恐れずに言えば，集合たちの世界における「積」にあたるのが「共通部分」という考え方です。みなさんがよく知っている「積」とは若干異なりますが。「和集合」が「和」だというのは想像しやすいですよね。

２つの集合 A，B について，A と B の少なくとも一方に属する要素全体の集合のことを，A と B の 和集合 といいます。これを記号では A \cup B と表します。カッコよく数式で書くと以下のようになります。

A \cup B = \{\ x\ |\ x \in A　または　x \in B\ \}

「少なくとも一方」というのが分かりにくい表現ですが，以下の３種類の要素が対象です。

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
1.\  & A\ だけに含まれる要素\\
2.\  & B\ だけに含まれる要素\\
3.\  & A\ と\ B\ だけに含まれる要素
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

一言で言えば「ぜんぶ」です。

和集合のことは英語で

Union

といい，２つ以上のものを結合することを意味します。

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勝手な想像ですが，和集合を意味する union の頭文字をとって記号 \cup を作ったと思っています。この記号をひっくり返したのが部分集合の記号 \cap ではないでしょうか。本当のところは考案者のペアノさんしか分かりませんが。

要素を１つも持たない集合を 空集合 といいます。記号では \varnothing と表します。なぜ空集合が必要なのでしょうか。それは共通部分が「ない」ことを表現するためです。例えば偶数全体の集合 A と，奇数全体の集合 B には共通部分がありません。このことを

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
A \cap B &= \{\ \colBX{mistyrose}{\color{red}空っぽ}\ \} = \colBX{mistyrose}{$\varnothing$}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

と表現します。

空集合のことは英語で

Empty set

といいます。まさに空っぽ（empty）な集合です。空集合には要素が含まれていないので

n(\varnothing) = 0

となるのは良いですよね。

btakeshi
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2021年ドラマ「天国と地獄」で，「クウシュウゴウ」という謎の登場人物が出てきた時は驚きましたね。数学の言葉がドラマに登場するなんて滅多になくて嬉しかったのでメモしておきます。

次の集合 A,\ B について，A \cap B，A \cup B を求めよう。

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \begin{matrix}
\colFR{black}{A} & 1 & \colBX{bisque}{$2$} & 3 & \colBX{bisque}{$4$} & 5\\
\colFR{black}{B} &    & \colBX{bisque}{$2$} &    & \colBX{bisque}{$4$} &   & 6 & 8\\\hline
   & \colBX{palegreen}{$1$} & \colBX{palegreen}{$2$} & \colBX{palegreen}{$3$} & \colBX{palegreen}{$4$} & \colBX{palegreen}{$5$} & \colBX{palegreen}{$6$} & \colBX{palegreen}{$8$}
\end{matrix}\\
\\
& よって\\
& A \cap B = \left\{\ \colBX{bisque}{$2,\ 4$}\ \right\}\colMM{orange}{\cdots共通部分}\\
\\
& A \cup B = \left\{\ \colBX{palegreen}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8$}\ \right\}\colMM{green}{\cdots 和集合＝すべて！}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \begin{matrix}
\colFR{black}{A} & & 2 & \colBX{bisque}{$3$} &  \colBX{bisque}{$5$} & \colBX{bisque}{$7$}\\
\colFR{black}{B} & 1 & &\colBX{bisque}{$3$} & \colBX{bisque}{$5$} & \colBX{bisque}{$7$} & 9\\\hline
   & \colBX{palegreen}{$1$} & \colBX{palegreen}{$2$} & \colBX{palegreen}{$3$} & \colBX{palegreen}{$5$} & \colBX{palegreen}{$7$} & \colBX{palegreen}{$9$}
\end{matrix}\\
\\
& よって\\
& A \cap B = \left\{\ \colBX{bisque}{$3,\ 5,\ 7$}\ \right\}\colMM{orange}{\cdots共通部分}\\
\\
& A \cup B = \left\{\ \colBX{palegreen}{$1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9$}\ \right\}\colMM{green}{\cdots 和集合＝すべて！}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\newcommand\colFB[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\scriptsize\bf\color{#1}#2}}}
\begin{align*}
& \begin{matrix}
\colFR{black}{A} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\colFR{black}{B} & & & & & & 6 & 7 & 8 & 9\\\hline
   & \colBX{palegreen}{$1$} & \colBX{palegreen}{$2$} & \colBX{palegreen}{$3$} & \colBX{palegreen}{$4$} & \colBX{palegreen}{$5$} & \colBX{palegreen}{$6$} & \colBX{palegreen}{$7$} & \colBX{palegreen}{$8$} & \colBX{palegreen}{$9$}
\end{matrix}\\
\\
& よって\\
& A \cap B = \left\{\ \colBX{bisque}{なし}\ \right\} = \varnothing\colMM{orange}{\cdots共通部分なし = 空集合}\\
\\
& A \cup B = \left\{\ \colBX{palegreen}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$}\ \right\}\colMM{green}{\cdots 和集合＝すべて！}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

次の集合について，共通部分や和集合を求めてみよう

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
A &= \{\ 1,\ 2,\ 3\ \}\\
B &= \{\ 1,\ 3,\ 5\ \}\\
C &= \{\ 4,\ 5,\ 6\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
A &= \{\ \colBX{bisque}{$1$},\ 2,\ \colBX{bisque}{$3$}\ \}\\
B &= \{\ \colBX{bisque}{$1$},\ \colBX{bisque}{$3$},\ 5\ \}\\
\\
\colMM{red}{A \cap B} & \colMM{red}{\cdots A\ と\ B\ の両方に属する要素全体だから}\\
A \cap B &= \{\ \colBX{bisque}{$1$},\ \colBX{bisque}{$3$}\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
A &= \{\ \colBX{bisque}{$1$},\ \colBX{palegreen}{$2$},\ \colBX{bisque}{$3$}\ \}\\
B &= \{\ \colBX{bisque}{$1$},\ \colBX{bisque}{$3$},\ \colBX{violet}{$5$}\ \}\\
\\
\colMM{red}{A \cup B} & \colMM{red}{\cdots A\ と\ B\ の少なくとも一方に属する要素全体だから}\\
A \cup B &= \{\ \colBX{bisque}{$1$},\ \colBX{bisque}{$3$},\ \colBX{palegreen}{$2$},\ \colBX{violet}{$5$}\ \}\\
\\
&= \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 5\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
B &= \{\ 1,\ 3,\ \colBX{bisque}{$5$}\ \}\\
C &= \{\ 4,\ \colBX{bisque}{$5$},\ 6\ \}\\
\\
\colMM{red}{B \cap C} & \colMM{red}{\cdots B\ と\ C\ の両方に属する要素全体だから}\\
B \cap C &= \{\ \colBX{bisque}{$5$}\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
B &= \{\ \colBX{palegreen}{$1,\ 3$},\ \colBX{bisque}{$5$}\ \}\\
C &= \{\ \colBX{violet}{$4$},\ \colBX{bisque}{$5$},\ \colBX{violet}{$6$}\ \}\\
\\
\colMM{red}{B \cup C} & \colMM{red}{\cdots B\ と\ C\ の少なくとも一方に属する要素全体だから}\\
B \cup C &= \{\ \colBX{bisque}{$5$},\ \colBX{palegreen}{1,\ 3},\ \colBX{violet}{4,\ 6}\ \}\\
\\
&= \{\ 1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
C &= \{\ 4,\ 5,\ 6\ \}\\
A &= \{\ 1,\ 2,\ 3\ \}\\
\\
\colMM{red}{C \cap A} & \colMM{red}{\cdots C\ と\ A\ の両方に属する要素・・・\colBX{mistyrose}{ない}}\\
C \cap A &= \{\ \colBX{mistyrose}{　}\ \} = \colBX{mistyrose}{$\varnothing $}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

【解答】

\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
C &= \{\ \colBX{palegreen}{$4,\ 5,\ 6$}\ \}\\
A &= \{\ \colBX{violet}{$1,\ 2,\ 3$}\ \}\\
\\
\colMM{red}{C \cup A} & \colMM{red}{\cdots C\ と\ A\ の少なくとも一方に属する要素全体だから}\\
C \cup A &= \{\ \colBX{palegreen}{4,\ 5,\ 6},\ \colBX{violet}{$1,\ 2,\ 3$}\ \}\\
\\
&= \{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\ \}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan

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