btakeshi
数の世界では３つの大小関係が成り立ちます。それを不等号を使って ≧ > = < ≦ で表します。集合たちの世界にも同じように大小関係を考えてみましょう。
部分集合
集合 A のどの要素も集合 B の要素であるとき， A は B の 部分集合 であるという。
A のどの要素も B の要素であるとき，A は B の 部分集合 といいます。A が B の一部分であることを表しています。
余談ですが，数式でカッコよく書くと次のようになります。
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{任意の \Darr すべての\ \ }\\
\forall\ \colFR{green}{$x \in A$} & \Longrightarrow \colFR{magenta}{$x \in B$}\\
\colMM{green}{Aの要素x} & \colMM{gray}{ は }\colMM{magenta}{Bの要素}
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan日本語では説明が長くまどろっこしく感じますが，数式を使うとスッキリと表現できます。
A のどの要素も B の要素であるとき，A は B の 部分集合 といいます。このとき記号で
A \subset B
と書きます。「A は B の部分集合」とか「A は B に 含まれる 」と読みます。左側が主語になる英語みたいな読み方です。
A のどの要素も B の要素であるとき，A は B の 部分集合 といいます。このとき記号で
B \supset A
と書くこともあります。「B は A を 含む 」と読みます。左側が主語になる英語みたいな読み方です。
A \subset B かつ B \subset A
が成り立つとき， A と B は 等しい といい，
A=B
と表します。これは集合たちの世界に「等しい」を定義したことになります。このあと，集合たちの世界に「和や差そして積」みたいなものを導入していきます。お楽しみに。
A は A の部分集合です。ちょっと不思議な感じがしますが，簡単に説明しておきます。
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
A = \colBX{bisque}{$A$} & \colMM{orange}{ \searrow 等しいの定義}\\
\Longleftrightarrow & A \subset \colBX{bisque}{$A$} かつ \colBX{bisque}{$A$} \subset A
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyanが成り立つとき， A と B は 等しい といい，
A=B
と表します。これで集合たちの世界に「等しい」を定義したことになります。このあと，集合たちの世界に「和や差そして積」みたいなものを導入していきます。お楽しみに。
次の２つの集合 A,\ B の関係を，記号 \subset を使って表そう。
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{①\ }& \colMM{red}{Aの要素を並べる}\\
A &= \{\ x\ |\ x\ は自然数\}\\
&= \{\ x\ |\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\}\\
&= \{\colBX{bisque}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots$}\}\\
\\
\colMM{red}{②\ }& \colMM{red}{Bの要素を並べる}\\
B &= \{\ x\ |\ x\ は整数\}\\
&= \{\ x\ |\ x=\cdots,\ -2,\ ,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\}\\
&= \{\cdots,\ -2,\ -1,\ 0,\ \colBX{bisque}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots$}\}\\
\\
\colBX{bisque}{集合$A$} & のどの要素も集合Bの要素であるから\\
\\
& \colBX{bisque}{A} \subset B （\colBX{bisque}{$A$}はBの部分集合）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan↓この問題へのリンクはこちら（右クリックで保存）
【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}}
\newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}}
\newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}}
\newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}}
\newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}}
\begin{align*}
\colMM{red}{①\ }& \colMM{red}{Aの要素を並べる}\\
A &= \{\ 4x\ |\ x \in N\}\\
&= \{\ 4x\ |\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\}\\
&= \{4 \cdot 1,\ 4 \cdot 2,\ 4 \cdot 3,\ 4 \cdot 4,\ 4 \cdot 5,\ \cdots\}\\
&= \{4,\ \colBX{bisque}{$8$},\ 12,\ \colBX{bisque}{$16$},\ 20,\ \cdots\}\\
\\
\colMM{red}{②\ }& \colMM{red}{Bの要素を並べる}\\
B &= \{\ 8x\ |\ x \in N\}\\
&= \{\ 8x\ |\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\}\\
&= \{8 \cdot 1,\ 8 \cdot 2,\ 8 \cdot 3,\ 8 \cdot 4,\ 8 \cdot 5,\ \cdots\}\\
&= \{\colBX{bisque}{$8,\ 16,\ 24,\ 32,\ 40,\ \cdots$}\}\\
\\
\colBX{bisque}{集合$B$} & のどの要素も集合Aの要素であるから\\
\\
& \colBX{bisque}{B} \subset A （\colBX{bisque}{$B$}はAの部分集合）
\end{align*}
%1 orange,bisque
%2 green,palegreen
%3 magenta, violet
%4 deepskyblue, lightcyan
