
btakeshi
数の世界では3つの大小関係が成り立ちます。それを不等号を使って ≧ > = < ≦ で表します。集合たちの世界にも同じように大小関係を考えてみましょう。
部分集合
集合 A のどの要素も集合 B の要素であるとき, A は B の 部分集合 であるという。
A のどの要素も B の要素であるとき,A は B の 部分集合 といいます。A が B の一部分であることを表しています。
余談ですが,数式でカッコよく書くと次のようになります。
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{任意の \Darr すべての\ \ }\\ \forall\ \colFR{green}{$x \in A$} & \Longrightarrow \colFR{magenta}{$x \in B$}\\ \colMM{green}{Aの要素x} & \colMM{gray}{ は }\colMM{magenta}{Bの要素} \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
日本語では説明が長くまどろっこしく感じますが,数式を使うとスッキリと表現できます。
A のどの要素も B の要素であるとき,A は B の 部分集合 といいます。このとき記号で
A \subset B
と書きます。「A は B の部分集合」とか「A は B に 含まれる 」と読みます。左側が主語になる英語みたいな読み方です。
A のどの要素も B の要素であるとき,A は B の 部分集合 といいます。このとき記号で
B \supset A
と書くこともあります。「B は A を 含む 」と読みます。左側が主語になる英語みたいな読み方です。
A \subset B かつ B \subset A
が成り立つとき, A と B は 等しい といい,
A=B
と表します。これは集合たちの世界に「等しい」を定義したことになります。このあと,集合たちの世界に「和や差そして積」みたいなものを導入していきます。お楽しみに。
A は A の部分集合です。ちょっと不思議な感じがしますが,簡単に説明しておきます。
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} A = \colBX{bisque}{$A$} & \colMM{orange}{ \searrow 等しいの定義}\\ \Longleftrightarrow & A \subset \colBX{bisque}{$A$} かつ \colBX{bisque}{$A$} \subset A \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
が成り立つとき, A と B は 等しい といい,
A=B
と表します。これで集合たちの世界に「等しい」を定義したことになります。このあと,集合たちの世界に「和や差そして積」みたいなものを導入していきます。お楽しみに。
次の2つの集合 A,\ B の関係を,記号 \subset を使って表そう。
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{①\ }& \colMM{red}{Aの要素を並べる}\\ A &= \{\ x\ |\ x\ は自然数\}\\ &= \{\ x\ |\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\}\\ &= \{\colBX{bisque}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots$}\}\\ \\ \colMM{red}{②\ }& \colMM{red}{Bの要素を並べる}\\ B &= \{\ x\ |\ x\ は整数\}\\ &= \{\ x\ |\ x=\cdots,\ -2,\ ,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\}\\ &= \{\cdots,\ -2,\ -1,\ 0,\ \colBX{bisque}{$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots$}\}\\ \\ \colBX{bisque}{集合$A$} & のどの要素も集合Bの要素であるから\\ \\ & \colBX{bisque}{A} \subset B (\colBX{bisque}{$A$}はBの部分集合) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan
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【解答】
\newcommand\colNS[2]{\color{#1}#2\color{black}} \newcommand\colUL[2]{\textcolor{#1}{\underline{\color{black}#2}}} \newcommand\colMM[2]{\color{#1}\scriptsize #2\color{black}} \newcommand\colBX[2]{\colorbox{#1}{#2}} \newcommand\colFR[2]{\textcolor{#1}{\fbox{\color{black}#2}}} \begin{align*} \colMM{red}{①\ }& \colMM{red}{Aの要素を並べる}\\ A &= \{\ 4x\ |\ x \in N\}\\ &= \{\ 4x\ |\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\}\\ &= \{4 \cdot 1,\ 4 \cdot 2,\ 4 \cdot 3,\ 4 \cdot 4,\ 4 \cdot 5,\ \cdots\}\\ &= \{4,\ \colBX{bisque}{$8$},\ 12,\ \colBX{bisque}{$16$},\ 20,\ \cdots\}\\ \\ \colMM{red}{②\ }& \colMM{red}{Bの要素を並べる}\\ B &= \{\ 8x\ |\ x \in N\}\\ &= \{\ 8x\ |\ x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\}\\ &= \{8 \cdot 1,\ 8 \cdot 2,\ 8 \cdot 3,\ 8 \cdot 4,\ 8 \cdot 5,\ \cdots\}\\ &= \{\colBX{bisque}{$8,\ 16,\ 24,\ 32,\ 40,\ \cdots$}\}\\ \\ \colBX{bisque}{集合$B$} & のどの要素も集合Aの要素であるから\\ \\ & \colBX{bisque}{B} \subset A (\colBX{bisque}{$B$}はAの部分集合) \end{align*} %1 orange,bisque %2 green,palegreen %3 magenta, violet %4 deepskyblue, lightcyan