部分積分法

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

【 $\log$ なし】

\displaystyle\int {\rm A} \cdot {\rm B}\,dx

微分すると簡単な式になるのは $\colorbox{mistyrose}{A}$ とする

(\colorbox{mistyrose}{A})' = \colorbox{lightcyan}{微分A}

残った $B$ を積分して

\int {\rm B}\,dx = \colorbox{lightgreen}{積分{\rm B}} + C

部分積分！

\int {\rm A} \cdot {\rm B}\,dx = \colorbox{mistyrose}{A}\cdot\colorbox{lightgreen}{積分B}-\int \colorbox{lightcyan}{微分A}\cdot\colorbox{lightgreen}{積分B}\,dx

【 $\log$ あり】

\displaystyle\int {\rm A} \cdot \log{\rm B}\,dx

$\log$ がある ⇒ $\log{\rm B}$ を微分

(\colorbox{mistyrose}{$\log{\rm B}$})' = \colorbox{lightcyan}{微分 log{\rm B}}

残った $A$ を積分して

\int {\rm A}\,dx = \colorbox{lightgreen}{積分A} + C

部分積分！

\int {\rm A} \cdot {\rm B}\,dx = \colorbox{mistyrose}{$\log$B}\cdot\colorbox{lightgreen}{積分A}-\int \colorbox{lightcyan}{微分$\log$B}\cdot\colorbox{lightgreen}{積分A}\,dx

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の不定積分を求めよ。

\displaystyle\int x \cos{x}\,dx

微分すると簡単な式になるのは $\colorbox{mistyrose}{$x$}$

(\colorbox{mistyrose}{$x$})' = \colorbox{lightcyan}{$1$}

残った $\cos{x}$ を積分して

\int \cos{x}\,dx = \colorbox{lightgreen}{$\sin{x}$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int x \cos{x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$x$}\colorbox{lightgreen}{$\sin{x}$}-\int \colorbox{lightcyan}{$1$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$\sin{x}$}\,dx\\ \\ &= x\sin{x}-\int \sin{x}\,dx\\ \\ &= x\sin{x}-(-\cos{x})+C\\ \\ &= x\sin{x}+\cos{x}+C \end{align*}

\displaystyle\int x \sin{x}\,dx

微分すると簡単な式になるのは $\colorbox{mistyrose}{$x$}$

(\colorbox{mistyrose}{$x$})' = \colorbox{lightcyan}{$1$}

残った $\sin{x}$ を積分して

\int \sin{x}\,dx = \colorbox{lightgreen}{$-\cos{x}$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int x \sin{x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$x$}\colorbox{lightgreen}{$(-\cos{x})$}-\int \colorbox{lightcyan}{$1$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$(-\cos{x})$}\,dx\\ \\ &= -x\cos{x}+\int \cos{x}\,dx\\ \\ &= -x\cos{x}+\sin{x}+C \end{align*}

\displaystyle\int x e^{x}\,dx

微分すると簡単な式になるのは $\colorbox{mistyrose}{$x$}$

(\colorbox{mistyrose}{$x$})' = \colorbox{lightcyan}{$1$}

残った $e^{x}$ を積分して

\int e^{x}\,dx = \colorbox{lightgreen}{$e^{x}$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int x e^{x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$x$}\colorbox{lightgreen}{$e^x$}-\int \colorbox{lightcyan}{$1$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$e^x$}\,dx\\ \\ &= x e^{x}-\int e^{x}\,dx\\ \\ &= x e^{x}-e^{x}+C\\ \\ &= (x-1)e^x +C \end{align*}

\displaystyle\int \log{x}\,dx

$\log$ がある ⇒ $\log$ を微分

(\colorbox{mistyrose}{$\log{x}$})' = \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x}$}

1

を積分して

\int 1\,dx = \colorbox{lightgreen}{$x$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int \textcolor{orange}{1\cdot}\log{x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$\log{x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$x$}-\int \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$x$}\,dx\\ \\ &= x\log{x}-\int 1\,dx\\ \\ &= x\log{x}-x+C \end{align*}

\displaystyle\int \log{2x}\,dx

$\log$ がある ⇒ $\log$ を微分

(\colorbox{mistyrose}{$\log{2x}$})' = \dfrac{1}{2x} \times (2x)' = \dfrac{2}{2x} = \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x}$}

1

を積分して

\int 1\,dx = \colorbox{lightgreen}{$x$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int \textcolor{orange}{1\cdot}\log{2x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$\log{2x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$x$}-\int \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$x$}\,dx\\ \\ &= x\log{2x}-\int 1\,dx\\ \\ &= x\log{2x}-x+C \end{align*}

\displaystyle\int \log{x^2}\,dx

$\log$ がある ⇒ $\log$ を微分

(\colorbox{mistyrose}{$\log{x^2}$})' = \dfrac{1}{x^2} \times (x^2)' = \dfrac{2x}{x^2} = \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{2}{x}$}

1

を積分して

\int 1\,dx = \colorbox{lightgreen}{$x$} + C

【解答】

\begin{align*} &\int \textcolor{orange}{1\cdot}\log{x^2}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$\log{x^2}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$x$}-\int \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{2}{x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$x$}\,dx\\ \\ &= x\log{x^2}-\int 2\,dx\\ \\ &= x\log{x^2}-2x+C \end{align*}

\displaystyle\int x\log{x}\,dx

$\log$ がある ⇒ $\log$ を微分

(\colorbox{mistyrose}{$\log{x}$})' = \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x}$}

残った $x$ を積分して

\int x\,dx = \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{2}x^2$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int x\log{x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$\log{x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$\dfrac12x^2$}-\int \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$\dfrac12x^2$}\,dx\\ \\ &= \dfrac12x^2\log{x}-\dfrac12\int x\,dx\\ \\ &= \dfrac12x^2\log{x}-\dfrac12 \cdot \dfrac12x^2+C\\ \\ &= \dfrac12x^2\log{x}-\dfrac14x^2+C \end{align*}

\displaystyle\int x \sin{2x}\,dx

微分すると簡単な式になるのは $\colorbox{mistyrose}{$x$}$

(\colorbox{mistyrose}{$x$})' = \colorbox{lightcyan}{$1$}

残った $\sin{2x}$ を積分して

\int \sin{2x}\,dx = -\cos{2x} \times \dfrac{1}{(2x)'} = \colorbox{lightgreen}{$-\dfrac12\cos{2x}$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int x \sin{2x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$x$}\cdot\left(\colorbox{lightgreen}{$-\dfrac12\cos{2x}$}\right)-\int \colorbox{lightcyan}{$1$} \cdot \left(\colorbox{lightgreen}{$-\dfrac12\cos{2x}$}\right)\,dx\\ \\ &= -\dfrac12x\cos{2x}+\dfrac12\int \cos{2x}\,dx\\ \\ &= -\dfrac12x\cos{2x}+\dfrac12 \cdot \sin{2x} \times \dfrac{1}{(2x)'}+C\\ \\ &= -\dfrac12x\cos{2x}+\dfrac12 \cdot \sin{2x} \times \dfrac{1}{2}+C\\ \\ &= -\dfrac12x\cos{2x}+\dfrac14 \sin{2x}+C \end{align*}

\displaystyle\int x e^{2x}\,dx

微分すると簡単な式になるのは $\colorbox{mistyrose}{$x$}$

(\colorbox{mistyrose}{$x$})' = \colorbox{lightcyan}{$1$}

残った $e^{2x}$ を積分して

\int e^{2x}\,dx = e^{2x} \times \dfrac{1}{(2x)'} = \colorbox{lightgreen}{$\dfrac12 e^{2x}$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int x e^{2x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$x$}\cdot\colorbox{lightgreen}{$\dfrac12 e^{2x}$}-\int \colorbox{lightcyan}{$1$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$\dfrac12 e^{2x}$}\,dx\\ \\ &= \dfrac12x e^{2x}-\dfrac12\int e^{2x}\,dx\\ \\ &= \dfrac12x e^{2x}-\dfrac12 e^{2x} \times \dfrac{1}{(2x)'}+C\\ \\ &= \dfrac12x e^{2x}-\dfrac12 e^{2x} \times \dfrac{1}{2}+C\\ \\ &= \dfrac12x e^{2x}-\dfrac14 e^{2x}+C\\ \\ &= \dfrac24x e^{2x}-\dfrac14 e^{2x}+C\\ \\ &= \dfrac14(2x-1)e^{2x}+C \end{align*}

\displaystyle\int \dfrac{x}{\cos^2{x}}\,dx

微分すると簡単な式になるのは $\colorbox{mistyrose}{$x$}$

(\colorbox{mistyrose}{$x$})' = \colorbox{lightcyan}{$1$}

残った $\dfrac{1}{\cos^2{x}}$ を積分して

\int \dfrac{1}{\cos^2{x}}\,dx = \colorbox{lightgreen}{$\tan{x}$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int \dfrac{x}{\cos^2{x}}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$x$}\cdot\colorbox{lightgreen}{$\tan{x}$}-\int \colorbox{lightcyan}{$1$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$\tan{x}$}\,dx\\ \\ &= x\tan{x}-\int\tan{x}\,dx\\ \\ &= x\tan{x}-\int\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\,dx\\ \\ &= x\tan{x}+\int\dfrac{-\sin{x}}{\cos{x}}\,dx\\ \\ &= x\tan{x}+\log|{\cos{x}}|+C \end{align*}

\displaystyle\int \log{3x}\,dx

$\log$ がある ⇒ $\log$ を微分

(\colorbox{mistyrose}{$\log{3x}$})' = \dfrac{1}{3x} \times (3x)' = \dfrac{3}{3x} = \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x}$}

1

を積分して

\int 1\,dx = \colorbox{lightgreen}{$x$} + C

【解答】

\begin{align*} & \int \textcolor{orange}{1\cdot}\log{3x}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$\log{3x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$x$}-\int \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x}$} \cdot \colorbox{lightgreen}{$x$}\,dx\\ \\ &= x\log{3x}-\int 1\,dx\\ \\ &= x\log{3x}-x+C \end{align*}

\displaystyle\int \log{(x+1)}\,dx

$\log$ がある ⇒ $\log$ を微分

\left\{\colorbox{mistyrose}{$\log{(x+1)}$}\right\}' = \dfrac{1}{x+1} \times (x+1)' = \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x+1}$}

1

を積分して

\int 1\,dx = x+C = \colorbox{lightgreen}{$x+1$} + C

【解答】

\begin{align*} &\int \textcolor{orange}{1\cdot}\log{(x+1)}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$\log{(x+1)}$} \cdot (\colorbox{lightgreen}{$x+1$})-\int \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x+1}$} \cdot (\colorbox{lightgreen}{$x+1$})\,dx\\ \\ &= (x+1)\log{(x+1)}-\int 1\,dx\\ \\ &= (x+1)\log{(x+1)}-x+C \end{align*}

\displaystyle\int \log{|x^2-1|)}\,dx

$\log$ がある ⇒ $\log$ を微分

\left(\colorbox{mistyrose}{$\log{|x^2-1|}$}\right)' = \dfrac{1}{x^2-1} \times (x^2-1)' = \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{2x}{x^2-1}$}

1

を積分して

\int 1\,dx = x+C = \colorbox{lightgreen}{$x+1$} + C

【解答】

\begin{align*} &\int \textcolor{orange}{1\cdot}\log{(x+1)}\,dx\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$\log{(x+1)}$} \cdot (\colorbox{lightgreen}{$x+1$})-\int \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{x+1}$} \cdot (\colorbox{lightgreen}{$x+1$})\,dx\\ \\ &= (x+1)\log{(x+1)}-\int 1\,dx\\ \\ &= (x+1)\log{(x+1)}-x+C \end{align*}

編集ログ

20211118…初版公開。問題数13。高校時代苦手だった部分積分ですが、自分なりに説明を工夫していくうちに大好きになりました。でも板書と文章では異なります。分かりやすくまとまったのか心配ではあります。

ポイントを確認！

練習問題にチャレンジ！

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