何度も解いて体で覚えましょう!
次の関数の最大値,最小値を求めよ。
【解答】
①定義域
関数の定義域は (0 \leqq x \leqq 2\pi) である。
②微分!・・・積の微分
\begin{align*} f(x) &= (1+\sin{x}) \times \cos{x}\color{red}\scriptsize\Leftarrow A \times B \\ \color{red}\scriptsize A \times B & \color{red}\scriptsize = A' B \ +\ A B'\\ f'(x) &= (1+\sin{x})'\cos{x} + (1+\sin{x})(\cos{x})'\\ \\ &= \cos{x} \cos{x} + (1+\sin{x}) \times (-\sin{x})\\ \\ &= \cos^2{x}-\sin^2{x}-\sin{x} \color{red}\scriptsize\ \sin,\ \cos どちらかに統一\\ & \color{red}\scriptsize \Darr \sin^2{x}+\cos^2{x}=1\ より\ \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \\ &= (1-\sin^2{x})-\sin^2{x}-\sin{x}\\ &\\ &= -2\sin^2{x}-\sin{x}+1\\ \\ &= -(2\sin^2{x}+\sin{x}-1)\\ \\ &= -(2\sin{x}-1)(\sin{x}+1) \end{align*}
③ f'(x)=0
\begin{align*} f'(x) &= 0\\ -(2\sin{x}-1)(\sin{x}+1) &= 0\\ \color{red}\scriptsize 2\sin{x}-1 = 0, & \color{red}\scriptsize\sin{x}+1=0\\ \sin{x} &= -1,\ \dfrac12\\ x &= \dfrac32\pi,\ \dfrac16\pi,\ \dfrac56\pi\\ \end{align*}
④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.8} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{6} & \cdots & \frac56\pi & \cdots & \frac32\pi & \cdots & 2\pi \\\hline f'(x) & \color{red}{\times} & + & 0 & - & 0 & + & 0 & + & \color{red}\times \\\hline f(x) & 1 & \nearrow & \colorbox{mistyrose}{$\substack{極大\\\frac{3\sqrt{3}}{4}}$} & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$\substack{極小\\-\frac{3\sqrt{3}}{4}}$} & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \\\hline \end{array}
したがって,f(x) は
x = \dfrac{\pi}{6} で最大値 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$},x = \dfrac56\pi で最小値 \colorbox{lightcyan}{$-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$} をとる。【解答】
①定義域
関数の定義域は (0 \leqq x \leqq 2\pi) である。
②微分!・・・積の微分
\begin{align*} f(x) &= (1+\cos{x}) \times \sin{x}\color{red}\scriptsize\Leftarrow A \times B \\ \color{red}\scriptsize A \times B & \color{red}\scriptsize = A' B \ +\ A B'\\ f'(x) &= (1+\cos{x})'\sin{x} + (1+\cos{x})(\sin{x})'\\ \\ &= -\sin{x} \sin{x} + (1+\cos{x}) \times \cos{x}\\ \\ &= -\sin^2{x}+\cos{x}+\cos^2{x} \color{red}\scriptsize\ \sin,\ \cos どちらかに統一\\ & \color{red}\scriptsize \Darr \sin^2{x}+\cos^2{x}=1\ より\ \cos^2{x} -1 = - \sin^2{x} \\ &= (\cos^2{x}-1)+\cos{x}+\cos^2{x}\\ &\\ &= 2\cos^2{x}+\cos{x}-1\\ \\ &= (2\cos{x}-1)(\cos{x}+1) \end{align*}
③ f'(x)=0
\begin{align*} f'(x) &= 0\\ (2\cos{x}-1)(\cos{x}+1) &= 0\\ \color{red}\scriptsize 2\cos{x}-1 = 0, & \color{red}\scriptsize\cos{x}+1=0\\ \cos{x} &= -1,\ \dfrac12\\ x &= \pi,\ \dfrac13\pi,\ \dfrac53\pi\\ \end{align*}
④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.8} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{3} & \cdots & \pi & \cdots & \frac53\pi & \cdots & 2\pi \\\hline y' & \color{red}{\times} & + & 0 & - & 0 & - & 0 & + & \color{red}\times \\\hline y & 0 & \nearrow & \colorbox{mistyrose}{$\substack{極大\\\frac{3\sqrt{3}}{4}}$} & \searrow & 0 & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$\substack{極小\\-\frac{3\sqrt{3}}{4}}$} & \nearrow & 0 \\\hline \end{array}
したがって,f(x) は
x = \dfrac{\pi}{3} で最大値 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$},x = \dfrac53\pi で最小値 \colorbox{lightcyan}{$-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$} をとる。【解答】
①定義域・・・分母 x^2+1 > 0
関数の定義域は (1 \leqq x \leqq 4) である。
②微分!・・・商の微分
\begin{align*} f(x) &= \dfrac{4-3x}{x^2+1}\color{red}\scriptsize\Leftarrow \frac{A}{B} \\ & \color{red}\scriptsize A' B -\ A B'\\ f'(x) &= \dfrac{(4-3x)'(x^2+1)-(4-3x)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2\color{red}\scriptsize\ \Leftarrow B^2}\\ \\ &= \dfrac{-3(x^2+1)-(4-3x) \cdot2x}{(x^2+1)^2}\\ \\ &= \dfrac{-3x^2-3-8x+6x^2}{(x^2+1)^2}\\ \\ &= \dfrac{3x^2-8x-3}{(x^2+1)^2}\\ \\ &= \dfrac{(3x+1)(x-3)}{(x^2+1)^2}\\ \end{align*}
③ f'(x)=0
\begin{align*} f'(x) &= 0\\ \\ \dfrac{(3x+1)(x-3)}{(x^2+1)^2} &= 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺\ (x^2+1)^2\ をかけて & \\ (3x+1)(x-3) &= 0\\ x &= -\dfrac13,\ 3\\ {\footnotesize 定義域}\ 1 \leqq x \leqq 4\ より &\\ x &= 3 \end{align*}
④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.8} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|}\hline x & 1 & \cdots & 3 & \cdots & 4 \\\hline y' & \color{red}\times & - & 0 & + & \color{red}\times\\\hline y & \colorbox{mistyrose}{$\frac12$} & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$\substack{極大\\-\frac12}$} & \nearrow & -\frac{8}{17}\\\hline \end{array}
したがって,f(x) は
x = 1 で最大値 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$},x = 3 で最小値 \colorbox{lightcyan}{$-\dfrac{1}{2}$} をとる。- 20211019…初版公開。問題数3。