絶対値を含む関数でも，微分して増減表をかけば極値を求めることができます。ただし，絶対値があるから中身で場合分けをする必要があります。これが面倒で難しく感じるかもしれません。でも，やっていることは同じです。スペースに制限はないので、これでもかというぐらい無駄に丁寧に計算していきます。途中ひっかかるところがあれば参考にしてください。
気になるところをタップして確認しましょう。
連続な関数 f(x) が，
x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を境目として増加から減少に移るとき，
f(x) は x=\colorbox{mistyrose}{$a$} で 極大 であるといい，
f(\colorbox{mistyrose}{$a$}) を 極大値 という。
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & \cdots & \colorbox{mistyrose}{$a$} & \cdots\\ \hline
f'(x) & \color{red}+ & 0 & \color{blue}-\\\hline
f(x) & \color{red}\substack{増加\\\nearrow} & \substack{極大\\f(\colorbox{mistyrose}{$\scriptsize a$})} & \color{blue}\substack{減少\\\searrow}\\\hline
\end{array}連続な関数 f(x) が，
x=\colorbox{lightcyan}{$b$} を境目として減少から増加に移るとき，
f(x) は x=\colorbox{lightcyan}{$b$} で 極小 であるといい，
f(\colorbox{lightcyan}{$b$}) を 極小値 という。
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & \cdots & \colorbox{lightcyan}{$b$} & \cdots\\ \hline
f'(x) & \color{blue}- & 0 & \color{red}+\\\hline
f(x) & \color{blue}\substack{減少\\\searrow} & \substack{極小\\f(\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize b$})} & \color{red}\substack{増加\\\nearrow}\\\hline
\end{array}極大値と極小値をまとめて 極値 という。
極大値を英語では「local maximum」といい，直訳すると局所的最大値となります。局所的，つまり狭い範囲で考えた時の最大値という意味です。周りと比べて高くなっている部分、それが極大です。
例えば，クラスで一番背が高い人は極大です。とはいえ，あくまでクラス内での話であって，他のクラスや日本全体，さらに世界に目を向ければもっと背が高い人がいるはずです。ちなみに世界一背が高い人が最大値です。これも地球上という局所的なものですが。😱
何度も解いて体で覚えましょう！
次の関数の極値を求めよ。
【解答】
①定義域・・・\sqrt{プラス} だから x+1 \geqq 0
関数の定義域は x \geqq -1 である。
②微分！・・・絶対値の中身で場合分け
x \geqq 0 のとき，|x| = x であるから
\begin{align*}
f(x) &= x\sqrt{x+1}\color{red}\\
&= x \times (x+1)^{\frac12}\color{red}\scriptsize\Leftarrow A \times B \\
\color{red}\scriptsize A \times B & \color{red}\scriptsize = A' B +\ A B'\\
f'(x) &= (x)'(x+1)^{\frac12} + x\left\{(x+1)^{\frac12}\right\}'\\
\\
&= 1 (x+1)^{\frac12} + x \times \dfrac12(x+1)^{-\frac12} \color{orange}\cdot(x+1)'\\
& \color{red}\scriptsize \Darr\frac12乗はルート \Darr マイナス乗は分母\\
&= \sqrt{x+1} +\dfrac{x}{2(x+1)^{\frac12}}\\
& \color{red}\scriptsize \Darr\frac12乗はルート \\
&= \sqrt{x+1} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}\\
& \color{red}\scriptsize \Darr 分母分子に\ 2\sqrt{x+1}\ をかけて通分\\
&= \dfrac{\sqrt{x+1}\times 2\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}\\
\\
&= \dfrac{2(x+1)}{2\sqrt{x+1}} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}\\
\\
&= \dfrac{2(x+1)+x}{2\sqrt{x+1}}\\
\\
&= \dfrac{2x+2+x}{2\sqrt{x+1}}\\
\\
&= \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\\
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} &= 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺に\ 2\sqrt{x+1}\ をかけて\\
3x+2 &= 0\\
\\
x &= -\dfrac23\\
\\
x \geqq 0\ であるから & 解はない。
\end{align*}-1 \leqq x < 0 のとき，|x| = -x であるから
\begin{align*}
f(x) &= -x\sqrt{x+1}\color{red}\\
&= -1 \times x\sqrt{x+1}\\
\\
f'(x) &= -1 \times\left(x\sqrt{x+1}\right)'\\
& \color{red}\scriptsize \Darr 前半の微分と同じ\\
&= -1 \times \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\\
\\
&= - \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\\
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
-\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} &= 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺に\ -2\sqrt{x+1}\ をかけて\\
3x+2 &= 0\\
\\
x &= -\dfrac23\\
\\
\color{orange}\footnotesize -1 \leqq x < 0\ であるから & \color{orange}\footnotesize方程式の解である。
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.6}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}\hline
x & -1 & \cdots & -\frac23 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline
f'(x) & \color{red}{\times} & + & 0 & - & \color{red}\times & + \\\hline
f(x) & 0 & \nearrow & \substack{極大\\\frac{2\sqrt{3}}{9}} & \searrow & \substack{極小\\0} & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
x = -\dfrac23 で極大値 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$}，x = 0 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$0$} をとる。【解答】
①定義域・・・１次関数の定義域は「すべての実数」
②微分！・・・絶対値の中身で場合分け
x-1 \geqq 0 すなわち x \geqq 1 のとき，|x-1| = x-1 であるから
\begin{align*}
f(x) &= x-1\\
\\
f'(x) &= 1
\end{align*}③ f'(x)=0の解は明らかにない！
x-1 < 0 すなわち x < 1 のとき，|x-1| = -(x-1) であるから
\begin{align*}
f(x) &= -x+1\\
\\
f'(x) &= -1
\end{align*}③ f'(x)=0の解は明らかにない！
④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.6}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline
f'(x) & - & \color{red}{\times} & + \\\hline
f(x) & \searrow & \substack{極小\\0} & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
x = 0 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$0$} をとる。
【解答】
①定義域・・・\sqrt{プラス} だから x+2 \geqq 0
関数の定義域は x \geqq -2 である。
②微分！・・・絶対値の中身で場合分け
x \geqq 0 のとき，|x| = x であるから
\begin{align*}
f(x) &= x\sqrt{x+2}\color{red}\\
&= x \times (x+2)^{\frac12}\color{red}\scriptsize\Leftarrow A \times B \\
\color{red}\scriptsize A \times B & \color{red}\scriptsize = A' B +\ A B'\\
f'(x) &= (x)'(x+2)^{\frac12} + x\left\{(x+2)^{\frac12}\right\}'\\
\\
&= 1 (x+2)^{\frac12} + x \times \dfrac12(x+2)^{-\frac12} \color{orange}\cdot(x+2)'\\
& \color{red}\scriptsize \Darr\frac12乗はルート \Darr マイナス乗は分母\\
&= \sqrt{x+2} +\dfrac{x}{2(x+2)^{\frac12}}\\
& \color{red}\scriptsize \Darr\frac12乗はルート \\
&= \sqrt{x+2} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+2}}\\
& \color{red}\scriptsize \Darr 分母分子に\ 2\sqrt{x+2}\ をかけて通分\\
&= \dfrac{\sqrt{x+2}\times 2\sqrt{x+2}}{2\sqrt{x+2}} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+2}}\\
\\
&= \dfrac{2(x+2)}{2\sqrt{x+2}} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+2}}\\
\\
&= \dfrac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}\\
\\
&= \dfrac{2x+4+x}{2\sqrt{x+2}}\\
\\
&= \dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\\
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
\dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+1}} &= 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺に\ 2\sqrt{x+1}\ をかけて\\
3x+4 &= 0\\
\\
x &= -\dfrac43\\
\\
x \geqq 0\ であるから & 解はない。
\end{align*}-2 \leqq x < 0 のとき，|x| = -x であるから
\begin{align*}
f(x) &= -x\sqrt{x+2}\color{red}\\
&= -1 \times x\sqrt{x+2}\\
\\
f'(x) &= -1 \times\left(x\sqrt{x+2}\right)'\\
& \color{red}\scriptsize \Darr 前半の微分と同じ\\
&= -1 \times \dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\\
\\
&= - \dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\\
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
-\dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+2}} &= 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺に\ -2\sqrt{x+1}\ をかけて\\
3x+4 &= 0\\
\\
x &= -\dfrac43\\
\\
\color{orange}\footnotesize -2 \leqq x < 0\ であるから & \color{orange}\footnotesize方程式の解である。
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.6}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}\hline
x & -2 & \cdots & -\frac43 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline
f'(x) & \color{red}{\times} & + & 0 & - & \color{red}\times & + \\\hline
f(x) & 0 & \nearrow & \substack{極大\\\frac{4\sqrt{6}}{9}} & \searrow & \substack{極小\\0} & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
x = -\dfrac43 で極大値 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$}，x = 0 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$0$} をとる。- 20211018…初版公開。問題数３。
