
絶対値を含む関数でも,微分して増減表をかけば極値を求めることができます。ただし,絶対値があるから中身で場合分けをする必要があります。これが面倒で難しく感じるかもしれません。でも,やっていることは同じです。スペースに制限はないので、これでもかというぐらい無駄に丁寧に計算していきます。途中ひっかかるところがあれば参考にしてください。
気になるところをタップして確認しましょう。
連続な関数 f(x) が,
x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を境目として増加から減少に移るとき,
f(x) は x=\colorbox{mistyrose}{$a$} で 極大 であるといい,
f(\colorbox{mistyrose}{$a$}) を 極大値 という。
\def\arraystretch{1.8} \begin{array}{c||c|c|c}\hline x & \cdots & \colorbox{mistyrose}{$a$} & \cdots\\ \hline f'(x) & \color{red}+ & 0 & \color{blue}-\\\hline f(x) & \color{red}\substack{増加\\\nearrow} & \substack{極大\\f(\colorbox{mistyrose}{$\scriptsize a$})} & \color{blue}\substack{減少\\\searrow}\\\hline \end{array}
連続な関数 f(x) が,
x=\colorbox{lightcyan}{$b$} を境目として減少から増加に移るとき,
f(x) は x=\colorbox{lightcyan}{$b$} で 極小 であるといい,
f(\colorbox{lightcyan}{$b$}) を 極小値 という。
\def\arraystretch{1.8} \begin{array}{c||c|c|c}\hline x & \cdots & \colorbox{lightcyan}{$b$} & \cdots\\ \hline f'(x) & \color{blue}- & 0 & \color{red}+\\\hline f(x) & \color{blue}\substack{減少\\\searrow} & \substack{極小\\f(\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize b$})} & \color{red}\substack{増加\\\nearrow}\\\hline \end{array}
極大値と極小値をまとめて 極値 という。
極大値を英語では「local maximum」といい,直訳すると局所的最大値となります。局所的,つまり狭い範囲で考えた時の最大値という意味です。周りと比べて高くなっている部分、それが極大です。
例えば,クラスで一番背が高い人は極大です。とはいえ,あくまでクラス内での話であって,他のクラスや日本全体,さらに世界に目を向ければもっと背が高い人がいるはずです。ちなみに世界一背が高い人が最大値です。これも地球上という局所的なものですが。😱
何度も解いて体で覚えましょう!
次の関数の極値を求めよ。
【解答】
①定義域・・・\sqrt{プラス} だから x+1 \geqq 0
関数の定義域は x \geqq -1 である。
②微分!・・・絶対値の中身で場合分け
x \geqq 0 のとき,|x| = x であるから
\begin{align*} f(x) &= x\sqrt{x+1}\color{red}\\ &= x \times (x+1)^{\frac12}\color{red}\scriptsize\Leftarrow A \times B \\ \color{red}\scriptsize A \times B & \color{red}\scriptsize = A' B +\ A B'\\ f'(x) &= (x)'(x+1)^{\frac12} + x\left\{(x+1)^{\frac12}\right\}'\\ \\ &= 1 (x+1)^{\frac12} + x \times \dfrac12(x+1)^{-\frac12} \color{orange}\cdot(x+1)'\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\frac12乗はルート \Darr マイナス乗は分母\\ &= \sqrt{x+1} +\dfrac{x}{2(x+1)^{\frac12}}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\frac12乗はルート \\ &= \sqrt{x+1} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 分母分子に\ 2\sqrt{x+1}\ をかけて通分\\ &= \dfrac{\sqrt{x+1}\times 2\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}\\ \\ &= \dfrac{2(x+1)}{2\sqrt{x+1}} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}\\ \\ &= \dfrac{2(x+1)+x}{2\sqrt{x+1}}\\ \\ &= \dfrac{2x+2+x}{2\sqrt{x+1}}\\ \\ &= \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\\ \end{align*}
③ f'(x)=0
\begin{align*} f'(x) &= 0\\ \\ \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} &= 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に\ 2\sqrt{x+1}\ をかけて\\ 3x+2 &= 0\\ \\ x &= -\dfrac23\\ \\ x \geqq 0\ であるから & 解はない。 \end{align*}
-1 \leqq x < 0 のとき,|x| = -x であるから
\begin{align*} f(x) &= -x\sqrt{x+1}\color{red}\\ &= -1 \times x\sqrt{x+1}\\ \\ f'(x) &= -1 \times\left(x\sqrt{x+1}\right)'\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 前半の微分と同じ\\ &= -1 \times \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\\ \\ &= - \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\\ \end{align*}
③ f'(x)=0
\begin{align*} f'(x) &= 0\\ \\ -\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} &= 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に\ -2\sqrt{x+1}\ をかけて\\ 3x+2 &= 0\\ \\ x &= -\dfrac23\\ \\ \color{orange}\footnotesize -1 \leqq x < 0\ であるから & \color{orange}\footnotesize方程式の解である。 \end{align*}
④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.6} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}\hline x & -1 & \cdots & -\frac23 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f'(x) & \color{red}{\times} & + & 0 & - & \color{red}\times & + \\\hline f(x) & 0 & \nearrow & \substack{極大\\\frac{2\sqrt{3}}{9}} & \searrow & \substack{極小\\0} & \nearrow\\\hline \end{array}
したがって,f(x) は
x = -\dfrac23 で極大値 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$},x = 0 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$0$} をとる。【解答】
①定義域・・・1次関数の定義域は「すべての実数」
②微分!・・・絶対値の中身で場合分け
x-1 \geqq 0 すなわち x \geqq 1 のとき,|x-1| = x-1 であるから
\begin{align*} f(x) &= x-1\\ \\ f'(x) &= 1 \end{align*}
③ f'(x)=0の解は明らかにない!
x-1 < 0 すなわち x < 1 のとき,|x-1| = -(x-1) であるから
\begin{align*} f(x) &= -x+1\\ \\ f'(x) &= -1 \end{align*}
③ f'(x)=0の解は明らかにない!
④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.6} \begin{array}{c||c|c|c}\hline x & \cdots & 1 & \cdots \\\hline f'(x) & - & \color{red}{\times} & + \\\hline f(x) & \searrow & \substack{極小\\0} & \nearrow\\\hline \end{array}
したがって,f(x) は
x = 0 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$0$} をとる。
【解答】
①定義域・・・\sqrt{プラス} だから x+2 \geqq 0
関数の定義域は x \geqq -2 である。
②微分!・・・絶対値の中身で場合分け
x \geqq 0 のとき,|x| = x であるから
\begin{align*} f(x) &= x\sqrt{x+2}\color{red}\\ &= x \times (x+2)^{\frac12}\color{red}\scriptsize\Leftarrow A \times B \\ \color{red}\scriptsize A \times B & \color{red}\scriptsize = A' B +\ A B'\\ f'(x) &= (x)'(x+2)^{\frac12} + x\left\{(x+2)^{\frac12}\right\}'\\ \\ &= 1 (x+2)^{\frac12} + x \times \dfrac12(x+2)^{-\frac12} \color{orange}\cdot(x+2)'\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\frac12乗はルート \Darr マイナス乗は分母\\ &= \sqrt{x+2} +\dfrac{x}{2(x+2)^{\frac12}}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\frac12乗はルート \\ &= \sqrt{x+2} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+2}}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 分母分子に\ 2\sqrt{x+2}\ をかけて通分\\ &= \dfrac{\sqrt{x+2}\times 2\sqrt{x+2}}{2\sqrt{x+2}} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+2}}\\ \\ &= \dfrac{2(x+2)}{2\sqrt{x+2}} +\dfrac{x}{2\sqrt{x+2}}\\ \\ &= \dfrac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}\\ \\ &= \dfrac{2x+4+x}{2\sqrt{x+2}}\\ \\ &= \dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\\ \end{align*}
③ f'(x)=0
\begin{align*} f'(x) &= 0\\ \\ \dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+1}} &= 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に\ 2\sqrt{x+1}\ をかけて\\ 3x+4 &= 0\\ \\ x &= -\dfrac43\\ \\ x \geqq 0\ であるから & 解はない。 \end{align*}
-2 \leqq x < 0 のとき,|x| = -x であるから
\begin{align*} f(x) &= -x\sqrt{x+2}\color{red}\\ &= -1 \times x\sqrt{x+2}\\ \\ f'(x) &= -1 \times\left(x\sqrt{x+2}\right)'\\ & \color{red}\scriptsize \Darr 前半の微分と同じ\\ &= -1 \times \dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\\ \\ &= - \dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\\ \end{align*}
③ f'(x)=0
\begin{align*} f'(x) &= 0\\ \\ -\dfrac{3x+4}{2\sqrt{x+2}} &= 0\\ \color{red}\scriptsize 両辺に\ -2\sqrt{x+1}\ をかけて\\ 3x+4 &= 0\\ \\ x &= -\dfrac43\\ \\ \color{orange}\footnotesize -2 \leqq x < 0\ であるから & \color{orange}\footnotesize方程式の解である。 \end{align*}
④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.6} \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c}\hline x & -2 & \cdots & -\frac43 & \cdots & 0 & \cdots \\\hline f'(x) & \color{red}{\times} & + & 0 & - & \color{red}\times & + \\\hline f(x) & 0 & \nearrow & \substack{極大\\\frac{4\sqrt{6}}{9}} & \searrow & \substack{極小\\0} & \nearrow\\\hline \end{array}
したがって,f(x) は
x = -\dfrac43 で極大値 \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$},x = 0 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$0$} をとる。- 20211018…初版公開。問題数3。