気になるところをタップして確認しましょう。
連続な関数 f(x) が，
x=\colorbox{mistyrose}{$a$} を境目として増加から減少に移るとき，
f(x) は x=\colorbox{mistyrose}{$a$} で 極大 であるといい，
f(\colorbox{mistyrose}{$a$}) を 極大値 という。
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & \cdots & \colorbox{mistyrose}{$a$} & \cdots\\ \hline
f'(x) & \color{red}+ & 0 & \color{blue}-\\\hline
f(x) & \color{red}\substack{増加\\\nearrow} & \substack{極大\\f(\colorbox{mistyrose}{$\scriptsize a$})} & \color{blue}\substack{減少\\\searrow}\\\hline
\end{array}連続な関数 f(x) が，
x=\colorbox{lightcyan}{$b$} を境目として減少から増加に移るとき，
f(x) は x=\colorbox{lightcyan}{$b$} で 極小 であるといい，
f(\colorbox{lightcyan}{$b$}) を 極小値 という。
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & \cdots & \colorbox{lightcyan}{$b$} & \cdots\\ \hline
f'(x) & \color{blue}- & 0 & \color{red}+\\\hline
f(x) & \color{blue}\substack{減少\\\searrow} & \substack{極小\\f(\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize b$})} & \color{red}\substack{増加\\\nearrow}\\\hline
\end{array}極大値と極小値をまとめて 極値 という。
極大値を英語では「local maximum」といい，直訳すると局所的最大値となります。局所的，つまり狭い範囲で考えた時の最大値という意味です。周りと比べて高くなっている部分、それが極大です。
例えば，クラスで一番背が高い人は極大です。とはいえ，あくまでクラス内での話であって，他のクラスや日本全体，さらに世界に目を向ければもっと背が高い人がいるはずです。ちなみに世界一背が高い人が最大値です。これも地球上という局所的なものですが。😱
何度も解いて体で覚えましょう！
次の関数の極値を求めよ。
【解答】
①定義域・・・x も e^{-x} も定義域は「すべての実数」
②微分！
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize (A \times B)' & \,\color{red}\scriptsize = A' B + A B'\\
f'(x) &= (x)'e^{-x}+x(e^{-x})'\\
&= 1 \times e^{-x}+x \times e^{-x}\textcolor{orange}{\cdot\log_{}e}\cdot(-x)'\\
&= e^{-x}-xe^{-x}\\
&= e^{-x}(1-x)
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
e^{-x}(1-x) &= 0\\
\color{red}\scriptsize e^{-x}>0, & \color{red}\scriptsize\ 1-x=0\\
x &= 1
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & \cdots & 1 & \cdots\\ \hline
f'(x) & + & 0 & -\\\hline
f(x) & \nearrow & \colorbox{mistyrose}{$\frac{1}{e}$} & \searrow\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
x = 1 で極大値 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{e}$}，極小値はない。
ついでに増減！
x \leqq 1 で増加し，1 \leqq x で減少する。
【解答】
①定義域・・・分母 \neq 0 だから
関数の定義域は x \neq 0 である。
②微分！・・・f(x)=x+4x^{-1} だから
\begin{align*}
f'(x) &= 1-4x^{-2}\\
\\
&= 1-\dfrac{4}{x^2}\\
\\
&= \dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{4}{x^2}\\
\\
&= \dfrac{x^2-4}{x^2}
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
\dfrac{x^2-4}{x^2} &= 0\\
\\
x^2-4 &= 0\\
\\
x^2 &= 4\\
\\
x &= \pm 2
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -2 & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & \color{red}\times & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & \colorbox{mistyrose}{$-4$} & \searrow & \color{red}\times & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$4$} & \nearrow
\end{array}したがって，f(x) は
x = 2 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$4$}，x = -2 で極大値 \colorbox{mistyrose}{$-4$} をとる。
ついでに増減！
x \leqq -2,\ 2 \leqq x で増加し，
-2 \leqq x < 0,\ 0 < x \leqq 2 で減少する。
【解答】
①定義域・・・n次関数の定義域は「すべての実数」
②微分！
\begin{align*}
f'(x) &= 4x^3-6x^2
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
4x^3-6x^2 &= 0\\
\color{red}\scriptsize 両辺を\ 2\ で割って\\
2x^3-3x^2 &= 0\\
\color{red}\scriptsize 共通因数\ x^2\ を出す\\
x^2(2x-3) &= 0\\
\color{red}\scriptsize x^2=0, & \color{red}\scriptsize\ 2x-3=0\\
x &= 0,\ \dfrac32
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & 0 & \cdots & \frac32 & \cdots\\ \hline
f'(x) & - & 0 & - & 0 & + \\\hline
f(x) & \searrow & 1 & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$-\frac{11}{16}$} & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
x = \dfrac32 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$-\dfrac{11}{16}$}，極大値はない。
ついでに増減！
x \leqq \dfrac32 で減少し，\dfrac32 \leqq x で増加する。
【解答】
①定義域・・・x^2 も e^{-x} も定義域は「すべての実数」
②微分！・・・{\rm A} \times {\rm B} だから
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize (A \times B)' & \,\color{red}\scriptsize = A' B + A B'\\
f'(x) &= (x^2)'e^{-x}+x^2(e^{-x})'\\
&= 2x \times e^{-x}+x^2 \times e^{-x}\textcolor{orange}{\cdot\log_{}e}\cdot(-x)'\\
&= 2xe^{-x}-x^2e^{-x}\\
&= xe^{-x}(2-x)
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
xe^{-x}(2-x) &= 0\\
\color{red}\scriptsize x=0, e^{-x}> 0, & \color{red}\scriptsize\ 2-x=0\\
x &= 0,\ 2
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots\\ \hline
f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\\hline
f(x) & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$0$} & \nearrow & \colorbox{mistyrose}{$\frac{4}{e^2}$} & \searrow\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
x = 0 で極小値 \colorbox{lightcyan}{$0$}，x = 2 で極大値 \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{4}{e^2}$} をとる。
ついでに増減！
0 \leqq x \leqq 2 で増加し，
x \leqq 0,\ 2 \leqq x \leqq 2 で減少する。
【解答】
①定義域・・・\log_{}正 だから
関数の定義域は x>0 である。
②微分！・・・{\rm A} \times {\rm B} だから
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize (A \times B)' & \,\color{red}\scriptsize = A' B + A B'\\
f'(x) &= (x)'\log_{}x+x(\log_{}x)'\\
&= 1 \times \log_{}x+x \times \dfrac{1}{x} \textcolor{orange}{\cdot \dfrac{1}{\log_{}e}\cdot(x)'}\\
&= \log_{}x+1
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
\log_{}x+1 &= 0\\
\\
\log_{}x &= -1\\
\\
\log_{\color{orange}e}x &= -1\log_{\color{orange}e}e\\
\\
\log_{\color{orange}e}x &= \log_{\color{orange}e}e^{-1}\\
\\
x &= e^{-1} = \dfrac{1}{e}
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c}\hline
x & 0 & \cdots & \frac{1}{e} & \cdots\\ \hline
f'(x) & \times & - & 0 & + \\\hline
f(x) & \times & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$-\frac{1}{e}$} & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
x = \dfrac{1}{e} で極小値 \colorbox{lightcyan}{$-\dfrac{1}{e}$}，極大値はない。
ついでに増減！
\dfrac{1}{e} \leqq x で増加し，
0 < x \leqq \dfrac{1}{e} で減少する。
【解答】
①定義域・・・分母 \neq 0 だから
関数の定義域は x \neq 0 である。
②微分！・・・f(x)=x+2x^{-1} だから
\begin{align*}
f'(x) &= 1-2x^{-2}\\
\\
&= 1-\dfrac{2}{x^2}\\
\\
&= \dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}\\
\\
&= \dfrac{x^2-2}{x^2}
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
\dfrac{x^2-2}{x^2} &= 0\\
\\
x^2-2 &= 0\\
\\
x^2 &= 2\\
\\
x &= \pm\sqrt{2}
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}\hline
x & \cdots & -\sqrt{2} & \cdots & 0 & \cdots & \sqrt{2} & \cdots\\\hline
f'(x) & + & 0 & - & \color{red}\times & - & 0 & +\\\hline
f(x) & \nearrow & \colorbox{mistyrose}{$-2\sqrt{2}$} & \searrow & \color{red}\times & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$2\sqrt{2}$} & \nearrow
\end{array}したがって，f(x) は
x = \sqrt{2} で極小値 \colorbox{lightcyan}{$2\sqrt{2}$}，x = -\sqrt{2} で極大値 \colorbox{mistyrose}{$-2\sqrt{2}$} をとる。
ついでに増減！
x \leqq -\sqrt{2},\ \sqrt{2} \leqq x で増加し，
-\sqrt{2} \leqq x \leqq 0,\ 0 < x \leqq \sqrt{2} で減少する。
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関数の増減を調べる
- 20211016…初版公開。問題数６。昨日作った増減をコピーしてリメイク。デジタルの便利さを最大限に発揮しましたね。解説を作る＞私
