気になるところをタップして確認しましょう。
関数 f(x) が区間 [a,\ b] で連続で，区間 (a,\ b) で微分可能であるとき，平均値の定理により，次のことが成り立つ。
区間 (a,\ b) で常に \colorbox{mistyrose}{$f'(x) > 0$} ならば，
f(x) は区間 [a,\ b] で 増加 する。
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & a & \cdots & b\\ \hline
f'(x) & & \colorbox{mistyrose}{$+$} &\\\hline
f(x) & & \colorbox{mistyrose}{$\substack{増加\\\nearrow}$} &\\\hline
\end{array}
区間 (a,\ b) で常に \colorbox{lightcyan}{$f'(x) < 0$} ならば，
f(x) は区間 [a,\ b] で 減少 する。
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & a & \cdots & b\\ \hline
f'(x) & & \colorbox{lightcyan}{$-$} &\\\hline
f(x) & & \colorbox{lightcyan}{$\substack{減少\\\searrow}$} &\\\hline
\end{array}
区間 (a,\ b) で常に f'(x) = 0 ならば，
f(x) は区間 [a,\ b] で 定数 である。
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & a & \cdots & b\\ \hline
f'(x) & & 0 &\\\hline
f(x) & & \substack{一定\\\longrightarrow} &\\\hline
\end{array}何度も解いて体で覚えましょう！
次の関数の増減を調べよ。
【解答】
①定義域・・・\sqrt{ } があるから，中身≧０
関数の定義域は x \geqq 0 である。
②微分！・・・f(x)=x-2x^{\frac12} だから
\begin{align*}
f'(x) &= 1-2 \cdot \dfrac12x^{\frac12-1} \color{orange} \cdot x'\\
\\
&= 1-x^{-\frac12}\\
& \color{red}\scriptsize\ \Darr マイナス乗は分母へ\\
&= 1-\dfrac{1}{x^{\frac12}}\\
& \color{red}\scriptsize\ \Darr \frac12乗はルートに\\
&= 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\
& \color{red}\scriptsize\ \Darr 分母をそろえる\\
&= \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\
\\
&= \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\\
& \color{red}\scriptsize \Uarr 分母が\ 0\ にならないよう注意！
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} &= 0\\
\\
\sqrt{x}-1 &= 0\\
\\
\sqrt{x} &= 1\\
\\
x &= 1
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c}\hline
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots\\ \hline
f'(x) & & - & 0 & + \\\hline
f(x) & \colorbox{mistyrose}{$0$} & \searrow & \colorbox{lightcyan}{$-1$} & \nearrow\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
0 \leqq x \leqq 1 で減少し，1 \leqq x で増加する。
【解答】
①定義域・・・x も e^x も「すべての実数」
関数の定義域は「すべての実数」である。
②微分！・・・f(x)=x-e^{x} だから
\begin{align*}
f'(x) &= 1- e^x \color{orange} \cdot \log_{e}e \cdot x'
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
1-e^x &= 0\\
-e^x &= -1\\
e^x &= 1 \color{orange} = e^0\\
x &= 0
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & \cdots & 0 & \cdots\\ \hline
f'(x) & + & 0 & - \\\hline
f(x) & \colorbox{lightcyan}{$\nearrow$} & -1 & \colorbox{lightgreen}{$\searrow$}\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
x \leqq 0 で増加し，0 \leqq x で減少する。
【解答】
①定義域・・・\log_{}x は真数条件あり
関数の定義域は x>0 である。
②微分！・・・f(x)=x-\log_{}x だから
\begin{align*}
f'(x) &= 1- \dfrac{1}{x} \color{orange} \cdot \dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'\\
& \color{red}\scriptsize \Darr 分母をそろえる\\
&= \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x}\\
\\
&= \dfrac{x-1}{x}\\
& \color{red}\scriptsize \Uarr x>0\ より分母は\ 0\ にならない！
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
\\
\dfrac{x-1}{x} &= 0\\
\\
x-1 &= 0\\
\\
x &= 1
\end{align*}④ 増減表をかく
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c|c}\hline
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots\\ \hline
f'(x) & \times & - & 0 & + \\\hline
f(x) & \times & \colorbox{lightgreen}{$\searrow$} & -1 & \colorbox{lightcyan}{$\nearrow$}\\\hline
\end{array}したがって，f(x) は
1 \leqq x で増加し，0 < x \leqq 1 で減少する。
【解答】
①定義域・・・x も \sin{x} も「すべての実数」
関数の定義域は「すべての実数」である。
②微分！・・・f(x)=x+\sin{x} だから
\begin{align*}
f'(x) &= 1+ \cos{x} \color{orange} \cdot x'
\end{align*}③ f'(x)=0
\begin{align*}
f'(x) &= 0\\
1+\cos{x} &= 0\\
\cos{x} &= -1\\
x &= \pi
\end{align*}④ 増減表をかく
-1 \leqq \cos{x} \leqq 1 より0 \leqq 1 + \cos{x} \leqq 2
よって，0 \leqq x \leqq \pi で常に f'(x) \geqq 0
f(x) の増減表は次のようになる。\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c||c|c|c}\hline
x & 0 & \cdots & \pi\\ \hline
f'(x) & 2 & + & 0 \\\hline
f(x) & 0 & \colorbox{lightcyan}{$\nearrow$} & \pi \\\hline
\end{array}したがって，f(x) は常に増加する。
- 20211014…初版公開。問題数４。
