平均値の定理を用いた証明問題

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

平均値の定理を用いて,次のことを証明せよ。

平均値の定理と問題を見比べると

\dfrac{\log_{}b-\log_{}a}{b-a} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

と考えられます。

\log_{}b = f(b),  \log_{}a = f(a)

と対応すると考えて f(x)=\log_{}x とおきます。

【証明】

関数 f(x)=\log_{}x は,

定義域 x>0 で連続であり,微分可能だから

f'(x) = \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot\dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'

よって,関数 f(x) は 0 < a < b に注目!

  区間 [a,\ b]連続で,

  区間 (a,\ b)微分可能

であるから,平均値の定理により

\begin{align*}
\color{orange}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{\log_{}b-\log_{}a}{b-a} &= \dfrac{1}{c}\ \cdots①,\  \ a < c < b\ \cdots②
\end{align*}

を満たす実数 c が存在する。②の各辺の逆数をとれば

\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{c} > \dfrac{1}{b}

よって

\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}

したがって①より

\dfrac{1}{b} < \dfrac{\log_{}b-\log_{}a}{b-a} < \dfrac{1}{b}

平均値の定理と問題を見比べると

\dfrac{e^b-e^a}{b-a} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

と考えられます。

e^b = f(b), e^a = f(a)

と対応すると考えて,f(x)=e^x とおきます。

【証明】

関数 f(x)=e^x は,

定義域「すべての実数」で連続であり,微分可能だから

f'(x) = e^x \color{orange}\cdot \log_{e}e \cdot x'

よって,関数 f(x) は ☜ 「すべての実数」どこでも!

  区間 [a,\ b]連続で,

  区間 (a,\ b)微分可能

であるから,平均値の定理により

\begin{align*}
\color{orange}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{e^b-e^a}{b-a} &= e^c\ \cdots①,\  \ a < c < b\ \cdots②
\end{align*}

を満たす実数 c が存在する。

f'(x) = e^x は「すべての実数」で増加するから,②より

e^a < e^c < e^b

したがって①より

e^a < \dfrac{e^b-e^a}{b-a} < e^b

平均値の定理と問題を見比べると

\dfrac{\log_{}(a+1)}{a} = \dfrac{\log_{}(a+1)-\log_{}1}{(a+1)-1} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

と考えられます。

\log_{}(a+1) = f(b),\  \log_{}1 = f(a)

と対応すると考えて,f(x)=\log_{}x,\ a=1,\ b=a+1 とおいて 平均値の定理 を利用します。

【証明】

関数 f(x)=\log_{}x は,

定義域 x>0 で連続であり,微分可能だから

f'(x) = \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot \dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'

よって,関数 f(x)  0 < a\ より\ 1 < a+1

  区間 [1,\ a+1]連続で,

  区間 (1,\ a+1)微分可能

であるから,平均値の定理により

\begin{align*}
\color{orange}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{\log_{}(a+1)-\log_{}1}{(a+1)-1} &= \dfrac{1}{c}\ \cdots①,\  \ 1 < c < a+1\ \cdots②
\end{align*}

を満たす実数 c が存在する。②の各辺の逆数をとれば

\dfrac{1}{1} > \dfrac{1}{c} > \dfrac{1}{a+1}

よって

\dfrac{1}{a+1} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{1}

したがって①より

\dfrac{1}{a+1} < \dfrac{\log_{}(a+1)}{a} < 1

証明したい式の両辺を \beta - \alpha で割ると

\dfrac{\sin\beta - \sin\alpha}{\beta - \alpha} < 1

平均値の定理と問題を見比べると

\dfrac{\sin\beta - \sin\alpha}{\beta -\alpha} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}

と考えられます。

\sin\beta = f(b),\ \sin\alpha = f(a)

と対応すると考えて,f(x)=\sin{x},\ a=\alpha,\ b=\beta とおいて 平均値の定理 を利用します。

【証明】

関数 f(x)=\sin{x} は,

定義域「すべての実数」で連続であり,微分可能だから

f'(x) = \cos{x} \color{orange}\cdot x'

よって,関数 f(x) ☜ 「すべての実数」どこでも!

  区間 [\alpha,\ \beta]連続で,

  区間 (\alpha,\ \beta)微分可能

であるから,平均値の定理により

\begin{align*}
\color{orange}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{\sin\beta-\sin\alpha}{\beta-\alpha} &= \cos{c}\ \cdots①,\  \ \alpha < c < \beta\ \cdots②
\end{align*}

を満たす実数 c が存在する。

f'(x) = \cos{x}0 < \alpha < c < \beta < \dfrac{\pi}{2} で減少するから,②より

\cos{0} \textcolor{orange}{> \cos\alpha} > \cos{c} > \textcolor{orange}{\cos\beta >} \cos{\dfrac{\pi}{2}}

よって

\cos{\dfrac{\pi}{2}} < \cos{c} < \cos{0}

したがって①より

0 < \dfrac{\sin\beta -\sin\alpha}{\beta - \alpha} < 1

両辺 \beta - \alpha をかけて

\textcolor{orange}{0<}\sin\beta - \sin\alpha < \beta - \alpha
  • 20211014…初版公開。問題数4。急いで作ったが、本来の数学っぽい問題は作りやすい。構造がしっかりしているから楽しいですね。解説を加えなきゃ。>私

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