何度も解いて体で覚えましょう！
平均値の定理を用いて，次のことを証明せよ。
平均値の定理と問題を見比べると
\dfrac{\log_{}b-\log_{}a}{b-a} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}と考えられます。
\log_{}b = f(b), \log_{}a = f(a)と対応すると考えて f(x)=\log_{}x とおきます。
【証明】
関数 f(x)=\log_{}x は，
定義域 x>0 で連続であり，微分可能だから
f'(x) = \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot\dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'よって，関数 f(x) は ☜ 0 < a < b に注目！
区間 [a,\ b] で連続で，
区間 (a,\ b) で微分可能
であるから，平均値の定理により
\begin{align*}
\color{orange}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{\log_{}b-\log_{}a}{b-a} &= \dfrac{1}{c}\ \cdots①,\ \ a < c < b\ \cdots②
\end{align*}を満たす実数 c が存在する。②の各辺の逆数をとれば
\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{c} > \dfrac{1}{b}よって
\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}したがって①より
\dfrac{1}{b} < \dfrac{\log_{}b-\log_{}a}{b-a} < \dfrac{1}{b}平均値の定理と問題を見比べると
\dfrac{e^b-e^a}{b-a} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}と考えられます。
e^b = f(b), e^a = f(a)
と対応すると考えて，f(x)=e^x とおきます。
【証明】
関数 f(x)=e^x は，
定義域「すべての実数」で連続であり，微分可能だから
f'(x) = e^x \color{orange}\cdot \log_{e}e \cdot x'よって，関数 f(x) は ☜ 「すべての実数」どこでも！
区間 [a,\ b] で連続で，
区間 (a,\ b) で微分可能
であるから，平均値の定理により
\begin{align*}
\color{orange}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{e^b-e^a}{b-a} &= e^c\ \cdots①,\ \ a < c < b\ \cdots②
\end{align*}を満たす実数 c が存在する。
f'(x) = e^x は「すべての実数」で増加するから，②よりe^a < e^c < e^b
したがって①より
e^a < \dfrac{e^b-e^a}{b-a} < e^b平均値の定理と問題を見比べると
\dfrac{\log_{}(a+1)}{a} = \dfrac{\log_{}(a+1)-\log_{}1}{(a+1)-1} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}と考えられます。
\log_{}(a+1) = f(b),\ \log_{}1 = f(a)と対応すると考えて，f(x)=\log_{}x,\ a=1,\ b=a+1 とおいて 平均値の定理 を利用します。
【証明】
関数 f(x)=\log_{}x は，
定義域 x>0 で連続であり，微分可能だから
f'(x) = \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot \dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'よって，関数 f(x) は ☜ 0 < a\ より\ 1 < a+1
区間 [1,\ a+1] で連続で，
区間 (1,\ a+1) で微分可能
であるから，平均値の定理により
\begin{align*}
\color{orange}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{\log_{}(a+1)-\log_{}1}{(a+1)-1} &= \dfrac{1}{c}\ \cdots①,\ \ 1 < c < a+1\ \cdots②
\end{align*}を満たす実数 c が存在する。②の各辺の逆数をとれば
\dfrac{1}{1} > \dfrac{1}{c} > \dfrac{1}{a+1}よって
\dfrac{1}{a+1} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{1}したがって①より
\dfrac{1}{a+1} < \dfrac{\log_{}(a+1)}{a} < 1証明したい式の両辺を \beta - \alpha で割ると
\dfrac{\sin\beta - \sin\alpha}{\beta - \alpha} < 1平均値の定理と問題を見比べると
\dfrac{\sin\beta - \sin\alpha}{\beta -\alpha} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}と考えられます。
\sin\beta = f(b),\ \sin\alpha = f(a)
と対応すると考えて，f(x)=\sin{x},\ a=\alpha,\ b=\beta とおいて 平均値の定理 を利用します。
【証明】
関数 f(x)=\sin{x} は，
定義域「すべての実数」で連続であり，微分可能だから
f'(x) = \cos{x} \color{orange}\cdot x'よって，関数 f(x) は ☜ 「すべての実数」どこでも！
区間 [\alpha,\ \beta] で連続で，
区間 (\alpha,\ \beta) で微分可能
であるから，平均値の定理により
\begin{align*}
\color{orange}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{\sin\beta-\sin\alpha}{\beta-\alpha} &= \cos{c}\ \cdots①,\ \ \alpha < c < \beta\ \cdots②
\end{align*}を満たす実数 c が存在する。
f'(x) = \cos{x} は 0 < \alpha < c < \beta < \dfrac{\pi}{2} で減少するから，②より\cos{0} \textcolor{orange}{> \cos\alpha} > \cos{c} > \textcolor{orange}{\cos\beta >} \cos{\dfrac{\pi}{2}}よって
\cos{\dfrac{\pi}{2}} < \cos{c} < \cos{0}したがって①より
0 < \dfrac{\sin\beta -\sin\alpha}{\beta - \alpha} < 1両辺 \beta - \alpha をかけて
\textcolor{orange}{0<}\sin\beta - \sin\alpha < \beta - \alpha- 20211014…初版公開。問題数４。急いで作ったが、本来の数学っぽい問題は作りやすい。構造がしっかりしているから楽しいですね。解説を加えなきゃ。＞私
