平均値の定理を満たす値を求める

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の各場合に,平均値の定理における c の値を求めよ。

【解答】

f(x)=x^2+1 は,

  区間 [-3,\ 1]連続で,

  区間 (-3,\ 1)微分可能である。

\begin{align*}
\color{orange}
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{f(1)-f(-3)}{1-(-3)} &= f'(c),\ -3 < c < 1
\end{align*}

を満たす c が存在する。 平均値の定理!

f'(x) = 2x

であるから

\begin{align*}
\dfrac{(1^2+1)-\{(-3)^2+1\}}{1-(-3)} &= 2 \cdot c\\
\dfrac{2-10}{1+3} &= 2c\\
-2 &= 2c\\
c &= -1
\end{align*}
c=-1-3 < c < 1 となっていることも確認!

【解答】

f(x)=x^2+x は,

  区間 [0,\ 3]連続で,

  区間 (0,\ 3)微分可能である。

\begin{align*}
\color{orange}
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0} &= f'(c),\ 0 < c < 3
\end{align*}

を満たす c が存在する。 平均値の定理!

f'(x) = 2x+1

であるから

\begin{align*}
\dfrac{(3^2+3)-(0^2+0)}{3-0} &= 2 \cdot c +1\\
\dfrac{12}{3} &= 2c+1\\
4 &= 2c+1\\
2c &= 3\\
c & = \dfrac32
\end{align*}
c=\dfrac320 < c < 3 となっていることも確認!

【解答】

f(x)=x^3 は,

  区間 [-1,\ 2]連続で,

  区間 (-1,\ 2)微分可能である。

\begin{align*}
\color{orange}
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} &= f'(c),\ -1 < c < 2
\end{align*}

を満たす c が存在する。 平均値の定理!

f'(x) = 3x^2

であるから

\begin{align*}
\dfrac{2^3-(-1)^3}{2-(-1)} &= 3 \cdot c^2\\
\dfrac{9}{3} &= 3c^2\\
3 &= 3c^2\\
c^2 &= 1\\
c & = \pm 1
\end{align*}
-1 < c < 2 であるから

c=1

【解答】

f(x)=x^3 は,

  区間 [0,\ 3]連続で,

  区間 (0,\ 3)微分可能である。

\begin{align*}
\color{orange}
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0} &= f'(c),\ 0 < c < 3
\end{align*}

を満たす c が存在する。 平均値の定理!

f'(x) = 3x^2

であるから

\begin{align*}
\dfrac{3^3-0^3}{3-0} &= 3 \cdot c^2\\
\\
\dfrac{27}{3} &= 3c^2\\
\\
9 &= 3c^2\\
\\
c^2 &= 3\\
\\
c & = \pm\sqrt{3}
\end{align*}
0 < c < 3 であるから

c=\sqrt{3}

【解答】

f(x)=\log_{}x は,

  区間 [1,\ e]連続で,

  区間 (1,\ e)微分可能である。

\begin{align*}
\color{orange}
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\
\\
\dfrac{f(e)-f(1)}{e-1} &= f'(c),\ 1 < c < e
\end{align*}

を満たす c が存在する。 平均値の定理!

f'(x) = \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot\dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'

であるから

\begin{align*}
\dfrac{\log_{e}e-\log_{e}1}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\
\\
\dfrac{1-0}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\
\\
\dfrac{1}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\
\\
c & = e-1
\end{align*}

c=e-1 \neq 2.7-1 = 1.71 < c < e=2.7 となっていることも確認!

  • 20211014…初版公開。問題数5。先週末に1週間分を準備したつもりが、週半ばにして不足。あわてて作成。解説を入れる>私

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