平均値の定理を満たす値を求める

2021年10月14日

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の各場合に，平均値の定理における $c$ の値を求めよ。

f(x)=x^2+1,\ a=-3,\ b=1

【解答】

f(x)=x^2+1

は，

　　区間 $[-3,\ 1]$ で連続で，

　　区間 $(-3,\ 1)$ で微分可能である。

\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(1)-f(-3)}{1-(-3)} &= f'(c),\ -3 < c < 1 \end{align*}

を満たす $c$ が存在する。 ☜ 平均値の定理！

f'(x) = 2x

であるから

\begin{align*} \dfrac{(1^2+1)-\{(-3)^2+1\}}{1-(-3)} &= 2 \cdot c\\ \dfrac{2-10}{1+3} &= 2c\\ -2 &= 2c\\ c &= -1 \end{align*}

c=-1

が

-3 < c < 1

となっていることも確認！

f(x)=x^2+x,\ a=0,\ b=3

【解答】

f(x)=x^2+x

は，

　　区間 $[0,\ 3]$ で連続で，

　　区間 $(0,\ 3)$ で微分可能である。

\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(3)-f(0)}{3-0} &= f'(c),\ 0 < c < 3 \end{align*}

を満たす $c$ が存在する。 ☜ 平均値の定理！

f'(x) = 2x+1

であるから

\begin{align*} \dfrac{(3^2+3)-(0^2+0)}{3-0} &= 2 \cdot c +1\\ \dfrac{12}{3} &= 2c+1\\ 4 &= 2c+1\\ 2c &= 3\\ c & = \dfrac32 \end{align*}

c=\dfrac32

が

0 < c < 3

となっていることも確認！

f(x)=x^3,\ a=-1,\ b=2

【解答】

f(x)=x^3

は，

　　区間 $[-1,\ 2]$ で連続で，

　　区間 $(-1,\ 2)$ で微分可能である。

\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} &= f'(c),\ -1 < c < 2 \end{align*}

を満たす $c$ が存在する。 ☜ 平均値の定理！

f'(x) = 3x^2

であるから

\begin{align*} \dfrac{2^3-(-1)^3}{2-(-1)} &= 3 \cdot c^2\\ \dfrac{9}{3} &= 3c^2\\ 3 &= 3c^2\\ c^2 &= 1\\ c & = \pm 1 \end{align*}

-1 < c < 2

であるから

c=1

f(x)=x^3,\ a=0,\ b=3

【解答】

f(x)=x^3

は，

　　区間 $[0,\ 3]$ で連続で，

　　区間 $(0,\ 3)$ で微分可能である。

\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(3)-f(0)}{3-0} &= f'(c),\ 0 < c < 3 \end{align*}

を満たす $c$ が存在する。 ☜ 平均値の定理！

f'(x) = 3x^2

であるから

\begin{align*} \dfrac{3^3-0^3}{3-0} &= 3 \cdot c^2\\ \\ \dfrac{27}{3} &= 3c^2\\ \\ 9 &= 3c^2\\ \\ c^2 &= 3\\ \\ c & = \pm\sqrt{3} \end{align*}

0 < c < 3

であるから

c=\sqrt{3}

f(x)=\log_{}x,\ a=1,\ b=e

【解答】

f(x)=\log_{}x

は，

　　区間 $[1,\ e]$ で連続で，

　　区間 $(1,\ e)$ で微分可能である。

\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(e)-f(1)}{e-1} &= f'(c),\ 1 < c < e \end{align*}

を満たす $c$ が存在する。 ☜ 平均値の定理！

f'(x) = \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot\dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'

であるから

\begin{align*} \dfrac{\log_{e}e-\log_{e}1}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\ \\ \dfrac{1-0}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\ \\ \dfrac{1}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\ \\ c & = e-1 \end{align*}

$c=e-1 \neq 2.7-1 = 1.7$ が $1 < c < e=2.7$ となっていることも確認！

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