何度も解いて体で覚えましょう!
次の各場合に,平均値の定理における c の値を求めよ。
【解答】
f(x)=x^2+1 は,区間 [-3,\ 1] で連続で,
区間 (-3,\ 1) で微分可能である。
\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(1)-f(-3)}{1-(-3)} &= f'(c),\ -3 < c < 1 \end{align*}
を満たす c が存在する。 ☜ 平均値の定理!
f'(x) = 2x
であるから
\begin{align*} \dfrac{(1^2+1)-\{(-3)^2+1\}}{1-(-3)} &= 2 \cdot c\\ \dfrac{2-10}{1+3} &= 2c\\ -2 &= 2c\\ c &= -1 \end{align*}
c=-1 が -3 < c < 1 となっていることも確認!
【解答】
f(x)=x^2+x は,区間 [0,\ 3] で連続で,
区間 (0,\ 3) で微分可能である。
\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(3)-f(0)}{3-0} &= f'(c),\ 0 < c < 3 \end{align*}
を満たす c が存在する。 ☜ 平均値の定理!
f'(x) = 2x+1
であるから
\begin{align*} \dfrac{(3^2+3)-(0^2+0)}{3-0} &= 2 \cdot c +1\\ \dfrac{12}{3} &= 2c+1\\ 4 &= 2c+1\\ 2c &= 3\\ c & = \dfrac32 \end{align*}
c=\dfrac32 が 0 < c < 3 となっていることも確認!
【解答】
f(x)=x^3 は,区間 [-1,\ 2] で連続で,
区間 (-1,\ 2) で微分可能である。
\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} &= f'(c),\ -1 < c < 2 \end{align*}
を満たす c が存在する。 ☜ 平均値の定理!
f'(x) = 3x^2
であるから
\begin{align*} \dfrac{2^3-(-1)^3}{2-(-1)} &= 3 \cdot c^2\\ \dfrac{9}{3} &= 3c^2\\ 3 &= 3c^2\\ c^2 &= 1\\ c & = \pm 1 \end{align*}
c=1
【解答】
f(x)=x^3 は,区間 [0,\ 3] で連続で,
区間 (0,\ 3) で微分可能である。
\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(3)-f(0)}{3-0} &= f'(c),\ 0 < c < 3 \end{align*}
を満たす c が存在する。 ☜ 平均値の定理!
f'(x) = 3x^2
であるから
\begin{align*} \dfrac{3^3-0^3}{3-0} &= 3 \cdot c^2\\ \\ \dfrac{27}{3} &= 3c^2\\ \\ 9 &= 3c^2\\ \\ c^2 &= 3\\ \\ c & = \pm\sqrt{3} \end{align*}
c=\sqrt{3}
【解答】
f(x)=\log_{}x は,区間 [1,\ e] で連続で,
区間 (1,\ e) で微分可能である。
\begin{align*} \color{orange} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} & \color{orange}= f'(c)\\ \\ \dfrac{f(e)-f(1)}{e-1} &= f'(c),\ 1 < c < e \end{align*}
を満たす c が存在する。 ☜ 平均値の定理!
f'(x) = \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot\dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'
であるから
\begin{align*} \dfrac{\log_{e}e-\log_{e}1}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\ \\ \dfrac{1-0}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\ \\ \dfrac{1}{e-1} &= \dfrac{1}{c}\\ \\ c & = e-1 \end{align*}
c=e-1 \neq 2.7-1 = 1.7 が 1 < c < e=2.7 となっていることも確認!
- 20211014…初版公開。問題数5。先週末に1週間分を準備したつもりが、週半ばにして不足。あわてて作成。解説を入れる>私