何度も解いて体で覚えましょう!
次の方程式で表される曲線上の点 \rm A における接線の方程式を求めよ。
【解答】
x^2+y^2=4 の両辺を x で微分すると\begin{align*} 2x \textcolor{orange}{\cdot x'} + 2y \cdot y' &= 0\\ 2y \cdot y' &= -2x\\ y \neq 0のとき & \color{red}\scriptsize 両辺を\ 2y\ で割って\\ y' &= \dfrac{-2x}{2y} = \dfrac{-x}{y}\\ & \color{red}\scriptsize ここに点を代入\Uarr \end{align*}
ゆえに,点 (\sqrt{3},\ 1) における接線の傾きは
\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-x}{y} = } \dfrac{-\sqrt{3}}{1} = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$}
したがって,求める接線の方程式は点 (\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{3}$},\ \colorbox{lightgreen}{$1$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$} であるから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$1$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{3}$} \right)\\ y-1 &= -\sqrt{3}x+3\\ y &= -\sqrt{3}x+4 \end{align*}
【解答】
\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1 の両辺を x で微分すると\begin{align*} \dfrac{2x}{8} \textcolor{orange}{\cdot x'} + \dfrac{2y}{2} \cdot y' &= 0\\ y \cdot y' &= \dfrac{-x}{4}\\ y \neq 0のとき & \color{red}\scriptsize 両辺を\ y\ で割って\\ y' &= \dfrac{-x}{4y}\\ & \color{red}\scriptsize \Uarr ここに点を代入 \end{align*}
ゆえに,点 (2,\ -1) における接線の傾きは
\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-x}{4y} = } \dfrac{-2}{4 \cdot (-1)} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$}
したがって,求める接線の方程式は点 (\colorbox{lightcyan}{$2$},\ \colorbox{lightgreen}{$-1$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} であるから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$(-1)$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$2$} \right)\\ \\ y+1 &= \dfrac12x-1\\ \\ y &= \dfrac12x-2 \end{align*}
【解答】
\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{8}=1 の両辺を x で微分すると\begin{align*} \dfrac{2x}{2} \textcolor{orange}{\cdot x'} + \dfrac{2y}{8} \cdot y' &= 0\\ \dfrac{y}{4} \cdot y' &= -x\\ y \neq 0のとき & \color{red}\scriptsize 両辺を\ \dfrac{y}{4}\ で割って\\ y' &= -x \times \dfrac{4}{y} = \dfrac{-4x}{y}\\ & \color{red}\scriptsize ここに点を代入 \Uarr \end{align*}
ゆえに,点 (1,\ 2) における接線の傾きは
\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-4x}{y} = } \dfrac{-4 \cdot 1}{2} = \colorbox{mistyrose}{$-2$}
したがって,求める接線の方程式は点 (\colorbox{lightcyan}{$1$},\ \colorbox{lightgreen}{$2$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$-2$} であるから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$2$} &= \colorbox{mistyrose}{$-2$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$1$} \right)\\ \\ y-2 &= -2x+2\\ \\ y &= -2x+4 \end{align*}
【解答】
x^2-y^2=1 の両辺を x で微分すると\begin{align*} 2x \textcolor{orange}{\cdot x'} - 2y \cdot y' &= 0\\ -2y \cdot y' &= -2x\\ y \neq 0のとき & \color{red}\scriptsize 両辺を\ -2y\ で割って\\ y' &= \dfrac{-2x}{-2y} = \dfrac{x}{y}\\ & \color{red}\scriptsize ここに点を代入\Uarr \end{align*}
ゆえに,点 (\sqrt{2},\ -1) における接線の傾きは
\textcolor{orange}{y' = \dfrac{x}{y} = } \dfrac{\sqrt{2}}{-1} = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$}
したがって,求める接線の方程式は点 (\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{2}$},\ \colorbox{lightgreen}{$-1$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$} であるから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$(-1)$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{2}$} \right)\\ y+1 &= -\sqrt{2}x+2\\ y &= -\sqrt{2}x+1 \end{align*}
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- 20211010…初版公開。問題数4。とにかく1週間分の授業予定を作成中。解説はやめに>私。