曲線の方程式と接線

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の方程式で表される曲線上の点 \rm A における接線の方程式を求めよ。

【解答】

x^2+y^2=4 の両辺を x で微分すると

\begin{align*}
2x \textcolor{orange}{\cdot x'} + 2y \cdot y' &= 0\\
2y \cdot y' &= -2x\\
y \neq 0のとき  & \color{red}\scriptsize    両辺を\ 2y\ で割って\\
y' &= \dfrac{-2x}{2y} = \dfrac{-x}{y}\\
& \color{red}\scriptsize ここに点を代入\Uarr
\end{align*}

ゆえに,点 (\sqrt{3},\ 1) における接線の傾きは

\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-x}{y} = } \dfrac{-\sqrt{3}}{1} = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$}

したがって,求める接線の方程式は点 (\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{3}$},\ \colorbox{lightgreen}{$1$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$} であるから

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$1$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{3}$} \right)\\
y-1 &= -\sqrt{3}x+3\\
y &= -\sqrt{3}x+4
\end{align*}

【解答】

\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1 の両辺を x で微分すると

\begin{align*}
\dfrac{2x}{8} \textcolor{orange}{\cdot x'} + \dfrac{2y}{2} \cdot y' &= 0\\
y \cdot y' &= \dfrac{-x}{4}\\
y \neq 0のとき  & \color{red}\scriptsize    両辺を\ y\ で割って\\
y' &= \dfrac{-x}{4y}\\
& \color{red}\scriptsize   \Uarr ここに点を代入
\end{align*}

ゆえに,点 (2,\ -1) における接線の傾きは

\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-x}{4y} = } \dfrac{-2}{4 \cdot (-1)} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$}

したがって,求める接線の方程式は点 (\colorbox{lightcyan}{$2$},\ \colorbox{lightgreen}{$-1$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} であるから

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$(-1)$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$2$} \right)\\
\\
y+1 &= \dfrac12x-1\\
\\
y &= \dfrac12x-2
\end{align*}

【解答】

\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{8}=1 の両辺を x で微分すると

\begin{align*}
\dfrac{2x}{2} \textcolor{orange}{\cdot x'} + \dfrac{2y}{8} \cdot y' &= 0\\
\dfrac{y}{4} \cdot y' &= -x\\
y \neq 0のとき  & \color{red}\scriptsize    両辺を\ \dfrac{y}{4}\ で割って\\
y' &= -x \times \dfrac{4}{y} = \dfrac{-4x}{y}\\
& \color{red}\scriptsize   ここに点を代入 \Uarr
\end{align*}

ゆえに,点 (1,\ 2) における接線の傾きは

\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-4x}{y} = } \dfrac{-4 \cdot 1}{2} = \colorbox{mistyrose}{$-2$}

したがって,求める接線の方程式は点 (\colorbox{lightcyan}{$1$},\ \colorbox{lightgreen}{$2$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$-2$} であるから

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$2$} &= \colorbox{mistyrose}{$-2$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$1$} \right)\\
\\
y-2 &= -2x+2\\
\\
y &= -2x+4
\end{align*}

【解答】

x^2-y^2=1 の両辺を x で微分すると

\begin{align*}
2x \textcolor{orange}{\cdot x'} - 2y \cdot y' &= 0\\
-2y \cdot y' &= -2x\\
y \neq 0のとき  & \color{red}\scriptsize    両辺を\ -2y\ で割って\\
y' &= \dfrac{-2x}{-2y} = \dfrac{x}{y}\\
& \color{red}\scriptsize ここに点を代入\Uarr
\end{align*}

ゆえに,点 (\sqrt{2},\ -1) における接線の傾きは

\textcolor{orange}{y' = \dfrac{x}{y} = } \dfrac{\sqrt{2}}{-1} = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$}

したがって,求める接線の方程式は点 (\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{2}$},\ \colorbox{lightgreen}{$-1$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$} であるから

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$(-1)$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{2}$} \right)\\
y+1 &= -\sqrt{2}x+2\\
y &= -\sqrt{2}x+1
\end{align*}

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傾きや通る点から接線の方程式を求める
  • 20211010…初版公開。問題数4。とにかく1週間分の授業予定を作成中。解説はやめに>私。

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