曲線の方程式と接線

2021年10月10日

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の方程式で表される曲線上の点 $\rm A$ における接線の方程式を求めよ。

x^2+y^2=4

，

{\rm A}(\sqrt{3},\ 1)

【解答】

x^2+y^2=4

の両辺を

x

で微分すると

\begin{align*} 2x \textcolor{orange}{\cdot x'} + 2y \cdot y' &= 0\\ 2y \cdot y' &= -2x\\ y \neq 0のとき　 & \color{red}\scriptsize 　　　両辺を\ 2y\ で割って\\ y' &= \dfrac{-2x}{2y} = \dfrac{-x}{y}\\ & \color{red}\scriptsize ここに点を代入\Uarr \end{align*}

ゆえに，点 $(\sqrt{3},\ 1)$ における接線の傾きは

\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-x}{y} = } \dfrac{-\sqrt{3}}{1} = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$}

したがって，求める接線の方程式は点 $(\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{3}$},\ \colorbox{lightgreen}{$1$})$ を通り，傾き $\colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$}$ であるから

\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$1$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{3}$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{3}$} \right)\\ y-1 &= -\sqrt{3}x+3\\ y &= -\sqrt{3}x+4 \end{align*}

\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1

，

{\rm A}(2,\ -1)

【解答】

\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1

の両辺を

x

で微分すると

\begin{align*} \dfrac{2x}{8} \textcolor{orange}{\cdot x'} + \dfrac{2y}{2} \cdot y' &= 0\\ y \cdot y' &= \dfrac{-x}{4}\\ y \neq 0のとき　 & \color{red}\scriptsize 　　　両辺を\ y\ で割って\\ y' &= \dfrac{-x}{4y}\\ & \color{red}\scriptsize 　　\Uarr ここに点を代入 \end{align*}

ゆえに，点 $(2,\ -1)$ における接線の傾きは

\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-x}{4y} = } \dfrac{-2}{4 \cdot (-1)} = \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$}

したがって，求める接線の方程式は点 $(\colorbox{lightcyan}{$2$},\ \colorbox{lightgreen}{$-1$})$ を通り，傾き $\colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$}$ であるから

\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$(-1)$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac12$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$2$} \right)\\ \\ y+1 &= \dfrac12x-1\\ \\ y &= \dfrac12x-2 \end{align*}

\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{8}=1

，

{\rm A}(1,\ 2)

【解答】

\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{8}=1

の両辺を

x

で微分すると

\begin{align*} \dfrac{2x}{2} \textcolor{orange}{\cdot x'} + \dfrac{2y}{8} \cdot y' &= 0\\ \dfrac{y}{4} \cdot y' &= -x\\ y \neq 0のとき　 & \color{red}\scriptsize 　　　両辺を\ \dfrac{y}{4}\ で割って\\ y' &= -x \times \dfrac{4}{y} = \dfrac{-4x}{y}\\ & \color{red}\scriptsize 　　ここに点を代入 \Uarr \end{align*}

ゆえに，点 $(1,\ 2)$ における接線の傾きは

\textcolor{orange}{y' = \dfrac{-4x}{y} = } \dfrac{-4 \cdot 1}{2} = \colorbox{mistyrose}{$-2$}

したがって，求める接線の方程式は点 $(\colorbox{lightcyan}{$1$},\ \colorbox{lightgreen}{$2$})$ を通り，傾き $\colorbox{mistyrose}{$-2$}$ であるから

\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$2$} &= \colorbox{mistyrose}{$-2$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$1$} \right)\\ \\ y-2 &= -2x+2\\ \\ y &= -2x+4 \end{align*}

x^2-y^2=1

，

{\rm A}(\sqrt{2},\ -1)

【解答】

x^2-y^2=1

の両辺を

x

で微分すると

\begin{align*} 2x \textcolor{orange}{\cdot x'} - 2y \cdot y' &= 0\\ -2y \cdot y' &= -2x\\ y \neq 0のとき　 & \color{red}\scriptsize 　　　両辺を\ -2y\ で割って\\ y' &= \dfrac{-2x}{-2y} = \dfrac{x}{y}\\ & \color{red}\scriptsize ここに点を代入\Uarr \end{align*}

ゆえに，点 $(\sqrt{2},\ -1)$ における接線の傾きは

\textcolor{orange}{y' = \dfrac{x}{y} = } \dfrac{\sqrt{2}}{-1} = \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$}

したがって，求める接線の方程式は点 $(\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{2}$},\ \colorbox{lightgreen}{$-1$})$ を通り，傾き $\colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$}$ であるから

\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$(-1)$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\sqrt{2}$} \left( x-\colorbox{lightcyan}{$\sqrt{2}$} \right)\\ y+1 &= -\sqrt{2}x+2\\ y &= -\sqrt{2}x+1 \end{align*}

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