何度も解いて体で覚えましょう!
【解答】
y=\log_{e}x を微分すると\begin{align*} y' &= \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot \dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x' \end{align*}
ここで,接点の座標を (\colorbox{lightcyan}{$a$}, \ \colorbox{lightgreen}{$\log_{e}a$}) とすると,接線の傾きは \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{a}$} である。よって,接線の方程式は
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$\log_{e}a$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{a}$}\left(x-\colorbox{lightcyan}{$a$}\right)\\ \\ y-\log_{e}a &= \dfrac{1}{a}x-1\\ \\ y &= \dfrac{1}{a}x+\log_{e}a-1\ \cdots\ ①\\ \end{align*}
(1) 接線①の傾きが e であるから
\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{a}=e$} すなわち a = \dfrac{1}{e}
これを①に代入すると
\begin{align*} y &= \colorbox{mistyrose}{$e$}x+\log_{e}\dfrac{1}{e} -1\\ \\ &= ex+\log_{e}e^{-1}-1\\ \\ &= ex-1-1 \end{align*}
よって,y=ex-2
(2) 接線①が原点 (0,\ 0) を通るから代入!
\begin{align*} 0 &= \dfrac{1}{a} \cdot 0+\log_{e}a-1\\ -\log_{e}a &= -1\\ \log_{e}a &= 1 \color{orange}\times \log_{e}e\\ a &= e \end{align*}
これを①に代入すると
\begin{align*} y &= \dfrac{1}{e}x+\log_{e}e -1\\ \\ &= \dfrac{1}{e}x+1-1 \end{align*}
よって,y=\dfrac{1}{e}x
【解答】
y=e^x を微分すると\begin{align*} y' &= e^x \color{orange}\cdot \log_{e}e \cdot x' \end{align*}
ここで,接点の座標を (\colorbox{lightcyan}{$a$}, \ \colorbox{lightgreen}{$e^a$}) とすると,接線の傾きは \colorbox{mistyrose}{$e^a$} である。よって,接線の方程式は
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$e^a$} &= \colorbox{mistyrose}{$e^a$}\left(x-\colorbox{lightcyan}{$a$}\right)\\ y-e^a &= e^a x-a e^a\\ y &= e^a x-a e^a +e^a\ \cdots\ ①\\ \end{align*}
(1) 接線①の傾きが 1 であるから
\colorbox{mistyrose}{$e^a=1$} すなわち a = 0
これを①に代入すると
\begin{align*} y &= \colorbox{mistyrose}{$1$}x-0 \cdot e^0 + e^0\\ &= x-0+1 \end{align*}
よって,y=x+1
(2) 接線①が原点 (0,\ 0) を通るから代入!
\begin{align*} 0 &= e^a \cdot 0-ae^a+e^a\\ ae^a &= e^a\\ a &= 1 \end{align*}
これを①に代入すると
\begin{align*} y &= e^1x-1 \cdot e^1+e^1\\ \\ &= {e}x-e+e \end{align*}
よって,y=ex
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