何度も解いて体で覚えましょう！
【解答】
y=\log_{e}x を微分すると\begin{align*}
y' &= \dfrac{1}{x} \color{orange}\cdot \dfrac{1}{\log_{e}e} \cdot x'
\end{align*}ここで，接点の座標を (\colorbox{lightcyan}{$a$}, \ \colorbox{lightgreen}{$\log_{e}a$}) とすると，接線の傾きは \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{a}$} である。よって，接線の方程式は
\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$\log_{e}a$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{a}$}\left(x-\colorbox{lightcyan}{$a$}\right)\\
\\
y-\log_{e}a &= \dfrac{1}{a}x-1\\
\\
y &= \dfrac{1}{a}x+\log_{e}a-1\ \cdots\ ①\\
\end{align*}(1) 接線①の傾きが e であるから
\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{a}=e$} すなわち a = \dfrac{1}{e}これを①に代入すると
\begin{align*}
y &= \colorbox{mistyrose}{$e$}x+\log_{e}\dfrac{1}{e} -1\\
\\
&= ex+\log_{e}e^{-1}-1\\
\\
&= ex-1-1
\end{align*}よって，y=ex-2
(2) 接線①が原点 (0,\ 0) を通るから代入！
\begin{align*}
0 &= \dfrac{1}{a} \cdot 0+\log_{e}a-1\\
-\log_{e}a &= -1\\
\log_{e}a &= 1 \color{orange}\times \log_{e}e\\
a &= e
\end{align*}これを①に代入すると
\begin{align*}
y &= \dfrac{1}{e}x+\log_{e}e -1\\
\\
&= \dfrac{1}{e}x+1-1
\end{align*}よって，y=\dfrac{1}{e}x
【解答】
y=e^x を微分すると\begin{align*}
y' &= e^x \color{orange}\cdot \log_{e}e \cdot x'
\end{align*}ここで，接点の座標を (\colorbox{lightcyan}{$a$}, \ \colorbox{lightgreen}{$e^a$}) とすると，接線の傾きは \colorbox{mistyrose}{$e^a$} である。よって，接線の方程式は
\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$e^a$} &= \colorbox{mistyrose}{$e^a$}\left(x-\colorbox{lightcyan}{$a$}\right)\\
y-e^a &= e^a x-a e^a\\
y &= e^a x-a e^a +e^a\ \cdots\ ①\\
\end{align*}(1) 接線①の傾きが 1 であるから
\colorbox{mistyrose}{$e^a=1$} すなわち a = 0これを①に代入すると
\begin{align*}
y &= \colorbox{mistyrose}{$1$}x-0 \cdot e^0 + e^0\\
&= x-0+1
\end{align*}よって，y=x+1
(2) 接線①が原点 (0,\ 0) を通るから代入！
\begin{align*}
0 &= e^a \cdot 0-ae^a+e^a\\
ae^a &= e^a\\
a &= 1
\end{align*}これを①に代入すると
\begin{align*}
y &= e^1x-1 \cdot e^1+e^1\\
\\
&= {e}x-e+e
\end{align*}よって，y=ex
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- 20211010…初版公開。問題数２。とりあえず１週間分の準備中。解説を作る＞私