何度も解いて体で覚えましょう!
次の曲線上の点 \rm A における法線の方程式を求めよ。
【解答】
x=1 における微分係数 f'(1) を求める
f(x)=e^{x}とすると\begin{align*} %\color{orange}f(x) &\color{orange}= \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac12} だから\\ %\\ f'(x) &= e^{x} \color{orange}\times \log_{e}{e} \times x'\\ %\\ %&= \frac12 x^{-\frac12}\\ %& \color{red}\scriptsize \Darr\ マイナス乗は分母へ\\ %&= \dfrac{1}{2 x^{\frac12}}\\ %& \color{red}\scriptsize \Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\ %&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*}
であるから
\begin{align*} f'(1) &= e^{1} = e \color{orange} \cdots 接線の傾き \Darr\\ & \color{red}\scriptsize\ 逆数 \& 符号変える\\ & \color{orange}法線の傾き \scriptsize -\frac{1}{e} \end{align*}
法線の方程式を求める
求める法線は,点 {\rm A}(\colorbox{lightcyan}{$1$},\ \colorbox{lightgreen}{$e$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$-\frac{1}{e}$} の直線だから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$e$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac{1}{e}$}(x-\colorbox{lightcyan}{$1$})\\ \color{red}\scriptsize 両辺を\ e\ 倍して\\ e\,y-e^2 &= -(x-1)\\ e\,y-e^2 &= -x+1\\ e\,y &= -x+e^2+1\\ y &= -\dfrac{1}{e}x+e+\dfrac{1}{e} \end{align*}
【解答】
x=1 における微分係数 f'(1) を求める
f(x)=\dfrac{2}{x}とすると\begin{align*} \color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{2}{x} = 2x^{-1} だから\\ \\ f'(x) &= -2 x^{-2} \color{orange}\times x'\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\ マイナス乗は分母へ\\ &= \dfrac{-2}{x^{2}}\\ %& \color{red}\scriptsize \Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\ %&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*}
であるから
\begin{align*} f'(1) &= \dfrac{-2}{1^{2}} = -2 \color{orange} \cdots 接線の傾き \Darr\\ & \color{red}\scriptsize\ 逆数 \& 符号変える\\ & \color{orange}法線の傾き \scriptsize \frac{1}{2} \end{align*}
法線の方程式を求める
求める法線は,点 {\rm A}(\colorbox{lightcyan}{$1$},\ \colorbox{lightgreen}{$2$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$\frac{1}{2}$} の直線だから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$2$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$}(x-\colorbox{lightcyan}{$1$})\\ \color{red}\scriptsize 両辺を\ 2\ 倍して\\ 2y-4 &= x-1\\ 2y &= x+3\\ y &= \dfrac12x+\dfrac32 \end{align*}
【解答】
x=\frac{\pi}{6} における微分係数 f'(\frac{\pi}{6}) を求める
f(x)=\sin{x}とすると\begin{align*} %\color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{2}{x} = 2x^{-1} だから\\ %\\ f'(x) &= \cos{x} \color{orange}\times x'\\ %& \color{red}\scriptsize \Darr\ マイナス乗は分母へ\\ %&= \dfrac{-2}{x^{2}}\\ %& \color{red}\scriptsize \Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\ %&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*}
であるから
\begin{align*} f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \cos{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \color{orange} \cdots 接線の傾き \Darr\\ & \color{red}\scriptsize\ 逆数 \& 符号変える\\ & \color{orange}法線の傾き \scriptsize -\frac{2}{\sqrt{3}} \end{align*}
法線の方程式を求める
求める法線は,点 {\rm A}\left(\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{\pi}{6}$},\ \colorbox{lightgreen}{$\dfrac12$}\right) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$-\frac{2}{\sqrt{3}}$} の直線だから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$\dfrac12$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$}(x-\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{\pi}{6}$})\\ \color{red}\scriptsize 両辺を\ 2\sqrt{3}\ 倍して\\ 2\sqrt{3}y-\sqrt{3} &=-4\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\\ 2\sqrt{3}y-\sqrt{3} &= -4x+\dfrac{2\pi}{3}\\ \color{red}\scriptsize 両辺を\ 3\ 倍して\\ 6\sqrt{3}y-3\sqrt{3} &= -12x+{2\pi}\\ 6\sqrt{3}y &= -12x+{2\pi}+3\sqrt{3}\\ y &= -\dfrac{2}{\sqrt{3}}x+\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}+\dfrac12 \end{align*}
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