曲線上の点における法線の方程式

\begin{align*}
%\color{orange}f(x) &\color{orange}= \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac12} だから\\
%\\
f'(x) &= e^{x} \color{orange}\times \log_{e}{e} \times x'\\
%\\
%&= \frac12 x^{-\frac12}\\
%& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ マイナス乗は分母へ\\
%&= \dfrac{1}{2 x^{\frac12}}\\
%& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\
%&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

\begin{align*}
f'(1) &= e^{1} = e \color{orange} \cdots 接線の傾き \Darr\\
& 　　　　\color{red}\scriptsize\ 逆数 \& 符号変える\\
& 　　　　　\color{orange}法線の傾き \scriptsize -\frac{1}{e}
\end{align*}

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$e$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac{1}{e}$}(x-\colorbox{lightcyan}{$1$})\\
\color{red}\scriptsize 両辺を\ e\ 倍して\\
e\,y-e^2 &= -(x-1)\\
e\,y-e^2 &= -x+1\\
e\,y &= -x+e^2+1\\
y &= -\dfrac{1}{e}x+e+\dfrac{1}{e}
\end{align*}

\begin{align*}
\color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{2}{x} = 2x^{-1} だから\\
\\
f'(x) &= -2 x^{-2} \color{orange}\times x'\\
& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ マイナス乗は分母へ\\
&= \dfrac{-2}{x^{2}}\\
%& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\
%&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

\begin{align*}
f'(1) &= \dfrac{-2}{1^{2}} = -2 \color{orange} \cdots 接線の傾き \Darr\\
& 　　　　　　\color{red}\scriptsize\ 逆数 \& 符号変える\\
& 　　　　　　　\color{orange}法線の傾き \scriptsize \frac{1}{2}
\end{align*}

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$2$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac{1}{2}$}(x-\colorbox{lightcyan}{$1$})\\
\color{red}\scriptsize 両辺を\ 2\ 倍して\\
2y-4 &= x-1\\
2y &= x+3\\
y &= \dfrac12x+\dfrac32
\end{align*}

\begin{align*}
%\color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{2}{x} = 2x^{-1} だから\\
%\\
f'(x) &= \cos{x} \color{orange}\times x'\\
%& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ マイナス乗は分母へ\\
%&= \dfrac{-2}{x^{2}}\\
%& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\
%&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

\begin{align*}
f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \cos{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \color{orange} \cdots 接線の傾き \Darr\\
& 　　　　　　\color{red}\scriptsize\ 逆数 \& 符号変える\\
& 　　　　　　　\color{orange}法線の傾き \scriptsize -\frac{2}{\sqrt{3}}
\end{align*}

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$\dfrac12$} &= \colorbox{mistyrose}{$-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$}(x-\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{\pi}{6}$})\\
\color{red}\scriptsize 両辺を\ 2\sqrt{3}\ 倍して\\
2\sqrt{3}y-\sqrt{3} &=-4\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\\
2\sqrt{3}y-\sqrt{3} &= -4x+\dfrac{2\pi}{3}\\
\color{red}\scriptsize 両辺を\ 3\ 倍して\\
6\sqrt{3}y-3\sqrt{3} &= -12x+{2\pi}\\
6\sqrt{3}y &= -12x+{2\pi}+3\sqrt{3}\\
y &= -\dfrac{2}{\sqrt{3}}x+\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}+\dfrac12
\end{align*}