曲線上の点における接線の方程式

\begin{align*}
\color{orange}f(x) &\color{orange}= \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac12} だから\\
\\
f'(x) &= \frac12x^{\frac12-1} \color{orange}\times x'\\
\\
&= \frac12 x^{-\frac12}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ マイナス乗は分母へ\\
&= \dfrac{1}{2 x^{\frac12}}\\
& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\
&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$2$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac14$}(x-\colorbox{lightcyan}{$4$})\\
\color{red}\scriptsize 両辺を4倍して\\
4y-8 &= x-4\\
4y &= x+4\\
y &= \dfrac14x+1
\end{align*}

\begin{align*}
\color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{4}{x} = 4x^{-1} だから\\
\\
f'(x) &= -4x^{-2} \color{orange}\times x'\\
& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ マイナス乗は分母へ\\
&= \dfrac{-4}{x^{2}}
\end{align*}

f'(-1) = \dfrac{-4}{(-1)^2} = -4

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$(-4)$} &= \colorbox{mistyrose}{$-4$}\left\{x-\colorbox{lightcyan}{$(-1)$}\right\}\\
y+4 &= -4(x+1)\\
y+4 &= -4x-4\\
y &= -4x-8
\end{align*}

\begin{align*}
%\color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{4}{x} = 4x^{-1} だから\\
%\\
f'(x) &= \dfrac{1}{\cos^2{x}} \color{orange}\times x'\\
%& \color{red}\scriptsize 　　　\Darr\ マイナス乗は分母へ\\
%&= \dfrac{-4}{x^{2}}
\end{align*}

f'(0) = \dfrac{1}{\cos^2{0}} = \dfrac{1}{1^2} = 1

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$0$} &= \colorbox{mistyrose}{$1$}(x-\colorbox{lightcyan}{$0$})\\
y &= x
\end{align*}