曲線上の点における接線の方程式

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の曲線上の点 \rm A における接線の方程式を求めよ。

【解答】

x=4 における微分係数 f'(4) を求める

f(x)=\sqrt{x}とすると

\begin{align*}
\color{orange}f(x) &\color{orange}= \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac12} だから\\
\\
f'(x) &= \frac12x^{\frac12-1} \color{orange}\times x'\\
\\
&= \frac12 x^{-\frac12}\\
& \color{red}\scriptsize    \Darr\ マイナス乗は分母へ\\
&= \dfrac{1}{2 x^{\frac12}}\\
& \color{red}\scriptsize    \Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\
&= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

であるから

f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}

接線の方程式を求める

求める接線は,点 {\rm A}(\colorbox{lightcyan}{$4$},\ \colorbox{lightgreen}{$2$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$f'(4)$} の直線だから

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$2$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac14$}(x-\colorbox{lightcyan}{$4$})\\
\color{red}\scriptsize 両辺を4倍して\\
4y-8 &= x-4\\
4y &= x+4\\
y &= \dfrac14x+1
\end{align*}

【解答】

x=-1 における微分係数 f'(-1) を求める

f(x)=\dfrac{4}{x}とすると

\begin{align*}
\color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{4}{x} = 4x^{-1} だから\\
\\
f'(x) &= -4x^{-2} \color{orange}\times x'\\
& \color{red}\scriptsize    \Darr\ マイナス乗は分母へ\\
&= \dfrac{-4}{x^{2}}
\end{align*}

であるから

f'(-1) = \dfrac{-4}{(-1)^2} = -4

接線の方程式を求める

求める接線は,点 {\rm A}(\colorbox{lightcyan}{$-1$},\ \colorbox{lightgreen}{$-4$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$f'(-1)$} の直線だから

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$(-4)$} &= \colorbox{mistyrose}{$-4$}\left\{x-\colorbox{lightcyan}{$(-1)$}\right\}\\
y+4 &= -4(x+1)\\
y+4 &= -4x-4\\
y &= -4x-8
\end{align*}

【解答】

x=0 における微分係数 f'(0) を求める

f(x)=\tan{x}とすると

\begin{align*}
%\color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{4}{x} = 4x^{-1} だから\\
%\\
f'(x) &= \dfrac{1}{\cos^2{x}} \color{orange}\times x'\\
%& \color{red}\scriptsize    \Darr\ マイナス乗は分母へ\\
%&= \dfrac{-4}{x^{2}}
\end{align*}

であるから

f'(0) = \dfrac{1}{\cos^2{0}} = \dfrac{1}{1^2} = 1

接線の方程式を求める

求める接線は,点 {\rm A}(\colorbox{lightcyan}{$0$},\ \colorbox{lightgreen}{$0$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$f'(0)$} の直線だから

\begin{align*}
y-\colorbox{lightgreen}{$0$} &= \colorbox{mistyrose}{$1$}(x-\colorbox{lightcyan}{$0$})\\
y &= x
\end{align*}

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