何度も解いて体で覚えましょう!
次の曲線上の点 \rm A における接線の方程式を求めよ。
【解答】
x=4 における微分係数 f'(4) を求める
f(x)=\sqrt{x}とすると\begin{align*} \color{orange}f(x) &\color{orange}= \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac12} だから\\ \\ f'(x) &= \frac12x^{\frac12-1} \color{orange}\times x'\\ \\ &= \frac12 x^{-\frac12}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\ マイナス乗は分母へ\\ &= \dfrac{1}{2 x^{\frac12}}\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\ \frac12乗は \sqrt{\ \ } に\\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*}
であるから
f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}
接線の方程式を求める
求める接線は,点 {\rm A}(\colorbox{lightcyan}{$4$},\ \colorbox{lightgreen}{$2$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$f'(4)$} の直線だから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$2$} &= \colorbox{mistyrose}{$\dfrac14$}(x-\colorbox{lightcyan}{$4$})\\ \color{red}\scriptsize 両辺を4倍して\\ 4y-8 &= x-4\\ 4y &= x+4\\ y &= \dfrac14x+1 \end{align*}
【解答】
x=-1 における微分係数 f'(-1) を求める
f(x)=\dfrac{4}{x}とすると\begin{align*} \color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{4}{x} = 4x^{-1} だから\\ \\ f'(x) &= -4x^{-2} \color{orange}\times x'\\ & \color{red}\scriptsize \Darr\ マイナス乗は分母へ\\ &= \dfrac{-4}{x^{2}} \end{align*}
であるから
f'(-1) = \dfrac{-4}{(-1)^2} = -4
接線の方程式を求める
求める接線は,点 {\rm A}(\colorbox{lightcyan}{$-1$},\ \colorbox{lightgreen}{$-4$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$f'(-1)$} の直線だから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$(-4)$} &= \colorbox{mistyrose}{$-4$}\left\{x-\colorbox{lightcyan}{$(-1)$}\right\}\\ y+4 &= -4(x+1)\\ y+4 &= -4x-4\\ y &= -4x-8 \end{align*}
【解答】
x=0 における微分係数 f'(0) を求める
f(x)=\tan{x}とすると\begin{align*} %\color{orange}f(x) &\color{orange}= \frac{4}{x} = 4x^{-1} だから\\ %\\ f'(x) &= \dfrac{1}{\cos^2{x}} \color{orange}\times x'\\ %& \color{red}\scriptsize \Darr\ マイナス乗は分母へ\\ %&= \dfrac{-4}{x^{2}} \end{align*}
であるから
f'(0) = \dfrac{1}{\cos^2{0}} = \dfrac{1}{1^2} = 1
接線の方程式を求める
求める接線は,点 {\rm A}(\colorbox{lightcyan}{$0$},\ \colorbox{lightgreen}{$0$}) を通り,傾き \colorbox{mistyrose}{$f'(0)$} の直線だから
\begin{align*} y-\colorbox{lightgreen}{$0$} &= \colorbox{mistyrose}{$1$}(x-\colorbox{lightcyan}{$0$})\\ y &= x \end{align*}
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- 20211010…初版公開。問題数3。とりあえず授業先取りの人のために。解説を作る>私