何度も解いて体で覚えましょう！
曲線の媒介変数表示が次の式で与えられているとき，\dfrac{dy}{dx} を t の関数として表せ。
【解答】
\def\st{t^2}
\def\dt{2t}
\def\dtl{\dt}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize x\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\
1 \cdot\dfrac{dx}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\
\\
\dfrac{dx}{dt} &= \colorbox{lightcyan}{$\dtl$}
\end{align*}\def\st{2t}
\def\dt{2}
\def\dtl{\dt}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize y\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\
1 \cdot\dfrac{dy}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\
\\
\dfrac{dy}{dt} &= \colorbox{mistyrose}{$\dtl$}
\end{align*}\def\dydt{2}
\def\dtdx{\dfrac{1}{2t}}
\def\dydx{\dfrac{1}{t}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize \ \Darr \frac{dx}{dt}の逆数 & \ \ \color{red}\scriptsize \Darr 2t\ の逆数\\
\textcolor{orange}{\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{dy}{dt}$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{dt}{dx}$} =} \dfrac{dy}{dx} &= \colorbox{mistyrose}{$\dydt$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dtdx$} = \dydx
\end{align*}【解答】
\def\st{3\cos{t}}
\def\dt{3(-\sin{t})}
\def\dtl{-3\sin{t}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize x\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\
1 \cdot\dfrac{dx}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\
\\
\dfrac{dx}{dt} &= \colorbox{lightcyan}{$\dtl$}
\end{align*}\def\st{2\sin{t}}
\def\dt{2\cos{t}}
\def\dtl{\dt}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize y\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\
1 \cdot\dfrac{dy}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\
\\
\dfrac{dy}{dt} &= \colorbox{mistyrose}{$\dtl$}
\end{align*}\def\dydt{2\cos{t}}
\def\dtdx{\dfrac{1}{-3\sin{t}}}
\def\dydx{-\dfrac{2\cos{t}}{3\sin{t}}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize \ \Darr \frac{dx}{dt}の逆数 & \ \ \color{red}\scriptsize \Darr 2t\ の逆数\\
\textcolor{orange}{\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{dy}{dt}$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{dt}{dx}$} =} \dfrac{dy}{dx} &= \colorbox{mistyrose}{$\dydt$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dtdx$}\\
\\ &= \dydx
\end{align*}【解答】
\def\st{2t^2}
\def\dt{4t}
\def\dtl{\dt}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize x\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\
1 \cdot\dfrac{dx}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\
\\
\dfrac{dx}{dt} &= \colorbox{lightcyan}{$\dtl$}
\end{align*}\def\st{2t-1}
\def\dt{2}
\def\dtl{\dt}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize y\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\
1 \cdot\dfrac{dy}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\
\\
\dfrac{dy}{dt} &= \colorbox{mistyrose}{$\dtl$}
\end{align*}\def\dydt{2}
\def\dtdx{\dfrac{1}{4t}}
\def\dydx{\dfrac{1}{2t}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize \ \Darr \frac{dx}{dt}の逆数 & \ \ \color{red}\scriptsize \Darr 2t\ の逆数\\
\textcolor{orange}{\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{dy}{dt}$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{dt}{dx}$} =} \dfrac{dy}{dx} &= \colorbox{mistyrose}{$\dydt$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dtdx$} = \dydx
\end{align*}【解答】
\def\st{\cos{t}}
\def\dt{(-\sin{t})}
\def\dtl{-\sin{t}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize x\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\
1 \cdot\dfrac{dx}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\
\\
\dfrac{dx}{dt} &= \colorbox{lightcyan}{$\dtl$}
\end{align*}\def\st{\sin{t}}
\def\dt{\cos{t}}
\def\dtl{\dt}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize y\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\
1 \cdot\dfrac{dy}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\
\\
\dfrac{dy}{dt} &= \colorbox{mistyrose}{$\dtl$}
\end{align*}\def\dydt{\cos{t}}
\def\dtdx{\dfrac{1}{-\sin{t}}}
\def\dydx{-\dfrac{\cos{t}}{\sin{t}}}
\begin{align*}
\color{red}\scriptsize \ \Darr \frac{dx}{dt}の逆数 & \ \ \color{red}\scriptsize \Darr 2t\ の逆数\\
\textcolor{orange}{\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{dy}{dt}$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{dt}{dx}$} =} \dfrac{dy}{dx} &= \colorbox{mistyrose}{$\dydt$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dtdx$}\\
\\ &= \dydx
\end{align*}- 20211010…初版公開。問題数４のみ。とりあえず自分で進める人向けに問題のみ。次は解説を入れる。
