何度も解いて体で覚えましょう!
曲線の媒介変数表示が次の式で与えられているとき,\dfrac{dy}{dx} を t の関数として表せ。
【解答】
\def\st{t^2} \def\dt{2t} \def\dtl{\dt} \begin{align*} \color{red}\scriptsize x\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\ 1 \cdot\dfrac{dx}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\ \\ \dfrac{dx}{dt} &= \colorbox{lightcyan}{$\dtl$} \end{align*}
\def\st{2t} \def\dt{2} \def\dtl{\dt} \begin{align*} \color{red}\scriptsize y\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\ 1 \cdot\dfrac{dy}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\ \\ \dfrac{dy}{dt} &= \colorbox{mistyrose}{$\dtl$} \end{align*}
\def\dydt{2} \def\dtdx{\dfrac{1}{2t}} \def\dydx{\dfrac{1}{t}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize \ \Darr \frac{dx}{dt}の逆数 & \ \ \color{red}\scriptsize \Darr 2t\ の逆数\\ \textcolor{orange}{\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{dy}{dt}$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{dt}{dx}$} =} \dfrac{dy}{dx} &= \colorbox{mistyrose}{$\dydt$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dtdx$} = \dydx \end{align*}
【解答】
\def\st{3\cos{t}} \def\dt{3(-\sin{t})} \def\dtl{-3\sin{t}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize x\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\ 1 \cdot\dfrac{dx}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\ \\ \dfrac{dx}{dt} &= \colorbox{lightcyan}{$\dtl$} \end{align*}
\def\st{2\sin{t}} \def\dt{2\cos{t}} \def\dtl{\dt} \begin{align*} \color{red}\scriptsize y\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\ 1 \cdot\dfrac{dy}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\ \\ \dfrac{dy}{dt} &= \colorbox{mistyrose}{$\dtl$} \end{align*}
\def\dydt{2\cos{t}} \def\dtdx{\dfrac{1}{-3\sin{t}}} \def\dydx{-\dfrac{2\cos{t}}{3\sin{t}}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize \ \Darr \frac{dx}{dt}の逆数 & \ \ \color{red}\scriptsize \Darr 2t\ の逆数\\ \textcolor{orange}{\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{dy}{dt}$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{dt}{dx}$} =} \dfrac{dy}{dx} &= \colorbox{mistyrose}{$\dydt$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dtdx$}\\ \\ &= \dydx \end{align*}
【解答】
\def\st{2t^2} \def\dt{4t} \def\dtl{\dt} \begin{align*} \color{red}\scriptsize x\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\ 1 \cdot\dfrac{dx}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\ \\ \dfrac{dx}{dt} &= \colorbox{lightcyan}{$\dtl$} \end{align*}
\def\st{2t-1} \def\dt{2} \def\dtl{\dt} \begin{align*} \color{red}\scriptsize y\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\ 1 \cdot\dfrac{dy}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\ \\ \dfrac{dy}{dt} &= \colorbox{mistyrose}{$\dtl$} \end{align*}
\def\dydt{2} \def\dtdx{\dfrac{1}{4t}} \def\dydx{\dfrac{1}{2t}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize \ \Darr \frac{dx}{dt}の逆数 & \ \ \color{red}\scriptsize \Darr 2t\ の逆数\\ \textcolor{orange}{\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{dy}{dt}$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{dt}{dx}$} =} \dfrac{dy}{dx} &= \colorbox{mistyrose}{$\dydt$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dtdx$} = \dydx \end{align*}
【解答】
\def\st{\cos{t}} \def\dt{(-\sin{t})} \def\dtl{-\sin{t}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize x\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\ 1 \cdot\dfrac{dx}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\ \\ \dfrac{dx}{dt} &= \colorbox{lightcyan}{$\dtl$} \end{align*}
\def\st{\sin{t}} \def\dt{\cos{t}} \def\dtl{\dt} \begin{align*} \color{red}\scriptsize y\ を\ t\ で微分 \Darr & \color{red}\scriptsize \Darr \st\ を\ t\ で微分して\\ 1 \cdot\dfrac{dy}{dt} &= \dt \color{orange}\cdot\dfrac{dt}{dt}\\ \\ \dfrac{dy}{dt} &= \colorbox{mistyrose}{$\dtl$} \end{align*}
\def\dydt{\cos{t}} \def\dtdx{\dfrac{1}{-\sin{t}}} \def\dydx{-\dfrac{\cos{t}}{\sin{t}}} \begin{align*} \color{red}\scriptsize \ \Darr \frac{dx}{dt}の逆数 & \ \ \color{red}\scriptsize \Darr 2t\ の逆数\\ \textcolor{orange}{\colorbox{mistyrose}{$\dfrac{dy}{dt}$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{dt}{dx}$} =} \dfrac{dy}{dx} &= \colorbox{mistyrose}{$\dydt$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\dtdx$}\\ \\ &= \dydx \end{align*}
- 20211010…初版公開。問題数4のみ。とりあえず自分で進める人向けに問題のみ。次は解説を入れる。