指数が有理数の場合の x の p 乗の導関数を求める

btakeshi
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p が有理数の場合にも \left(x^{p}\right)' = px^{p-1} が成り立ちます。数学2で自然数から始めて,数学3で整数、そして有理数まで拡張してきました。どこまで広がるのか想像しながら,指数が有理数の場合の導関数を求める練習をしていきましょう。

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の関数を微分せよ。

【解答】

y=\sqrt{x}=\sqrt[2]{x^{1}} = x^{\frac12} であるから

\def\vs{\frac{1}{2}}
\begin{align*}
y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\
\\
&= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\vs$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\
\\
&= \vs x^{\vs-\frac22}\\
\\
&= \vs x^{-\frac12}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\
&= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac12}}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\
&= \dfrac{1}{2\sqrt[2]{x^1}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}

【解答】

y=\sqrt[4]{x^{3}} = x^{\frac34} であるから

\def\vs{\frac{3}{4}}
\begin{align*}
y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\
\\
&= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\vs$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\
\\
&= \vs x^{\vs-\frac44}\\
\\
&= \vs x^{-\frac14}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\
&= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac14}}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\
&= \dfrac{3}{4\sqrt[4]{x^1}} = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{x}}
\end{align*}

【解答】

y=\sqrt[8]{x^{1}} = x^{\frac18} であるから

\def\vs{\frac{1}{8}}
\begin{align*}
y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\
\\
&= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\vs$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\
\\
&= \vs x^{\vs-\frac88}\\
\\
&= \vs x^{-\frac78}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\
&= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac78}}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\
&= \dfrac{1}{8\sqrt[8]{x^7}}
\end{align*}

【解答】

y=\sqrt[3]{x^{2}} = x^{\frac23} であるから

\def\vs{\frac{2}{3}}
\begin{align*}
y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\
\\
&= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\vs$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\
\\
&= \vs x^{\vs-\frac33}\\
\\
&= \vs x^{-\frac13}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\
&= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac13}}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\
&= \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^1}} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}
\end{align*}

【解答】

y=\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt[2]{x^1}} = \dfrac{1}{x^{\frac12}} = x^{-\frac12} であるから

\def\vs{-\frac{1}{2}}
\begin{align*}
y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\
\\
&= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\left(\displaystyle\vs\right)$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\
\\
&= \vs x^{\vs-\frac22}\\
\\
&= \vs x^{-\frac32}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\
&= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac32}}\\
&    \color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\
&= -\dfrac{1}{2\sqrt[2]{x^3}}\\
\\
&= -\dfrac{1}{2\sqrt{x^2 \cdot x}} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}
\end{align*}
  • 20210916…初版公開。問題数5。

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