指数が有理数の場合の x の p 乗の導関数を求める

2021年9月16日

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btakeshi

p

が有理数の場合にも

\left(x^{p}\right)' = px^{p-1}

が成り立ちます。数学２で自然数から始めて，数学３で整数、そして有理数まで拡張してきました。どこまで広がるのか想像しながら，指数が有理数の場合の導関数を求める練習をしていきましょう。

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の関数を微分せよ。

y=\sqrt{x}

【解答】

y=\sqrt{x}=\sqrt[2]{x^{1}} = x^{\frac12}

であるから

\def\vs{\frac{1}{2}} \begin{align*} y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\vs$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\ \\ &= \vs x^{\vs-\frac22}\\ \\ &= \vs x^{-\frac12}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\ &= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac12}}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\ &= \dfrac{1}{2\sqrt[2]{x^1}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*}

y=\sqrt[4]{x^3}

【解答】

y=\sqrt[4]{x^{3}} = x^{\frac34}

であるから

\def\vs{\frac{3}{4}} \begin{align*} y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\vs$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\ \\ &= \vs x^{\vs-\frac44}\\ \\ &= \vs x^{-\frac14}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\ &= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac14}}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\ &= \dfrac{3}{4\sqrt[4]{x^1}} = \dfrac{3}{4\sqrt[4]{x}} \end{align*}

y=\sqrt[8]{x}

【解答】

y=\sqrt[8]{x^{1}} = x^{\frac18}

であるから

\def\vs{\frac{1}{8}} \begin{align*} y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\vs$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\ \\ &= \vs x^{\vs-\frac88}\\ \\ &= \vs x^{-\frac78}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\ &= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac78}}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\ &= \dfrac{1}{8\sqrt[8]{x^7}} \end{align*}

y=\sqrt[3]{x^2}

【解答】

y=\sqrt[3]{x^{2}} = x^{\frac23}

であるから

\def\vs{\frac{2}{3}} \begin{align*} y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\displaystyle\vs$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\ \\ &= \vs x^{\vs-\frac33}\\ \\ &= \vs x^{-\frac13}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\ &= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac13}}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\ &= \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^1}} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}} \end{align*}

y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}

【解答】

y=\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt[2]{x^1}} = \dfrac{1}{x^{\frac12}} = x^{-\frac12}

であるから

\def\vs{-\frac{1}{2}} \begin{align*} y' &= \left( \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$\vs$}} \right)'\\ \\ &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$\left(\displaystyle\vs\right)$} x^{\scriptsize\colorbox{lightcyan}{$\vs$}-1}\\ \\ &= \vs x^{\vs-\frac22}\\ \\ &= \vs x^{-\frac32}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf マイナス乗は分母へ\\ &= \vs \cdot \dfrac{1}{x^{\frac32}}\\ & 　　　\color{red}\scriptsize\bf 分数乗はルートに戻す\\ &= -\dfrac{1}{2\sqrt[2]{x^3}}\\ \\ &= -\dfrac{1}{2\sqrt{x^2 \cdot x}} = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}} \end{align*}

編集ログ

20210916…初版公開。問題数５。

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