合成関数の微分法・・・〇のn乗の逆数

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の関数を微分せよ。ただし,a,\ b は定数である。

n乗の逆数 ⇔ マイナス乗

\def\index{3}
\large\dfrac{1}{〇^{\colorbox{lightgreen}{$\small\index$}}}  \Longleftrightarrow  〇^{\colorbox{lightgreen}{$\small -\index$}}

右から左,左から右へ,自由に行き来できるようになろう!

基本の微分を思い出す!

シンプルな微分法を真似する✕おまけ

\def\index{3}
\large (\ ◯^{\colorbox{mistyrose}{$\small -\index$}}\ )' = \colorbox{mistyrose}{$-\index$}\ ◯^{\colorbox{mistyrose}{$\small -\index$}-1} \colorbox{lightcyan}{$\times ◯'$}

◯ ⇐ (2x+1)

【解答】

\def\index{3}
\def\indexm{4}
\def\fx{2x+1}
\def\fxd{2}

\begin{align*}
y &= \dfrac{1}{(\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\small\index$}}} = (\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\small -\index$}}\\
\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$-\index$}(\fx)^{\colorbox{mistyrose}{$\footnotesize -\index$}-1} \colorbox{lightcyan}{$\times (\fx)'$}\\
\\
&= -\index(\fx)^{-\indexm} \times\fxd\\
\\
&= -6  (\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\scriptsize -\indexm$}}\\
\\
&= \dfrac{-6}{(\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\scriptsize\indexm$}}}
\end{align*}

n乗の逆数 ⇔ マイナス乗

\def\index{2}
\large\dfrac{1}{〇^{\colorbox{lightgreen}{$\small\index$}}}  \Longleftrightarrow  〇^{\colorbox{lightgreen}{$\small -\index$}}

右から左,左から右へ,自由に行き来できるようになろう!

基本の微分を思い出す!

シンプルな微分法を真似する✕おまけ

\def\index{2}
\large (\ ◯^{\colorbox{mistyrose}{$\small -\index$}}\ )' = \colorbox{mistyrose}{$-\index$}\ ◯^{\colorbox{mistyrose}{$\small -\index$}-1} \colorbox{lightcyan}{$\times ◯'$}

◯ ⇐ (2x^2+3)

【解答】

\def\index{2}
\def\indexm{3}
\def\fx{2x^2+3}
\def\fxd{4x}

\begin{align*}
y &= \dfrac{1}{(\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\small\index$}}} = (\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\small -\index$}}\\
\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$-\index$}(\fx)^{\colorbox{mistyrose}{$\footnotesize -\index$}-1} \colorbox{lightcyan}{$\times (\fx)'$}\\
\\
&= -\index(\fx)^{-\indexm} \times\fxd\\
\\
&= -8x  (\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\scriptsize -\indexm$}}\\
\\
&= \dfrac{-8x}{(\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\scriptsize\indexm$}}}
\end{align*}

n乗の逆数 ⇔ マイナス乗

\def\index{3}
\large\dfrac{1}{〇^{\colorbox{lightgreen}{$\small\index$}}}  \Longleftrightarrow  〇^{\colorbox{lightgreen}{$\small -\index$}}

右から左,左から右へ,自由に行き来できるようになろう!

基本の微分を思い出す!

シンプルな微分法を真似する✕おまけ

\def\index{3}
\large (\ ◯^{\colorbox{mistyrose}{$\small -\index$}}\ )' = \colorbox{mistyrose}{$-\index$}\ ◯^{\colorbox{mistyrose}{$\small -\index$}-1} \colorbox{lightcyan}{$\times ◯'$}

◯ ⇐ (ax+b)

【解答】

\def\index{3}
\def\indexm{4}
\def\fx{ax+b}
\def\fxd{a}

\begin{align*}
y &= \dfrac{1}{(\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\small\index$}}} = (\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\small -\index$}}\\
\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$-\index$}(\fx)^{\colorbox{mistyrose}{$\footnotesize -\index$}-1} \colorbox{lightcyan}{$\times (\fx)'$}\\
\\
&= -\index(\fx)^{-\indexm} \times\fxd\\
\\
&= -3a  (\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\scriptsize -\indexm$}}\\
\\
&= \dfrac{-3a}{(\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\scriptsize\indexm$}}}
\end{align*}

n乗の逆数 ⇔ マイナス乗

\def\index{3}
\large\dfrac{1}{〇^{\colorbox{lightgreen}{$\small\index$}}}  \Longleftrightarrow  〇^{\colorbox{lightgreen}{$\small -\index$}}

右から左,左から右へ,自由に行き来できるようになろう!

基本の微分を思い出す!

シンプルな微分法を真似する✕おまけ

\def\index{3}
\large (\ ◯^{\colorbox{mistyrose}{$\small -\index$}}\ )' = \colorbox{mistyrose}{$-\index$}\ ◯^{\colorbox{mistyrose}{$\small -\index$}-1} \colorbox{lightcyan}{$\times ◯'$}

◯ ⇐ (x^2+1)

【解答】

\def\index{3}
\def\indexm{4}
\def\fx{x^2+1}
\def\fxd{2x}

\begin{align*}
y &= \dfrac{1}{(\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\small\index$}}} = (\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\small -\index$}}\\
\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$-\index$}(\fx)^{\colorbox{mistyrose}{$\footnotesize -\index$}-1} \colorbox{lightcyan}{$\times (\fx)'$}\\
\\
&= -\index(\fx)^{-\indexm} \times\fxd\\
\\
&= -6x  (\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\scriptsize -\indexm$}}\\
\\
&= \dfrac{-6x}{(\fx)^{\colorbox{lightgreen}{$\scriptsize\indexm$}}}
\end{align*}
  • 20210925…初版公開。問題数4。テスト前にコンテンツだけ作成。解説をつくる>私

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