x の n 乗の導関数＋積の微分

SHARE

btakeshi
btakeshi

数学２でも学習した基本の微分です。それに加えて 積の微分 の公式が新登場です。展開してから微分すればいいだけですが、公式を使うと計算量が減るためミスも防げます。どちらの方法でも解けるように練習しましょう。

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

関数 f(x)，g(x) がともに微分可能であるとき

  1. \left\{k f(x)\right\}' = k f'(x)　　ただし，k は定数
  2. \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x) + g'(x)
  3. \left\{ f(x)-g(x) \right\}' = f'(x) - g'(x)
  4. \left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
n が自然数のとき

\left( \colorbox{mistyrose}{$a$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize $n$}} \right)' = \colorbox{mistyrose}{$a$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$n$} x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize $n$}-1}

\begin{align*}
(\colorbox{mistyrose}{$2$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$5$}})' &= \colorbox{mistyrose}{$2$}\cdot\colorbox{lightcyan}{$5$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$5$}-1} = 10x^4\\\\
(-\colorbox{mistyrose}{$5$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$4$}})' &= -\colorbox{mistyrose}{$5$}\cdot\colorbox{lightcyan}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$4$}-1} = -20x^3\\\\
(x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$3$}})' &= \left(\colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$3$}}\right)' = \colorbox{mistyrose}{$1$}\cdot\colorbox{lightcyan}{$3$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$3$}-1} = 3x^2
\end{align*}
n=1 とき，\left(ax^1\right)' = a \cdot 1 x^{1-1} = ax^0 = a \cdot 1 = a より

\left( \colorbox{mistyrose}{$a$}x\right)' = \colorbox{mistyrose}{$a$}

x を消すだけ！

\begin{align*}
\left( \colorbox{mistyrose}{$3$}x \right)' &= \colorbox{mistyrose}{$3$}\\\\
\left( -\colorbox{mistyrose}{$4$}x \right)' &= -\colorbox{mistyrose}{$4$}\\\\
\end{align*}
n=0 のとき，ax^0 = a つまり 定数項

\left( \colorbox{mistyrose}{$a$}\right)' = \colorbox{mistyrose}{$0$}

定数項を微分すると０になる！

\begin{align*}
\left( \colorbox{mistyrose}{$4$} \right)' &= \colorbox{mistyrose}{$0$}\\\\
\left( -\colorbox{mistyrose}{$5$} \right)' &= \colorbox{mistyrose}{$0$}\\\\
\end{align*}
n が整数のときにも成り立つ！

\left( \colorbox{mistyrose}{$a$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize $n$}} \right)' = \colorbox{mistyrose}{$a$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$n$} x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize $n$}-1}

\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{x^2}\right)' = (\colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$-2$}})' &= \colorbox{mistyrose}{$1$}\cdot\colorbox{lightcyan}{$(-2)$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$-2$}-1} = -2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}
\end{align*}

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の関数を微分せよ。

【解答】

\begin{align*}
y &= \colorbox{mistyrose}{$2$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 5$}}-\colorbox{mistyrose}{$5$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}\\\\
y'&= \colorbox{mistyrose}{$2$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$5$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize5$}-1} -\colorbox{mistyrose}{$5$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize4$}-1}\\
&= 10x^4-20x^3
\end{align*}

【解答】積の微分を使う！

\begin{align*}
\color{orange}y & \color{orange}= (x^2-3)(4x^2+5)\\
& 　　　　　\textcolor{red}{\scriptsize\ \Downarrow　式を２回かいて足す　\Downarrow}\\
y' &= \colorbox{lavender}{$(x^2-3)'$}(4x^2+5) + (x^2-3)\colorbox{lavender}{$(4x^2+5)'$}\\
& 　　　\textcolor{red}{\scriptsize\ \Uparrow　先頭と最後の式に微分マーク！　\Uparrow}\\
&= \colorbox{lavender}{$2x$}(4x^2+5)+(x^2-3) \cdot \colorbox{lavender}{$8x$}\\
&= 8x^3+10x+8x^3-24x\\
&= 16x^3-14x
\end{align*}

【別解】展開してから微分する

\begin{align*}
y &= (x^2-3)(4x^2+5)\\
&= x^2(4x^2+5)-3(4x^2+5)\\
&= 4x^4+5x^2-12x^2-15\\
&= 4x^4-7x^2-15
\end{align*}
\begin{align*}
y &= \colorbox{mistyrose}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}-\colorbox{mistyrose}{$7$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}}-15\\\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$4$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}-1} -\colorbox{mistyrose}{$7$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$2$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}-1} \color{orange}-0\\
&= 16x^3-14x
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
y &= \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 5$}}+\colorbox{mistyrose}{$2$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}\\\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$5$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize5$}-1} +\colorbox{mistyrose}{$2$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize4$}-1}\\
&= 5x^4+8x^3
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
y &= \colorbox{mistyrose}{$3$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 6$}}-\colorbox{mistyrose}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}}\\\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$3$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$6$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 6$}-1} -\colorbox{mistyrose}{$4$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$3$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}-1}\\
&= 18x^5-12x^2
\end{align*}

【解答】積の微分を使う！

\begin{align*}
\color{orange}y & \color{orange}= (x+1)(x^3-4x)\\
& 　　　　　\textcolor{red}{\scriptsize\ \Downarrow　式を２回かいて足す　\Downarrow}\\
y' &= \colorbox{lavender}{$(x+1)'$}(x^3-4x) + (x+1)\colorbox{lavender}{$(x^3-4x)'$}\\
& 　　　\textcolor{red}{\scriptsize\ \Uparrow　先頭と最後の式に微分マーク！　\Uparrow}\\
&= \colorbox{lavender}{$1$}(x^3-4x)+(x+1) \cdot \colorbox{lavender}{$(3x^2-4)$}\\
&= x^3-4x+3x^3-4x+3x^2-4\\
&= 4x^3+3x^2-8x-4
\end{align*}

【別解】展開してから微分する

\begin{align*}
y &= (x+1)(x^3-4x)\\
&= x(x^3-4x)+1(x^3-4x)\\
&= x^4-4x^2+x^3-4x\\
&= x^4+x^3-4x^2-4x
\end{align*}
\begin{align*}
y &= \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}+\colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}}-\colorbox{mistyrose}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}}-\colorbox{mistyrose}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 1$}}\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}-1} +\colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$3$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}-1}-\colorbox{mistyrose}{$4$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$2$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}-1}-4\\
&= 4x^3+3x^2-8x-4
\end{align*}

【解答】積の微分を使う！

\begin{align*}
\color{orange}y & \color{orange}= (3x^2-2)(x^2+x+1)\\
& 　　　　　\textcolor{red}{\scriptsize\ \Downarrow　式を２回かいて足す　\Downarrow}\\
y' &= \colorbox{lavender}{$(3x^2-2)'$}(x^2+x+1) + (3x^2-2)\colorbox{lavender}{$(x^2+x+1)'$}\\
& 　　　\textcolor{red}{\scriptsize\ \Uparrow　先頭と最後の式に微分マーク！　\Uparrow}\\
&= \colorbox{lavender}{$6x$}(x^2+x+1)+(3x^2-2) \cdot \colorbox{lavender}{$(2x+1)$}\\
&= 6x^3+6x^2+6x+6x^3+3x^2-4x-2\\
&= 12x^3+9x^2+2x-2
\end{align*}

【別解】展開してから微分する

\begin{align*}
y &= (3x^2-2)(x^2+x+1)\\
&= 3x^2(x^2+x+1)-2(x^2+x+1)\\
&= 3x^4+3x^3+3x^2-2x^2-2x-2\\
&= 3x^4+3x^3+x^2-2x-2
\end{align*}
\begin{align*}
y &= \colorbox{mistyrose}{$3$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}+\colorbox{mistyrose}{$3$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}}+\colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}}-\colorbox{mistyrose}{$2$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 1$}}-2\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$3$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}-1} +\colorbox{mistyrose}{$3$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$3$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}-1}+\colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$2$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}-1}-2\color{orange}-0\\
&= 12x^3+9x^2+2x-2
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
y &= \dfrac{1}{x} = \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -1$}}\\
\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$(-1)$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -1$}-1}\\
\\
&= -1x^{-2}\\\\
&= -\dfrac{1}{x^2}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
y &= \dfrac{1}{x^3} = \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -3$}}\\
\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$(-3)$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -3$}-1}\\
\\
&= -3x^{-4}\\\\
&= -\dfrac{3}{x^4}
\end{align*}

【解答】

\begin{align*}
y &= -\dfrac{4}{x^2} = \colorbox{mistyrose}{$-4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -2$}}\\
\\
y' &= \colorbox{mistyrose}{$-4$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$(-2)$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -2$}-1}\\
\\
&= 8x^{-3}\\\\
&= \dfrac{8}{x^3}
\end{align*}

◀◀◀前のコンテンツ

定義に従って導関数を求める

次のコンテンツ▶▶▶

商の導関数
  • 20210912…初版公開。問題数６。導関数の公式、証明を入れる＞私
  • 20210913…n が整数のときを加えた。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 ※ が付いている欄は必須項目です

前の記事

定義に従って導関数を求める

次の記事

商の導関数