
btakeshi
数学2でも学習した基本の微分です。それに加えて 積の微分 の公式が新登場です。展開してから微分すればいいだけですが、公式を使うと計算量が減るためミスも防げます。どちらの方法でも解けるように練習しましょう。
気になるところをタップして確認しましょう。
関数 f(x),g(x) がともに微分可能であるとき
- \left\{k f(x)\right\}' = k f'(x) ただし,k は定数
- \left\{ f(x)+g(x) \right\}' = f'(x) + g'(x)
- \left\{ f(x)-g(x) \right\}' = f'(x) - g'(x)
- \left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
n が自然数のとき
\left( \colorbox{mistyrose}{$a$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize $n$}} \right)' = \colorbox{mistyrose}{$a$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$n$} x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize $n$}-1}
\begin{align*} (\colorbox{mistyrose}{$2$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$5$}})' &= \colorbox{mistyrose}{$2$}\cdot\colorbox{lightcyan}{$5$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$5$}-1} = 10x^4\\\\ (-\colorbox{mistyrose}{$5$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$4$}})' &= -\colorbox{mistyrose}{$5$}\cdot\colorbox{lightcyan}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$4$}-1} = -20x^3\\\\ (x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$3$}})' &= \left(\colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$3$}}\right)' = \colorbox{mistyrose}{$1$}\cdot\colorbox{lightcyan}{$3$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$3$}-1} = 3x^2 \end{align*}
n=1 とき,\left(ax^1\right)' = a \cdot 1 x^{1-1} = ax^0 = a \cdot 1 = a より
\left( \colorbox{mistyrose}{$a$}x\right)' = \colorbox{mistyrose}{$a$}
x を消すだけ!
\begin{align*} \left( \colorbox{mistyrose}{$3$}x \right)' &= \colorbox{mistyrose}{$3$}\\\\ \left( -\colorbox{mistyrose}{$4$}x \right)' &= -\colorbox{mistyrose}{$4$}\\\\ \end{align*}
n=0 のとき,ax^0 = a つまり 定数項
\left( \colorbox{mistyrose}{$a$}\right)' = \colorbox{mistyrose}{$0$}
定数項を微分すると0になる!
\begin{align*} \left( \colorbox{mistyrose}{$4$} \right)' &= \colorbox{mistyrose}{$0$}\\\\ \left( -\colorbox{mistyrose}{$5$} \right)' &= \colorbox{mistyrose}{$0$}\\\\ \end{align*}
n が整数のときにも成り立つ!
\left( \colorbox{mistyrose}{$a$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize $n$}} \right)' = \colorbox{mistyrose}{$a$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$n$} x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize $n$}-1}
\begin{align*} \left(\dfrac{1}{x^2}\right)' = (\colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$-2$}})' &= \colorbox{mistyrose}{$1$}\cdot\colorbox{lightcyan}{$(-2)$}x^{\colorbox{lightcyan}{\scriptsize$-2$}-1} = -2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3} \end{align*}
何度も解いて体で覚えましょう!
次の関数を微分せよ。
【解答】
\begin{align*} y &= \colorbox{mistyrose}{$2$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 5$}}-\colorbox{mistyrose}{$5$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}\\\\ y'&= \colorbox{mistyrose}{$2$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$5$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize5$}-1} -\colorbox{mistyrose}{$5$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize4$}-1}\\ &= 10x^4-20x^3 \end{align*}
【解答】積の微分を使う!
\begin{align*} \color{orange}y & \color{orange}= (x^2-3)(4x^2+5)\\ & \textcolor{red}{\scriptsize\ \Downarrow 式を2回かいて足す \Downarrow}\\ y' &= \colorbox{lavender}{$(x^2-3)'$}(4x^2+5) + (x^2-3)\colorbox{lavender}{$(4x^2+5)'$}\\ & \textcolor{red}{\scriptsize\ \Uparrow 先頭と最後の式に微分マーク! \Uparrow}\\ &= \colorbox{lavender}{$2x$}(4x^2+5)+(x^2-3) \cdot \colorbox{lavender}{$8x$}\\ &= 8x^3+10x+8x^3-24x\\ &= 16x^3-14x \end{align*}
【別解】展開してから微分する
\begin{align*} y &= (x^2-3)(4x^2+5)\\ &= x^2(4x^2+5)-3(4x^2+5)\\ &= 4x^4+5x^2-12x^2-15\\ &= 4x^4-7x^2-15 \end{align*}
\begin{align*} y &= \colorbox{mistyrose}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}-\colorbox{mistyrose}{$7$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}}-15\\\\ y' &= \colorbox{mistyrose}{$4$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}-1} -\colorbox{mistyrose}{$7$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$2$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}-1} \color{orange}-0\\ &= 16x^3-14x \end{align*}
【解答】
\begin{align*} y &= \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 5$}}+\colorbox{mistyrose}{$2$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}\\\\ y' &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$5$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize5$}-1} +\colorbox{mistyrose}{$2$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize4$}-1}\\ &= 5x^4+8x^3 \end{align*}
【解答】
\begin{align*} y &= \colorbox{mistyrose}{$3$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 6$}}-\colorbox{mistyrose}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}}\\\\ y' &= \colorbox{mistyrose}{$3$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$6$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 6$}-1} -\colorbox{mistyrose}{$4$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$3$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}-1}\\ &= 18x^5-12x^2 \end{align*}
【解答】積の微分を使う!
\begin{align*} \color{orange}y & \color{orange}= (x+1)(x^3-4x)\\ & \textcolor{red}{\scriptsize\ \Downarrow 式を2回かいて足す \Downarrow}\\ y' &= \colorbox{lavender}{$(x+1)'$}(x^3-4x) + (x+1)\colorbox{lavender}{$(x^3-4x)'$}\\ & \textcolor{red}{\scriptsize\ \Uparrow 先頭と最後の式に微分マーク! \Uparrow}\\ &= \colorbox{lavender}{$1$}(x^3-4x)+(x+1) \cdot \colorbox{lavender}{$(3x^2-4)$}\\ &= x^3-4x+3x^3-4x+3x^2-4\\ &= 4x^3+3x^2-8x-4 \end{align*}
【別解】展開してから微分する
\begin{align*} y &= (x+1)(x^3-4x)\\ &= x(x^3-4x)+1(x^3-4x)\\ &= x^4-4x^2+x^3-4x\\ &= x^4+x^3-4x^2-4x \end{align*}
\begin{align*} y &= \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}+\colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}}-\colorbox{mistyrose}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}}-\colorbox{mistyrose}{$4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 1$}}\\ y' &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}-1} +\colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$3$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}-1}-\colorbox{mistyrose}{$4$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$2$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}-1}-4\\ &= 4x^3+3x^2-8x-4 \end{align*}
【解答】積の微分を使う!
\begin{align*} \color{orange}y & \color{orange}= (3x^2-2)(x^2+x+1)\\ & \textcolor{red}{\scriptsize\ \Downarrow 式を2回かいて足す \Downarrow}\\ y' &= \colorbox{lavender}{$(3x^2-2)'$}(x^2+x+1) + (3x^2-2)\colorbox{lavender}{$(x^2+x+1)'$}\\ & \textcolor{red}{\scriptsize\ \Uparrow 先頭と最後の式に微分マーク! \Uparrow}\\ &= \colorbox{lavender}{$6x$}(x^2+x+1)+(3x^2-2) \cdot \colorbox{lavender}{$(2x+1)$}\\ &= 6x^3+6x^2+6x+6x^3+3x^2-4x-2\\ &= 12x^3+9x^2+2x-2 \end{align*}
【別解】展開してから微分する
\begin{align*} y &= (3x^2-2)(x^2+x+1)\\ &= 3x^2(x^2+x+1)-2(x^2+x+1)\\ &= 3x^4+3x^3+3x^2-2x^2-2x-2\\ &= 3x^4+3x^3+x^2-2x-2 \end{align*}
\begin{align*} y &= \colorbox{mistyrose}{$3$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}}+\colorbox{mistyrose}{$3$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}}+\colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}}-\colorbox{mistyrose}{$2$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 1$}}-2\\ y' &= \colorbox{mistyrose}{$3$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$4$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 4$}-1} +\colorbox{mistyrose}{$3$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$3$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 3$}-1}+\colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$2$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize 2$}-1}-2\color{orange}-0\\ &= 12x^3+9x^2+2x-2 \end{align*}
【解答】
\begin{align*} y &= \dfrac{1}{x} = \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -1$}}\\ \\ y' &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$(-1)$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -1$}-1}\\ \\ &= -1x^{-2}\\\\ &= -\dfrac{1}{x^2} \end{align*}
【解答】
\begin{align*} y &= \dfrac{1}{x^3} = \colorbox{mistyrose}{$1$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -3$}}\\ \\ y' &= \colorbox{mistyrose}{$1$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$(-3)$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -3$}-1}\\ \\ &= -3x^{-4}\\\\ &= -\dfrac{3}{x^4} \end{align*}
【解答】
\begin{align*} y &= -\dfrac{4}{x^2} = \colorbox{mistyrose}{$-4$}x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -2$}}\\ \\ y' &= \colorbox{mistyrose}{$-4$} \cdot \colorbox{lightcyan}{$(-2)$} x^{\colorbox{lightcyan}{$\scriptsize -2$}-1}\\ \\ &= 8x^{-3}\\\\ &= \dfrac{8}{x^3} \end{align*}
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