定義に従って導関数を求める

btakeshi
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導関数を求める公式はたくさんあります。公式を知らない,公式がない,公式を忘れた,初めて導関数を求める、そんなときは定義に従って導関数を求めることになります。ちょっと大変ですが,困った😭時は役に立つ計算です。基本を身につけておきましょう。

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

関数 f(x) が,ある区間のすべての x の値で微分可能であるとき,f(x) はその 区間で微分可能 であるという。

関数 f(x) が,ある区間で微分可能であるとき,その区間の各値 a に対して微分係数 f'(a) を対応させると,1つの新しい関数が得られる。この関数を,f(x) 導関数 といい,記号 f'(x) で表す。

f'(x) =\lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

関数 y=f(x) の導関数を表す記号がいくつかあります。どの記号も x の関数 y=f(x) の導関数を表します。

y'  \dfrac{dy}{dx}  \dfrac{d}{dx}f(x)

関数 f(x) について,極限値 \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} が存在するとき,f(x)x=a 微分可能 であるという。

「微分可能」であるかはグラフを見れば一目瞭然です。「微分可能」であれば,グラフは「折れていません」グラフが「折れている」点は「微分可能」ではありません。では,グラフが書けない場合はどうすればいいのでしょうか。それは上の定義に従って調べることになります。頑張って♪

極限値 \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} を関数 f(x)x=a における 微分係数 といい,f'(a) で表す。

f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
f'(a) の式で \colorbox{mistyrose}{$a+h=x$} とおくと \colorbox{lightgreen}{$h=x-a$} です。このとき,左辺 \colorbox{lightcyan}{$h \rightarrow 0$} とすると,右辺も x-a \rightarrow 0 すなわち \colorbox{lightcyan}{$x \rightarrow a$} となります。よって,微分係数の式を変形すると

\begin{align*}
f'(a) &= \lim_{\colorbox{lightcyan}{$\footnotesize h \rightarrow 0$}}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$a+h$})-f(a)}{\colorbox{lightgreen}{$h$}}\\
& \Downarrow\\
f'(a) &= \lim_{\colorbox{lightcyan}{$\footnotesize x \rightarrow a$}}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$x$})-f(a)}{\colorbox{lightgreen}{$x-a$}}\\
\end{align*}

こちらの式は「微分可能と連続」の関係を証明する際などに使います。

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の関数の導関数を,定義に従って求めよ。

代入に気をつけて!

f(\textcolor{red}{x}) = \dfrac{1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}}より,f(\textcolor{red}{x+h}) = \dfrac{1}{\colorbox{mistyrose}{$x+h$}}

【解答】

\begin{align*}
f'(x)
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{f(x+h)-f(x)\right\}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}\right\}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{1 \cdot x-1\cdot(x+h)}{(x+h)x}\right\}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h} \times \dfrac{x-x-h}{(x+h)x}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-h}{h(x+h)x}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-1}{(x+h)x}\\\\
&\textcolor{orange}{= \dfrac{-1}{(x+0)x}} = -\dfrac{1}{x^2}\\\\
\end{align*}

代入に気をつけて!

f(\textcolor{red}{x}) = \dfrac{1}{2\colorbox{mistyrose}{$x$}}より,f(\textcolor{red}{x+h}) = \dfrac{1}{2\colorbox{mistyrose}{$(x+h)$}}

【解答】

\begin{align*}
f'(x)
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{f(x+h)-f(x)\right\}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{1}{2(x+h)}-\dfrac{1}{2x}\right\}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{1 \cdot 2x-1\cdot 2(x+h)}{4(x+h)x}\right\}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h} \times \dfrac{2x-2x-2h}{4(x+h)x}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-2h}{4h(x+h)x}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-1}{2(x+h)x}\\\\
&\textcolor{orange}{= \dfrac{-1}{2(x+0)x}} = -\dfrac{1}{2x^2}\\\\
\end{align*}

代入に気をつけて!

f(\textcolor{red}{x}) = \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}}より,f(\textcolor{red}{x+h}) = \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$(x+h)$}}

【解答】

\begin{align*}
f'(x)
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \color{orange} {\footnotesize\Leftarrow\dfrac{0}{0}+\sqrt{ルート}}\\
&           \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化!?}}\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\\\
&\textcolor{orange}{= \dfrac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\


\end{align*}

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  • 20210911…初版公開。問題数3。けっこう気合を入れてまとめました。次は問題数を増やす>私

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