定義に従って導関数を求める

btakeshi

導関数を求める公式はたくさんあります。公式を知らない，公式がない，公式を忘れた，初めて導関数を求める、そんなときは定義に従って導関数を求めることになります。ちょっと大変ですが，困った😭時は役に立つ計算です。基本を身につけておきましょう。

ポイントを確認！

気になるところをタップして確認しましょう。

【定義３】区間で微分可能

関数 $f(x)$ が，ある区間のすべての $x$ の値で微分可能であるとき， $f(x)$ はその 区間で微分可能 であるという。

【定義３】

f(x)

の導関数

関数 $f(x)$ が，ある区間で微分可能であるとき，その区間の各値 $a$ に対して微分係数 $f'(a)$ を対応させると，１つの新しい関数が得られる。この関数を， $f(x)$ の 導関数 といい，記号 $f'(x)$ で表す。

f'(x) =\lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

関数 $y=f(x)$ の導関数を表す記号がいくつかあります。どの記号も $x$ の関数 $y=f(x)$ の導関数を表します。

y'　　\dfrac{dy}{dx}　　\dfrac{d}{dx}f(x)

【定義３】微分可能と微分係数

関数 $f(x)$ について，極限値 $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で 微分可能 であるという。

「微分可能」であるかはグラフを見れば一目瞭然です。「微分可能」であれば，グラフは「折れていません」。グラフが「折れている」点は「微分可能」ではありません。では，グラフが書けない場合はどうすればいいのでしょうか。それは上の定義に従って調べることになります。頑張って♪

極限値 $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ を関数 $f(x)$ の $x=a$ における 微分係数 といい， $f'(a)$ で表す。

f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

f'(a)

の式で

\colorbox{mistyrose}{$a+h=x$}

とおくと

\colorbox{lightgreen}{$h=x-a$}

です。このとき，左辺

\colorbox{lightcyan}{$h \rightarrow 0$}

とすると，右辺も

x-a \rightarrow 0

すなわち

\colorbox{lightcyan}{$x \rightarrow a$}

となります。よって，微分係数の式を変形すると

\begin{align*} f'(a) &= \lim_{\colorbox{lightcyan}{$\footnotesize h \rightarrow 0$}}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$a+h$})-f(a)}{\colorbox{lightgreen}{$h$}}\\ & \Downarrow\\ f'(a) &= \lim_{\colorbox{lightcyan}{$\footnotesize x \rightarrow a$}}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$x$})-f(a)}{\colorbox{lightgreen}{$x-a$}}\\ \end{align*}

こちらの式は「微分可能と連続」の関係を証明する際などに使います。

何度も解いて体で覚えましょう！

次の関数の導関数を，定義に従って求めよ。

f(x)=\dfrac{1}{x}

代入に気をつけて！

f(\textcolor{red}{x}) = \dfrac{1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}}

より，

f(\textcolor{red}{x+h}) = \dfrac{1}{\colorbox{mistyrose}{$x+h$}}

【解答】

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{f(x+h)-f(x)\right\}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}\right\}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{1 \cdot x-1\cdot(x+h)}{(x+h)x}\right\}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h} \times \dfrac{x-x-h}{(x+h)x}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-h}{h(x+h)x}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-1}{(x+h)x}\\\\ &\textcolor{orange}{= \dfrac{-1}{(x+0)x}} = -\dfrac{1}{x^2}\\\\ \end{align*}

f(x)=\dfrac{1}{2x}

代入に気をつけて！

f(\textcolor{red}{x}) = \dfrac{1}{2\colorbox{mistyrose}{$x$}}

より，

f(\textcolor{red}{x+h}) = \dfrac{1}{2\colorbox{mistyrose}{$(x+h)$}}

【解答】

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{f(x+h)-f(x)\right\}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{1}{2(x+h)}-\dfrac{1}{2x}\right\}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{1 \cdot 2x-1\cdot 2(x+h)}{4(x+h)x}\right\}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{h} \times \dfrac{2x-2x-2h}{4(x+h)x}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-2h}{4h(x+h)x}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{-1}{2(x+h)x}\\\\ &\textcolor{orange}{= \dfrac{-1}{2(x+0)x}} = -\dfrac{1}{2x^2}\\\\ \end{align*}

f(x)=\sqrt{x}

代入に気をつけて！

f(\textcolor{red}{x}) = \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}}

より，

f(\textcolor{red}{x+h}) = \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$(x+h)$}}

【解答】

\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \color{orange}　{\footnotesize\Leftarrow\dfrac{0}{0}＋\sqrt{ルート}}\\ & 　　　　　　　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\\\ &\textcolor{orange}{= \dfrac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\ \end{align*}

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