btakeshi
関数 f(x) が x=a で微分可能であれば連続です。でも逆は成り立ちません。すなわち，関数 f(x) が x=a で連続であっても，微分可能であるとは限らないのです。今回は x=a で微分可能でないことを示す問題を見ていきましょう。
何度も解いて体で覚えましょう！
ざっくりと連続か？
- １次関数 y=x は実数全体で連続！
- 連続関数の絶対値は連続！
よって，
関数 f(x)=|x| は x=0 で連続！
【解答】
絶対値の中身が０になる点は要注意！⇒x=0
\begin{align*}
\dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$0+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$0$})}{h}
&= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$0+h$}|-|\colorbox{lightcyan}{$0$}|}{h}\\\\
&= \dfrac{|h|}{h} \cdots ①
\end{align*}右側極限を考えると 0<h であるから，
|h|=h
\lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h|}{h}
= \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h}{h}
= \lim_{h \rightarrow +0}\ 1 = 1左側極限を考えると h<0 であるから，
|h|=-h
\lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h|}{h}
= \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h}{h}
= \lim_{h \rightarrow -0}\ (-1) = -1であるから，
h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。
よって，
関数 f(x)=|x| は x=0 で微分可能でない。
ざっくりと連続か？
- １次関数 y=x-1 は実数全体で連続！
- 連続関数の絶対値は連続！
よって，
関数 f(x)=|x-1| は x=1 で連続！
【解答】
絶対値の中身が０になる点は要注意！⇒x=1
\begin{align*}
& \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$1+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$1$})}{h}\\\\
&= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$(1+h)$}-1|-|\colorbox{lightcyan}{$1$}-1|}{h}\\\\
&= \dfrac{|h|}{h} \cdots ①
\end{align*}右側極限を考えると 0<h であるから，
|h|=h
\lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h|}{h}
= \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h}{h}
= \lim_{h \rightarrow +0}\ 1 = 1左側極限を考えると h<0 であるから，
|h|=-h
\lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h|}{h}
= \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h}{h}
= \lim_{h \rightarrow -0}\ (-1) = -1であるから，
h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。
よって，
関数 f(x)=|x-1| は x=1 で微分可能でない。
ざっくりと連続か？
- ２次関数 y=x^2-1 は実数全体で連続！
- 連続関数の絶対値は連続！
よって，
関数 f(x)=|x^2-1| は x=1 で連続！
【解答】
絶対値の中身が０になる点は要注意！⇒x=\pm 1
\begin{align*}
& \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$1+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$1$})}{h}\\\\
&= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$(1+h)$}^2-1|-|\colorbox{lightcyan}{$1$}^2-1|}{h}\\\\
&= \dfrac{|1+2h+h^2-1|-|1-1|}{h}\\\\
&= \dfrac{|2h+h^2|}{h}\\\\
&= \dfrac{|h(2+h)|}{h} \cdots ①
\end{align*}右側極限を考えると 0<h であるから，
|h(h+2)|=h(2+h)
\begin{align*}
\lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h(2+h)|}{h}
&= \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h(2+h)}{h}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow +0}\ (2+h) = 2
\end{align*}左側極限を考えると h<0 であるから，
|h(2+h)|=-h(2+h)
\begin{align*}
\lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h(2+h)|}{h}
&= \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h(2+h)}{h}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow -0}\ (-2-h) = -2
\end{align*}であるから，
h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。
よって，
関数 f(x)=|x^2-1| は x=1 で微分可能でない。
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- 20210909…初版公開。問題数３。