
btakeshi
関数 f(x) が x=a で微分可能であれば連続です。でも逆は成り立ちません。すなわち,関数 f(x) が x=a で連続であっても,微分可能であるとは限らないのです。今回は x=a で微分可能でないことを示す問題を見ていきましょう。
何度も解いて体で覚えましょう!
ざっくりと連続か?
- 1次関数 y=x は実数全体で連続!
- 連続関数の絶対値は連続!
よって,
関数 f(x)=|x| は x=0 で連続!
【解答】
絶対値の中身が0になる点は要注意!⇒x=0
\begin{align*} \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$0+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$0$})}{h} &= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$0+h$}|-|\colorbox{lightcyan}{$0$}|}{h}\\\\ &= \dfrac{|h|}{h} \cdots ① \end{align*}
右側極限を考えると 0<h であるから,
|h|=h
\lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h}{h} = \lim_{h \rightarrow +0}\ 1 = 1
左側極限を考えると h<0 であるから,
|h|=-h
\lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h}{h} = \lim_{h \rightarrow -0}\ (-1) = -1
であるから,
h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。
よって,
関数 f(x)=|x| は x=0 で微分可能でない。
ざっくりと連続か?
- 1次関数 y=x-1 は実数全体で連続!
- 連続関数の絶対値は連続!
よって,
関数 f(x)=|x-1| は x=1 で連続!
【解答】
絶対値の中身が0になる点は要注意!⇒x=1
\begin{align*} & \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$1+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$1$})}{h}\\\\ &= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$(1+h)$}-1|-|\colorbox{lightcyan}{$1$}-1|}{h}\\\\ &= \dfrac{|h|}{h} \cdots ① \end{align*}
右側極限を考えると 0<h であるから,
|h|=h
\lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h}{h} = \lim_{h \rightarrow +0}\ 1 = 1
左側極限を考えると h<0 であるから,
|h|=-h
\lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h}{h} = \lim_{h \rightarrow -0}\ (-1) = -1
であるから,
h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。
よって,
関数 f(x)=|x-1| は x=1 で微分可能でない。
ざっくりと連続か?
- 2次関数 y=x^2-1 は実数全体で連続!
- 連続関数の絶対値は連続!
よって,
関数 f(x)=|x^2-1| は x=1 で連続!
【解答】
絶対値の中身が0になる点は要注意!⇒x=\pm 1
\begin{align*} & \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$1+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$1$})}{h}\\\\ &= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$(1+h)$}^2-1|-|\colorbox{lightcyan}{$1$}^2-1|}{h}\\\\ &= \dfrac{|1+2h+h^2-1|-|1-1|}{h}\\\\ &= \dfrac{|2h+h^2|}{h}\\\\ &= \dfrac{|h(2+h)|}{h} \cdots ① \end{align*}
右側極限を考えると 0<h であるから,
|h(h+2)|=h(2+h)
\begin{align*} \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h(2+h)|}{h} &= \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h(2+h)}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow +0}\ (2+h) = 2 \end{align*}
左側極限を考えると h<0 であるから,
|h(2+h)|=-h(2+h)
\begin{align*} \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h(2+h)|}{h} &= \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h(2+h)}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow -0}\ (-2-h) = -2 \end{align*}
であるから,
h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。
よって,
関数 f(x)=|x^2-1| は x=1 で微分可能でない。
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- 20210909…初版公開。問題数3。