微分可能でないことを示す

btakeshi
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関数 f(x)x=a微分可能であれば連続です。でも逆は成り立ちません。すなわち,関数 f(x)x=a連続であっても,微分可能であるとは限らないのです。今回は x=a微分可能でないことを示す問題を見ていきましょう。

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

ざっくりと連続か?

  • 1次関数 y=x は実数全体で連続!
  • 連続関数の絶対値は連続!

よって,

 関数 f(x)=|x|x=0連続!

【解答】

絶対値の中身が0になる点は要注意!⇒x=0

\begin{align*}
\dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$0+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$0$})}{h}
&= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$0+h$}|-|\colorbox{lightcyan}{$0$}|}{h}\\\\
&= \dfrac{|h|}{h} \cdots ①
\end{align*}

右側極限を考えると 0<h であるから,

|h|=h

\lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h|}{h}
= \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h}{h}
= \lim_{h \rightarrow +0}\ 1 = 1

左側極限を考えると h<0 であるから,

|h|=-h

\lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h|}{h}
= \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h}{h}
= \lim_{h \rightarrow -0}\ (-1) = -1

であるから,

 h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。

よって,

 関数 f(x)=|x|x=0 で微分可能でない。

ざっくりと連続か?

  • 1次関数 y=x-1 は実数全体で連続!
  • 連続関数の絶対値は連続!

よって,

 関数 f(x)=|x-1|x=1連続!

【解答】

絶対値の中身が0になる点は要注意!⇒x=1

\begin{align*}
& \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$1+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$1$})}{h}\\\\
&= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$(1+h)$}-1|-|\colorbox{lightcyan}{$1$}-1|}{h}\\\\
&= \dfrac{|h|}{h} \cdots ①
\end{align*}

右側極限を考えると 0<h であるから,

|h|=h

\lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h|}{h}
= \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h}{h}
= \lim_{h \rightarrow +0}\ 1 = 1

左側極限を考えると h<0 であるから,

|h|=-h

\lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h|}{h}
= \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h}{h}
= \lim_{h \rightarrow -0}\ (-1) = -1

であるから,

 h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。

よって,

 関数 f(x)=|x-1|x=1 で微分可能でない。

ざっくりと連続か?

  • 2次関数 y=x^2-1 は実数全体で連続!
  • 連続関数の絶対値は連続!

よって,

 関数 f(x)=|x^2-1|x=1連続!

【解答】

絶対値の中身が0になる点は要注意!⇒x=\pm 1

\begin{align*}
& \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$1+h$})-f(\colorbox{lightcyan}{$1$})}{h}\\\\
&= \dfrac{|\colorbox{mistyrose}{$(1+h)$}^2-1|-|\colorbox{lightcyan}{$1$}^2-1|}{h}\\\\
&= \dfrac{|1+2h+h^2-1|-|1-1|}{h}\\\\
&= \dfrac{|2h+h^2|}{h}\\\\
&= \dfrac{|h(2+h)|}{h} \cdots ①
\end{align*}

右側極限を考えると 0<h であるから,
|h(h+2)|=h(2+h)

\begin{align*}
\lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{|h(2+h)|}{h}
&= \lim_{h \rightarrow +0}\ \dfrac{h(2+h)}{h}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow +0}\ (2+h) = 2
\end{align*}

左側極限を考えると h<0 であるから,

|h(2+h)|=-h(2+h)

\begin{align*}
\lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{|h(2+h)|}{h}
&= \lim_{h \rightarrow -0}\ \dfrac{-h(2+h)}{h}\\\\
&= \lim_{h \rightarrow -0}\ (-2-h) = -2
\end{align*}

であるから,

 h \rightarrow 0 のときの①の極限はない。

よって,

 関数 f(x)=|x^2-1|x=1 で微分可能でない。

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  • 20210909…初版公開。問題数3。

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