微分係数を定義に従って求める

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【定義３】微分可能と微分係数

関数 $f(x)$ について，極限値 $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ で 微分可能 であるという。

「微分可能」であるかはグラフを見れば一目瞭然です。「微分可能」であれば，グラフは「折れていません」。グラフが「折れている」点は「微分可能」ではありません。では，グラフが書けない場合はどうすればいいのでしょうか。それは上の定義に従って調べることになります。頑張って♪

極限値 $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ を関数 $f(x)$ の $x=a$ における 微分係数 といい， $f'(a)$ で表す。

f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

f'(a)

の式で

\colorbox{mistyrose}{$a+h=x$}

とおくと

\colorbox{lightgreen}{$h=x-a$}

です。このとき，左辺

\colorbox{lightcyan}{$h \rightarrow 0$}

とすると，右辺も

x-a \rightarrow 0

すなわち

\colorbox{lightcyan}{$x \rightarrow a$}

となります。よって，微分係数の式を変形すると

\begin{align*} f'(a) &= \lim_{\colorbox{lightcyan}{$\footnotesize h \rightarrow 0$}}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$a+h$})-f(a)}{\colorbox{lightgreen}{$h$}}\\ & \Downarrow\\ f'(a) &= \lim_{\colorbox{lightcyan}{$\footnotesize x \rightarrow a$}}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$x$})-f(a)}{\colorbox{lightgreen}{$x-a$}}\\ \end{align*}

こちらの式は「微分可能と連続」の関係を証明する際などに使います。

何度も解いて体で覚えましょう！

f(x)=\sqrt{x}

の

x=3

における微分係数

f'(3)

【解答】

\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$3$}) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$3$}+h)-f(\colorbox{mistyrose}{$3$})}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}\\ & 　　　　　　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(\sqrt{3+h}-\sqrt{3})\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})$}}{h\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})$}}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(3+h)-3}{h(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{h}{h(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\sqrt{3+h}+\sqrt{3}}\\\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{3+0}+\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\\\\ \end{align*}

f(x)=\sqrt{x}

の

x=1

における微分係数

f'(1)

【解答】

\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$1$}) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$1$}+h)-f(\colorbox{mistyrose}{$1$})}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h}\\ & 　　　　　　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(\sqrt{1+h}-\sqrt{1})\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{1+h}+\sqrt{1})$}}{h\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{1+h}+\sqrt{1})$}}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+\sqrt{1})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$h$}}{\colorbox{lightgreen}{$h$}(\sqrt{1+h}+\sqrt{1})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}\\\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1}} = \dfrac{1}{2}\\\\ \end{align*}

f(x)=\sqrt{x}

の

x=2

における微分係数

f'(2)

【解答】

\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$2$}) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$2$}+h)-f(\colorbox{mistyrose}{$2$})}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sqrt{2+h}-\sqrt{2}}{h}\\ & 　　　　　　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(\sqrt{2+h}-\sqrt{2})\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})$}}{h\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})$}}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(2+h)-2}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$h$}}{\colorbox{lightgreen}{$h$}(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}\\\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2+0}+\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\\\ \end{align*}

関数

f(x)=\sqrt{x}

について，曲線

y=f(x)

上の点

(3,\ \sqrt{3})

における接線の傾きを求めよ。

【解答】

求める接線の傾きは $f'(3)$ である。

\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$3$}) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$3$}+h)-f(\colorbox{mistyrose}{$3$})}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}\\ & 　　　　　　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(\sqrt{3+h}-\sqrt{3})\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})$}}{h\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})$}}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(3+h)-3}{h(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$h$}}{\colorbox{lightgreen}{$h$}(\sqrt{3+h}+\sqrt{3})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\sqrt{3+h}+\sqrt{3}}\\\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{3+0}+\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\\\\ \end{align*}

f(x)=\sqrt{x}

の

x=a

における微分係数

f'(a)

【解答】

\begin{align*} f'(\colorbox{mistyrose}{$a$}) &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{f(\colorbox{mistyrose}{$a$}+h)-f(\colorbox{mistyrose}{$a$})}{h}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\\ & 　　　　　　　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})$}}{h\colorbox{lightcyan}{$(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})$}}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$h$}}{\colorbox{lightgreen}{$h$}(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}\\\\ &= \lim_{h \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}\\\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{a+0}+\sqrt{a}} = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}\\\\ \end{align*}

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