中間値の定理で実数解をもつことを示す

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

  • 1次関数 y=x は「実数全体」で連続
  • 指数関数 y=\cos{x} は「実数全体」で連続
  • 連続関数の和・差・積・商は連続

よって,関数 y=x-\cos{x} は「実数全体」で連続です。

f(x)=x-\cos{x} とおくと,f(x) は閉区間 [\,\colorbox{mistyrose}{$0$},\ \colorbox{lightcyan}{$\pi$}\,] で連続である。

また

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(0)$} &= 0-\cos{0} = 0-1 = -1\ \colorbox{lightgreen}{$< 0$}\\
\colorbox{lightcyan}{$f(\pi)$} &= \pi-\cos{\pi} = \pi-(-1) = \pi+1\ \colorbox{lightgreen}{$> 0$}
\end{align*}

であり,\colorbox{mistyrose}{$f(0)$}\colorbox{lightcyan}{$f(\pi)$}符号が異なる

よって,

方程式 f(x)=0

すなわち x-\cos{x}=0 は,

0<x<\pi の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ。

  • 指数関数 y=2^x は「実数全体」で連続
  • 1次関数 y=3x は「実数全体」で連続
  • 連続関数の和・差・積・商は連続

よって,関数 y=2^x-3x は「実数全体」で連続です。

f(x)=2^x-3x とおくと,f(x) は閉区間 [\,\colorbox{mistyrose}{$3$},\ \colorbox{lightcyan}{$4$}\,] で連続である。

また

\begin{align*}
\colorbox{mistyrose}{$f(3)$} &= 2^3-3 \cdot 3 = 8-9 = -1\ \colorbox{lightgreen}{$< 0$}\\
\colorbox{lightcyan}{$f(4)$} &= 2^4-3 \cdot 4 = 16-12 = 4\ \colorbox{lightgreen}{$> 0$}
\end{align*}

であり,\colorbox{mistyrose}{$f(3)$}\colorbox{lightcyan}{$f(4)$}符号が異なる

よって,

方程式 f(x)=0

すなわち 2^x-3x=0 は,

3<x<4 の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ。

  • 20210908…初版公開。問題数2。中間値の定理の公式説明を入れる>私

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