気になるところをタップして確認しましょう。
- n次関数は定義域内（すべての実数）で連続！
- 指数関数は定義域内（すべての実数）で連続！
- 対数関数は定義域内（真数 \geqq 0）で連続！
- 三角関数\sin{x},\ \cos{x}は定義域内（すべての実数）で連続！
- 三角関数 \tan{x} は定義域内（x=\frac{\pi}{2}+n\pi以外）で連続！
- 分数関数は定義域内（分母＝０以外）で連続！
- 無理関数は定義域内（ルート内が正）で連続！端も
何度も解いて体で覚えましょう！
次の関数 f(x) について，与えられた x の値で連続であるか不連続であるかを調べよ。
ガウス記号があるから，具体的な数値を代入しながら右側極限と左側極限を調べる！
x \rightarrow +0 のとき
x>0 だから，例えば x=0.001 とするとf(0.001) = [2 \times 0.001] = [0.002]
f(0.001) = \colorbox{mistyrose}{$0$}x \rightarrow -0 のとき
x<0 だから，例えば x=-0.001 とするとf(-0.001) = [2 \times (-0.001)] = [-0.002]
f(-0.001) = \colorbox{lightcyan}{$-1$}【解答】
右側極限
\displaystyle\lim_{x \rightarrow +0}\ [2x] \textcolor{orange}{= [2(+0)] = [+0]} = \colorbox{mistyrose}{$0$}左側極限
\displaystyle\lim_{x \rightarrow -0}\ [2x] \textcolor{orange}{= [2(-0)] = [-0]} = \colorbox{lightcyan}{$-1$}極限
よって，x \rightarrow 0 のときの f(x) の極限はない。
連続？不連続？
したがって
関数 f(x) = [2x] は x=0 で不連続である。
無理関数は定義域内で連続だが、
今回は定義域の左端だから右側極限を考える！
【解答】
関数 f(x)=\sqrt{x} の定義域は x \geqq 0 である。
右側極限
\displaystyle\lim_{x \rightarrow +0}\ \sqrt{x} \textcolor{orange}{= \sqrt{+0}} = \colorbox{mistyrose}{$0$}左側極限
x \geqq 0 だから左側極限（x<0）はない。
極限
f(0)=\sqrt{0}=\colorbox{mistyrose}{$0$}したがって，\displaystyle\lim_{x \rightarrow +0}\ \sqrt{x} = f(0) が成り立つから，
連続？不連続？
関数 f(x) = \sqrt{x} は x=0 で連続である。
n次関数は定義域内で連続！
【解答】
定義域はすべての実数である。
x=0は定義域内にあるから極限
極限値が存在し，\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ f(x) = f(0) が成り立つから，
連続？不連続？
関数 f(x) = x^2+2x は x=0 で連続である。
分数関数は定義域内（分母＝０以外）で連続，|x|も連続！
連続関数どうしの和・差・積・商も連続関数！
【解答】
定義域は x \neq 1である。
x=-1は定義域内にあるから極限
極限値が存在し，
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow -1} f(x) &= \dfrac{|-1|}{-1} = \dfrac{1}{-1} = \colorbox{mistyrose}{$-1$}\\
f(-1) &= \dfrac{|-1|}{-1} = \dfrac{1}{-1} = \colorbox{mistyrose}{$-1$}
\end{align*}\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1}\ f(x) = f(-1) が成り立つから，
連続？不連続？
関数 f(x) = \dfrac{|x|}{x} は x=-1 で連続である。
- 20210907…初版公開。問題数４。
