関数の連続と不連続を調べる

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

  • n次関数は定義域内(すべての実数)で連続
  • 指数関数は定義域内(すべての実数)で連続
  • 対数関数は定義域内(真数 \geqq 0)で連続
  • 三角関数\sin{x},\ \cos{x}は定義域内(すべての実数)で連続
  • 三角関数 \tan{x} は定義域内(x=\frac{\pi}{2}+n\pi以外)で連続
  • 分数関数は定義域内(分母=0以外)で連続
  • 無理関数は定義域内(ルート内が正)で連続!端も

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の関数 f(x) について,与えられた x の値で連続であるか不連続であるかを調べよ。

ガウス記号があるから,具体的な数値を代入しながら右側極限と左側極限を調べる!

x \rightarrow +0 のとき

x>0 だから,例えば x=0.001 とすると

f(0.001) = [2 \times 0.001] = [0.002]
[0.002]0.002 を超えない最大の整数だから

f(0.001) = \colorbox{mistyrose}{$0$}

x \rightarrow -0 のとき

x<0 だから,例えば x=-0.001 とすると

f(-0.001) = [2 \times (-0.001)] = [-0.002]
[-0.002]-0.002 を超えない最大の整数だから

f(-0.001) = \colorbox{lightcyan}{$-1$}

【解答】

右側極限

\displaystyle\lim_{x \rightarrow +0}\ [2x] \textcolor{orange}{= [2(+0)] = [+0]} = \colorbox{mistyrose}{$0$}

左側極限

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -0}\ [2x] \textcolor{orange}{= [2(-0)] = [-0]} = \colorbox{lightcyan}{$-1$}

極限

よって,x \rightarrow 0 のときの f(x)極限はない

連続?不連続?

したがって

関数 f(x) = [2x]x=0不連続である

無理関数は定義域内で連続だが、

今回は定義域の左端だから右側極限を考える!

【解答】

関数 f(x)=\sqrt{x} の定義域は x \geqq 0 である。

右側極限

\displaystyle\lim_{x \rightarrow +0}\ \sqrt{x} \textcolor{orange}{= \sqrt{+0}} = \colorbox{mistyrose}{$0$}

左側極限

x \geqq 0 だから左側極限(x<0)はない。

極限

f(0)=\sqrt{0}=\colorbox{mistyrose}{$0$}

したがって,\displaystyle\lim_{x \rightarrow +0}\ \sqrt{x} = f(0) が成り立つから,

連続?不連続?

関数 f(x) = \sqrt{x}x=0連続である

n次関数は定義域内で連続!

【解答】

定義域はすべての実数である。

x=0は定義域内にあるから

極限

極限値が存在し,\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ f(x) = f(0) が成り立つから,

連続?不連続?

関数 f(x) = x^2+2xx=0連続である

分数関数は定義域内(分母=0以外)で連続,|x|も連続!

連続関数どうしの和・差・積・商も連続関数!

【解答】

定義域は x \neq 1である。

x=-1は定義域内にあるから

極限

極限値が存在し,

\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow -1} f(x) &= \dfrac{|-1|}{-1} = \dfrac{1}{-1} = \colorbox{mistyrose}{$-1$}\\
f(-1) &= \dfrac{|-1|}{-1} = \dfrac{1}{-1} = \colorbox{mistyrose}{$-1$}
\end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1}\ f(x) = f(-1) が成り立つから,

連続?不連続?

関数 f(x) = \dfrac{|x|}{x}x=-1連続である

  • 20210907…初版公開。問題数4。

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