sin x / x の極限(応用)

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

代入してみると

\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\cos{x}-1}{x} = \dfrac{\cos{0}-1}{0} = \dfrac{1-1}{0} = \colorbox{red}{\color{white}$\dfrac{0}{0}$}

不定形 \dfrac{0}{0}\cos{x} - 1\cos{x} + 1 をかける!

【解答】

\begin{align*}
&  \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に (\cos{x}+1) をかける!}}\\
\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\cos{x}-1}{x}
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{(\cos{x}-1)(\cos{x}+1)}{x(\cos{x}+1)}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\cos^2{x}-1}{x(\cos{x}+1)}\\
&  \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ \sin^2x+\cos^2x=1 より}}\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{-\sin^2{x}}{x(\cos{x}+1)}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \left(-\colorbox{lavender}{$\dfrac{\sin{x}}{x}$} \times \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}+1}\right)\\\\
&= -\colorbox{lavender}{$1$} \times \dfrac{\sin{0}}{\cos{0}+1}\\\\
&= -1 \times \dfrac{0}{1+1} = 0
\end{align*}

代入してみると

\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1-\cos{x}}{x^2} = \dfrac{1-\cos{0}}{0^2} = \dfrac{1-1}{0} = \colorbox{red}{\color{white}$\dfrac{0}{0}$}

不定形 \dfrac{0}{0}1 - \cos{x}1 + \cos{x} をかける!

【解答】

\begin{align*}
&  \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に (1+\cos{x}) をかける!}}\\
\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1-\cos{x}}{x^2}
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{(1-\cos{x})(1+\cos{x})}{x^2(1+\cos{x})}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1-\cos^2{x}}{x^2(1+\cos{x})}\\
&  \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ \sin^2x+\cos^2x=1 より}}\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\sin^2{x}}{x^2(1+\cos{x})}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \left\{\left(\colorbox{lavender}{$\dfrac{\sin{x}}{x}$}\right)^2 \times \dfrac{1}{1+\cos{x}}\right\}\\\\
&= \colorbox{lavender}{$1$}^2 \times \dfrac{1}{1+\cos{0}}\\\\
&= 1 \times \dfrac{1}{1+1} = \dfrac12
\end{align*}

代入してみると

\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}}{1-\cos{x}} = \dfrac{0\sin{0}}{1-\cos{0}} = \dfrac{0 \cdot 0}{1-1} = \colorbox{red}{\color{white}$\dfrac{0}{0}$}

不定形 \dfrac{0}{0}1 - \cos{x}1 + \cos{x} をかける!

【解答】

\begin{align*}
&  \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に (1+\cos{x}) をかける!}}\\
\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}}{1-\cos{x}}
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}(1+\cos{x})}{(1-\cos{x})(1+\cos{x})}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}(1+\cos{x})}{1-\cos^2{x}}\\
&  \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ \sin^2x+\cos^2x=1 より}}\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}(1+\cos{x})}{\sin^2{x}}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \left(\colorbox{lavender}{$\dfrac{x}{\sin{x}}$} \times \dfrac{\sin{x}(1+\cos{x})}{\sin{x}}\right)\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \left\{\colorbox{lavender}{$\dfrac{x}{\sin{x}}$} \times (1+\cos{x})\right\}\\\\
&= \colorbox{lavender}{$1$} \times (1+\cos{0})\\\\
&= 1 \times (1+1) = 2
\end{align*}
  • 20210907…初版公開。問題数3。とりあえず解いただけ。そのうち解説も加える>私

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