sin x / x の極限（応用）

2021年9月7日

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\cos{x}-1}{x}

代入してみると

\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\cos{x}-1}{x} = \dfrac{\cos{0}-1}{0} = \dfrac{1-1}{0} = \colorbox{red}{\color{white}$\dfrac{0}{0}$}

不定形 $\dfrac{0}{0}$ ・ $\cos{x} - 1$ ⇒ $\cos{x} + 1$ をかける！

【解答】

\begin{align*} & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に (\cos{x}+1) をかける！}}\\ \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\cos{x}-1}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{(\cos{x}-1)(\cos{x}+1)}{x(\cos{x}+1)}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\cos^2{x}-1}{x(\cos{x}+1)}\\ & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ \sin^2x+\cos^2x=1 より}}\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{-\sin^2{x}}{x(\cos{x}+1)}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \left(-\colorbox{lavender}{$\dfrac{\sin{x}}{x}$} \times \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}+1}\right)\\\\ &= -\colorbox{lavender}{$1$} \times \dfrac{\sin{0}}{\cos{0}+1}\\\\ &= -1 \times \dfrac{0}{1+1} = 0 \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1-\cos{x}}{x^2}

代入してみると

\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1-\cos{x}}{x^2} = \dfrac{1-\cos{0}}{0^2} = \dfrac{1-1}{0} = \colorbox{red}{\color{white}$\dfrac{0}{0}$}

不定形 $\dfrac{0}{0}$ ・ $1 - \cos{x}$ ⇒ $1 + \cos{x}$ をかける！

【解答】

\begin{align*} & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に (1+\cos{x}) をかける！}}\\ \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1-\cos{x}}{x^2} &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{(1-\cos{x})(1+\cos{x})}{x^2(1+\cos{x})}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1-\cos^2{x}}{x^2(1+\cos{x})}\\ & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ \sin^2x+\cos^2x=1 より}}\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{\sin^2{x}}{x^2(1+\cos{x})}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \left\{\left(\colorbox{lavender}{$\dfrac{\sin{x}}{x}$}\right)^2 \times \dfrac{1}{1+\cos{x}}\right\}\\\\ &= \colorbox{lavender}{$1$}^2 \times \dfrac{1}{1+\cos{0}}\\\\ &= 1 \times \dfrac{1}{1+1} = \dfrac12 \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}}{1-\cos{x}}

代入してみると

\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}}{1-\cos{x}} = \dfrac{0\sin{0}}{1-\cos{0}} = \dfrac{0 \cdot 0}{1-1} = \colorbox{red}{\color{white}$\dfrac{0}{0}$}

不定形 $\dfrac{0}{0}$ ・ $1 - \cos{x}$ ⇒ $1 + \cos{x}$ をかける！

【解答】

\begin{align*} & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母分子に (1+\cos{x}) をかける！}}\\ \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}}{1-\cos{x}} &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}(1+\cos{x})}{(1-\cos{x})(1+\cos{x})}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}(1+\cos{x})}{1-\cos^2{x}}\\ & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ \sin^2x+\cos^2x=1 より}}\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{x\sin{x}(1+\cos{x})}{\sin^2{x}}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \left(\colorbox{lavender}{$\dfrac{x}{\sin{x}}$} \times \dfrac{\sin{x}(1+\cos{x})}{\sin{x}}\right)\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \left\{\colorbox{lavender}{$\dfrac{x}{\sin{x}}$} \times (1+\cos{x})\right\}\\\\ &= \colorbox{lavender}{$1$} \times (1+\cos{0})\\\\ &= 1 \times (1+1) = 2 \end{align*}

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