気になるところをタップして確認しましょう。
はさみうちの原理
\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}\ \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} = \colorbox{lightcyan}{$\alpha$}，\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}\ \colorbox{lightgreen}{$g(x)$} = \colorbox{lavender}{$\beta$} とする。
- x=a の近くで常に f(x) \leqq g(x) ならば
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow a}\ \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} & \leqq \lim_{x \rightarrow a}\ \colorbox{lightgreen}{$g(x)$}\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\alpha$} & \leqq \colorbox{lavender}{$\beta$}
\end{align*}- x=a の近くで常に f(x) \leqq h(x) \leqq g(x)
かつ \alpha = \beta ならば
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow a}\ \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} & \leqq \lim_{x \rightarrow a}\ h(x)\leqq \lim_{x \rightarrow a}\ \colorbox{lightgreen}{$g(x)$}\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\alpha$} & \leqq \lim_{x \rightarrow a}\ h(x) \leqq\colorbox{lightcyan}{$\alpha$}
\end{align*}したがって はさまれた h(x) は
\lim_{x \rightarrow a}\ h(x) = \alphaはさみうちの原理（正の無限大へ）
\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\ \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} = \colorbox{lightcyan}{$\infty$} とする。
- x=\infty の近くで常に f(x) \leqq g(x) ならば
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} & \leqq \lim_{x \rightarrow \infty}\ g(x)\\\\
\colorbox{lightcyan}{$\infty$} & \leqq \lim_{x \rightarrow \infty}\ g(x)
\end{align*}したがって 追い詰められた g(x) は
\lim_{x \rightarrow \infty}\ g(x) = \inftyはさみうちの原理（負の無限大へ）
\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\ \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} = \colorbox{lightcyan}{$-\infty$} とする。
- x=\infty の近くで常に f(x) \geqq g(x) ならば
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} & \geqq \lim_{x \rightarrow \infty}\ g(x)\\\\
\colorbox{lightcyan}{$-\infty$} & \geqq \lim_{x \rightarrow \infty}\ g(x)
\end{align*}したがって 追い詰められた g(x) は
\lim_{x \rightarrow \infty}\ g(x) = -\infty何度も解いて体で覚えましょう！
次の極限を求めよ。
- 常に -1 \leqq \colorbox{mistyrose}{$\sin\dfrac1x$} \leqq 1 が成り立つ！
- |\colorbox{lightcyan}{$x$}| \leqq 1 \iff -1 \leqq \colorbox{mistyrose}{$x$} \leqq 1
２つ合わせると
\left| \colorbox{lightcyan}{$\sin\dfrac1x$} \right| \leqq 1さらに \left|x\sin\dfrac1x\right| \geqq 0 であるから
0 \leqq \left| \sin\dfrac1x \right| \leqq 1
【解答】
0 \leqq \left| \sin\dfrac{1}{x} \right| \leqq 1 より各辺に |x| をかけて\begin{alignat*}{2}
0 \leqq & \ |x|\left|\sin\dfrac{1}{x}\right|\ & \leqq |x|\\
&&& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ |a||b| = |ab|}}\\
0 \leqq & \ \left|x\sin\dfrac{1}{x}\right| & \leqq \colorbox{lightgreen}{$|x|$}\\
\end{alignat*}ここで，\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \colorbox{lightgreen}{$|x|$} = \colorbox{lavender}{$0$} であるから
\begin{alignat*}{2}
\color{orange}0 \leqq & \color{orange}\ \left|x\sin\dfrac{1}{x}\right| & \color{orange}\leqq \colorbox{lavender}{$0$}\\
\end{alignat*}はさみうちの原理により
\lim_{x \rightarrow 0}\ \left| x \sin\dfrac{1}{x} \right| = 0よって
\lim_{x \rightarrow 0}\ x \sin\dfrac{1}{x} = 0【別解】絶対値を使わずに解く
常に -1 \leqq \sin\dfrac1x \leqq 1 \cdots ① が成り立つ。
x \rightarrow 0 のとき，x は正の値と負の値をとるから場合分けをする。(i)\ x>0のとき，①の両辺に x をかけると
\colorbox{lightgreen}{$-x$} \leqq x\sin\dfrac1x \leqq \colorbox{lightgreen}{$x$}\colorbox{lightgreen}{$-x$} \geqq x\sin\dfrac1x \geqq \colorbox{lightgreen}{$x$}(i), (ii) および \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \colorbox{lightgreen}{$x$} = \lim_{x \rightarrow 0}\ (\colorbox{lightgreen}{$-x$}) = \colorbox{lavender}{$0$} であるから
\lim_{x \rightarrow 0}\ x\sin\dfrac1x = \colorbox{lavender}{$0$}
btakeshi
絶対値を使わずに解いてもいいですが、場合分けが発生するため面倒です。絶対値を利用してスマートに解きましょう。
- 常に -1 \leqq \colorbox{mistyrose}{$\cos\dfrac1x$} \leqq 1 が成り立つ！
- |\colorbox{lightcyan}{$x$}| \leqq 1 \iff -1 \leqq \colorbox{mistyrose}{$x$} \leqq 1
２つ合わせると
\left| \colorbox{lightcyan}{$\cos\dfrac1x$} \right| \leqq 1さらに \left|\cos\dfrac1x\right| \geqq 0 であるから
0 \leqq \left| \cos\dfrac1x \right| \leqq 1
【解答】
0 \leqq \left| \cos\dfrac{1}{x} \right| \leqq 1 より各辺に |x| をかけて\begin{alignat*}{2}
0 \leqq & \ |x|\left|\cos\dfrac{1}{x}\right|\ & \leqq |x|\\
&&& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ |a||b| = |ab|}}\\
0 \leqq & \ \left|x\cos\dfrac{1}{x}\right| & \leqq \colorbox{lightgreen}{$|x|$}\\
\end{alignat*}ここで，\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \colorbox{lightgreen}{$|x|$} = \colorbox{lavender}{$0$} であるから
\begin{alignat*}{2}
\color{orange}0 \leqq & \color{orange}\ \left|x\cos\dfrac{1}{x}\right| & \color{orange}\leqq \colorbox{lavender}{$0$}\\
\end{alignat*}はさみうちの原理により
\lim_{x \rightarrow 0}\ \left| x \cos\dfrac{1}{x} \right| = 0よって
\lim_{x \rightarrow 0}\ x \cos\dfrac{1}{x} = 0【別解】絶対値を使わずに解く
常に -1 \leqq \cos\dfrac1x \leqq 1 \cdots ① が成り立つ。
x \rightarrow 0 のとき，x は正の値と負の値をとるから場合分けをする。(i)\ x>0のとき，①の両辺に x をかけると
\colorbox{lightgreen}{$-x$} \leqq x\cos\dfrac1x \leqq \colorbox{lightgreen}{$x$}\colorbox{lightgreen}{$-x$} \geqq x\cos\dfrac1x \geqq \colorbox{lightgreen}{$x$}(i), (ii) および \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \colorbox{lightgreen}{$x$} = \lim_{x \rightarrow 0}\ (\colorbox{lightgreen}{$-x$}) = \colorbox{lavender}{$0$} であるから
\lim_{x \rightarrow 0}\ x\cos\dfrac1x = \colorbox{lavender}{$0$}btakeshi
絶対値を使わずに解いてもいいですが、場合分けが発生するため面倒です。絶対値を利用してスマートに解きましょう。
- 常に -1 \leqq \colorbox{mistyrose}{$\sin{x}$} \leqq 1 が成り立つ！
- |\colorbox{lightcyan}{$x$}| \leqq 1 \iff -1 \leqq \colorbox{mistyrose}{$x$} \leqq 1
２つ合わせると
\left| \colorbox{lightcyan}{$\sin{x}$} \right| \leqq 1さらに \left|\sin{x}\right| \geqq 0 であるから
0 \leqq \left| \sin{x} \right| \leqq 1【解答】
0 \leqq \left| \sin{x} \right| \leqq 1 より各辺を |x| で割って\begin{alignat*}{2}
0 \leqq & \ \dfrac{\left|\sin{x}\right|}{|x|}\ & \leqq \dfrac{1}{|x|}\\
&&& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ \dfrac{|a|}{|b|} = \left|\dfrac{a}{b}\right|}}\\
0 \leqq & \ \left|\frac{\sin{x}}{x}\right| & \leqq \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{|x|}$}\\
\end{alignat*}ここで，\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{|x|}$} = \colorbox{lavender}{$0$} であるから
\begin{alignat*}{2}
\color{orange}0 \leqq & \color{orange}\ \left|\dfrac{\sin{x}}{x}\right| & \color{orange}\leqq \colorbox{lavender}{$0$}\\
\end{alignat*}はさみうちの原理により
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \left| \dfrac{\sin{x}}{x} \right| = 0よって
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \dfrac{\sin{x}}{x} = 0【別解】絶対値を使わずに解く
常に -1 \leqq \sin{x} \leqq 1 \cdots ① が成り立つ。
x \rightarrow \infty のとき，x は正の値をとる。
①の両辺を x で割ると
\colorbox{lightgreen}{$-\dfrac{1}{x}$} \leqq \dfrac{\sin{x}}{x} \leqq \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{x}$}\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\ \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{x}$} = \lim_{x \rightarrow \infty}\ \left(\colorbox{lightgreen}{$-\dfrac{1}{x}$}\right) = \colorbox{lavender}{$0$} であるから
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \dfrac{\sin{x}}{x} = \colorbox{lavender}{$0$}btakeshi
絶対値を使わずに解いてもいいですが、絶対値を利用してスマートに解きましょう。他の問題と同じ用に解けるしね。
- 常に -1 \leqq \colorbox{mistyrose}{$\cos{x}$} \leqq 1 が成り立つ！
- |\colorbox{lightcyan}{$x$}| \leqq 1 \iff -1 \leqq \colorbox{mistyrose}{$x$} \leqq 1
２つ合わせると
\left| \colorbox{lightcyan}{$\cos{x}$} \right| \leqq 1さらに \left|\cos{x}\right| \geqq 0 であるから
0 \leqq \left| \cos{x} \right| \leqq 1【解答】
0 \leqq \left| \cos{x} \right| \leqq 1 より各辺を |x| で割って\begin{alignat*}{2}
0 \leqq & \ \dfrac{\left|\cos{x}\right|}{|x|}\ & \leqq \dfrac{1}{|x|}\\
&&& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ \dfrac{|a|}{|b|} = \left|\dfrac{a}{b}\right|}}\\
0 \leqq & \ \left|\frac{\cos{x}}{x}\right| & \leqq \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{|x|}$}\\
\end{alignat*}ここで，\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{|x|}$} = \colorbox{lavender}{$0$} であるから
\begin{alignat*}{2}
\color{orange}0 \leqq & \color{orange}\ \left|\dfrac{\cos{x}}{x}\right| & \color{orange}\leqq \colorbox{lavender}{$0$}\\
\end{alignat*}はさみうちの原理により
\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \left| \dfrac{\cos{x}}{x} \right| = 0よって
\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \dfrac{\cos{x}}{x} = 0【別解】絶対値を使わずに解く
常に -1 \leqq \cos{x} \leqq 1 \cdots ① が成り立つ。
x \rightarrow -\infty のとき，x は負の値をとる。
①の両辺を x で割ると 不等号の向きが変わる！
\colorbox{lightgreen}{$-\dfrac{1}{x}$} \geqq \dfrac{\cos{x}}{x} \geqq \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{x}$}\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \colorbox{lightgreen}{$\dfrac{1}{x}$} = \lim_{x \rightarrow -\infty}\ (\colorbox{lightgreen}{$-\dfrac{1}{x}$}) = \colorbox{lavender}{$0$} であるから
\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \dfrac{\cos{x}}{x} = \colorbox{lavender}{$0$}btakeshi
絶対値を使わずに解いてもいいですが、絶対値を利用してスマートに解きましょう。他の問題と同じ用に解けるしね。
- 20210905…初版公開。問題数４。言葉だけで「はさみうちの原理」の面白さを伝えるのは難しいと思いました。こういう問題には動画を付ける必要がありそうです。時間ができたら動画を作ってみる＞私
