何度も解いて体で覚えましょう!
次の極限を求めよ。
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -\infty}\ 2^x &\textcolor{orange}{= 2^{-\infty}}\\ &= 0 \end{align*}
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty}\ \left(\dfrac13\right)^x &\textcolor{orange}{= \left(3^{-1}\right)^{\infty}} = 3^{-\infty}\\ &= 0 \end{align*}
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}x &\textcolor{orange}{= \log_{2}\infty}\\ &= \infty \end{align*}
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow +0}\ \log_{0.5}x &\textcolor{orange}{= \log_{0.5}(+0)}\\ &= \infty \end{align*}
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty}\ 2^{-2x} &\textcolor{orange}{= 2^{-2\infty} = 2^{-\infty}}\\ &= 0 \end{align*}
代入してみると
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\dfrac{2x+3}{x} = \log_{2}\dfrac{2\infty+3}{\infty} = \log_{2}\colorbox{red}{$\dfrac{\infty}{\infty}$}
不定形 \dfrac{\infty}{\infty} ⇒ 分母で次数の高い項で割る!
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\dfrac{2x+3}{x} &\textcolor{orange}{= \lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\dfrac{\ \dfrac{2x}{x}+\dfrac{3}{x}\ }{\dfrac{x}{x}}}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{1}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\ \left(2+\dfrac{3}{x}\right)\\\\ &\textcolor{orange}{= \log_{2}\left(2+\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{3}{\infty}$}\right)}\\\\ &\textcolor{orange}{=\log_{2}(2+\colorbox{lightcyan}{$0$})}\\\\ &= \log_{2}2 = 1 \end{align*}
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty}\ 2^{-3x} &\textcolor{orange}{= 2^{-3\infty} = 2^{-\infty}}\\ &= 0 \end{align*}
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -\infty}\ 2^{-2x} &\textcolor{orange}{= 2^{-2(-\infty)} = 2^{\infty}}\\ &= \infty \end{align*}
代入してみると
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\dfrac{4x-1}{x+2} = \log_{2}\dfrac{4\infty-1}{\infty+2} = \log_{2}\colorbox{red}{$\dfrac{\infty}{\infty}$}
不定形 \dfrac{\infty}{\infty} ⇒ 分母で次数の高い項で割る!
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\dfrac{4x-1}{x+2} &\textcolor{orange}{= \lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\dfrac{\ \dfrac{4x}{x}-\dfrac{1}{x}\ }{\dfrac{x}{x}+\dfrac{2}{x}}}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow \infty}\ \log_{2}\dfrac{4-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{2}{x}}\\\\ &\textcolor{orange}{= \log_{2}\dfrac{4-\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{\infty}$}}{1+\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{2}{\infty}$}}}\\\\ &\textcolor{orange}{=\log_{2}\dfrac{4-\colorbox{lightcyan}{$0$}}{1+\colorbox{lightcyan}{$0$}}}\\\\ &= \log_{2}4\\\\ &= \log_{2}{2^2} = 2 \end{align*}
【解答】
\lim_{x \rightarrow 0}\ \sin{x} =\sin{0}=0
【解答】
\lim_{x \rightarrow 0}\ \cos{x} =\cos{0}=1
【解答】
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \sin\dfrac{1}{x} \color{orange}=\sin\dfrac{1}{\infty}\color{black}=\sin{0}=0
【解答】
\lim_{x \rightarrow \infty}\ \cos\dfrac{1}{x} \color{orange}=\cos\dfrac{1}{\infty}\color{black}=\cos{0}=1
【解答】
\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \sin\dfrac{1}{x} \color{orange}=\sin\dfrac{1}{-\infty}\color{black}=\sin{0}=0
【解答】
\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \cos\dfrac{1}{x} \color{orange}=\cos\dfrac{1}{-\infty}\color{black}=\cos{0}=1
【解答】
\lim_{x \rightarrow \pi}\ \tan{x} \color{black}=\tan{\pi}=0
- 20210927…初版公開。あまりにやっつけ仕事なので、あとで見返す>私。