関数の極限②分母が無限・無限－無限

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の極限を求めよ。

\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\ \dfrac{1}{x^2}

\begin{align*} & 　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x\ に\ \infty\ を代入}}\\ \lim_{x \rightarrow \infty}\ \dfrac{1}{x^2} & \textcolor{orange}{= \dfrac{1}{\infty^2}}\\\\ & \textcolor{orange}{= \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{\infty}$}} = \colorbox{lightcyan}{$0$} \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \dfrac{1}{x^3+1}

\begin{align*} & 　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x\ に\ -\infty\ を代入}}\\ \lim_{x \rightarrow -\infty}\ \dfrac{1}{x^3+1} & \textcolor{orange}{= \dfrac{1}{(-\infty)^3+1}}\\\\ & \textcolor{orange}{= \dfrac{1}{-\infty^3+1}}\\\\ & \textcolor{orange}{= \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{-\infty}$}}\\\\ & = \colorbox{lightcyan}{$0$} \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\ (x-x^3)

代入してみると

\lim_{x \rightarrow \infty}\ (x-x^3) = \infty-\infty^3 = \colorbox{red}{\textcolor{white}{$\infty-\infty$}}

$不定形\ \infty-\infty$ ⇒ 次数の高い項で因数分解！

\begin{align*} & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 次数の高い\ x^3\ で因数分解！}}\\ \lim_{x \rightarrow \infty}\ (x-x^3) & \textcolor{orange}{= \lim_{x \rightarrow \infty} x^3\left(\dfrac{x}{x^3}\ \dfrac{-\,x^3}{x^3}\right)}\\\\ & = \lim_{x \rightarrow \infty} x^3\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)\\ & 　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x\ に\ \infty\ を代入}}\\ & \textcolor{orange}{= \infty^3\left(\dfrac{1}{\infty^2}-1\right)}\\\\ & \textcolor{orange}{= \infty\left(\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{\infty}$}-1\right)}\\\\ & \textcolor{orange}{= \infty(\colorbox{lightcyan}{$0$}-1)}\\\\ & = -\infty \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\ (x^2+3x)

代入してみると

\lim_{x \rightarrow -\infty}\ (x^2+3x) =(-\infty)^2+3(-\infty) = \colorbox{red}{\textcolor{white}{$\infty-\infty$}}

$不定形\ \infty-\infty$ ⇒ 次数の高い項で因数分解！

\begin{align*} & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 次数の高い\ x^2\ で因数分解！}}\\ \lim_{x \rightarrow -\infty}\ (x^2+3x) & \textcolor{orange}{= \lim_{x \rightarrow -\infty} x^2\left(\dfrac{x^2}{x^2}\ \dfrac{+\,3\,x}{x^2}\right)}\\\\ & = \lim_{x \rightarrow \infty} x^2\left(1+\dfrac{3}{x}\right)\\ & 　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x\ に\ \infty\ を代入}}\\ & \textcolor{orange}{= \infty^2\left(1+\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{3}{\infty}$}\right)}\\\\ & \textcolor{orange}{= \infty(1+\colorbox{lightcyan}{$0$})}\\\\ & = \infty \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\ \dfrac{1}{x^2}

\begin{align*} & 　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x\ に\ -\infty\ を代入}}\\ \lim_{x \rightarrow -\infty}\ \dfrac{1}{x^2} & \textcolor{orange}{= \dfrac{1}{(-\infty)^2}}\\\\ & \textcolor{orange}{= \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{\infty}$}} = \colorbox{lightcyan}{$0$} \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\ \dfrac{1}{1-x^2}

\begin{align*} & 　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x\ に\ \infty\ を代入}}\\ \lim_{x \rightarrow \infty}\ \dfrac{1}{1-x^2} & \textcolor{orange}{= \dfrac{1}{1-\infty^2}}\\\\ & \textcolor{orange}{= \dfrac{1}{1-\infty}}\\\\ & \textcolor{orange}{= \colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{-\infty}$}}\\\\ & = \colorbox{lightcyan}{$0$} \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\ (x^2-2x)

代入してみると

\lim_{x \rightarrow \infty}\ (x^2-2x) = \infty^2-2\infty = \colorbox{red}{\textcolor{white}{$\infty-\infty$}}

$不定形\ \infty-\infty$ ⇒ 次数の高い項で因数分解！

\begin{align*} & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 次数の高い\ x^2\ で因数分解！}}\\ \lim_{x \rightarrow \infty}\ (x^2-2x) & \textcolor{orange}{= \lim_{x \rightarrow \infty} x^2\left(\dfrac{x^2}{x^2}\ \dfrac{-\,2\,x}{x^2}\right)}\\\\ & = \lim_{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\\ & 　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x\ に\ \infty\ を代入}}\\ & \textcolor{orange}{= \infty^2\left(1-\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{2}{\infty}$}\right)}\\\\ & \textcolor{orange}{= \infty(1-\colorbox{lightcyan}{$0$})}\\\\ & = \infty \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\ (x^3-x)

代入してみると

\lim_{x \rightarrow -\infty}\ (x^3-x) =(-\infty)^3-(-\infty) = \colorbox{red}{\textcolor{white}{$-\infty+\infty$}}

$不定形\ \infty-\infty$ ⇒ 次数の高い項で因数分解！

\begin{align*} & 　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 次数の高い\ x^3\ で因数分解！}}\\ \lim_{x \rightarrow -\infty}\ (x^3-x) & \textcolor{orange}{= \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3\left(\dfrac{x^3}{x^3}\ \dfrac{-\,x}{x^3}\right)}\\\\ & = \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\\ & 　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x\ に\ -\infty\ を代入}}\\ & \textcolor{orange}{= (-\infty)^3\left(1-\dfrac{1}{(-\infty)^2}\right)}\\\\ & \textcolor{orange}{= -\infty^3\left(1-\dfrac{1}{\infty^2}\right)}\\\\ & \textcolor{orange}{= -\infty\left(1-\colorbox{lightcyan}{$\dfrac{1}{\infty}$}\right)}\\\\ & \textcolor{orange}{= -\infty(1-\colorbox{lightcyan}{$0$})}\\\\ & = -\infty \end{align*}

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