極限値をもつように定数を定める

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の等式が成り立つように,定数 a,\ b の値を定めよ。

冒頭部分の考え方

代入すると \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-1} = \dfrac{a+b}{\small\bf\color{red}分母が0} になる。

 

そこで強制的に約分を発生させる!

 

\def\bunsi{a\sqrt{x}+b}
\def\bunbo{x-1}
\def\input{1}
\def\limit{2}

\begin{align*}
\small\lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\colorbox{lightcyan}{$\bunbo$}}\colorbox{lightcyan}{$\times (\bunbo)$}
&\small = \lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\bunbo} \colorbox{mistyrose}{$\times \displaystyle\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunbo)$}\\
\\
&\small = \limit \colorbox{mistyrose}{$\times 0$}\\
\color{red}\scriptsize\bf \Darr 左辺を約分して  \\
\small\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunsi) &\small = 0
\end{align*}

【解答】

\lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-1} = \colorbox{lightgreen}{$2$} \ \cdots\ ①

が成り立つとする。\colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}\ (x-1) = 0$} であるから

\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow 1}\ (a\sqrt{x}+b) &= 0\\
a\sqrt{1}+b &= 0\\
b &= -a\ \cdots\ ②
\end{align*}

このとき ②を①に代入して

\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-1}
&= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}-a}{x-1}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a(\sqrt{x}-1)}{x-1}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a}{\sqrt{x}+1}\\
\\
&= \dfrac{a}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{a}{2}
\end{align*}
\dfrac{a}{2} = \colorbox{lightgreen}{$2$} のとき①が成り立つから a=4

このとき,②から

b \textcolor{orange}{=-a} = -4

冒頭部分の考え方

代入すると \displaystyle\lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-2} = \dfrac{a+b}{\small\bf\color{red}分母が0} になる。

 

そこで強制的に約分を発生させる!

 

\def\bunsi{a\sqrt{x}+b}
\def\bunbo{x-2}
\def\input{2}
\def\limit{-1}

\begin{align*}
\small\lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\colorbox{lightcyan}{$\bunbo$}}\colorbox{lightcyan}{$\times (\bunbo)$}
&\small = \lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\bunbo} \colorbox{mistyrose}{$\times \displaystyle\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunbo)$}\\
\\
&\small = \limit \colorbox{mistyrose}{$\times 0$}\\
\color{red}\scriptsize\bf \Darr 左辺を約分して  \\
\small\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunsi) &\small = 0
\end{align*}

【解答】

\lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-2} = \colorbox{lightgreen}{$-1$} \ \cdots\ ①

が成り立つとする。\colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2}\ (x-2) = 0$} であるから

\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow 2}\ (a\sqrt{x}+b) &= 0\\
a\sqrt{2}+b &= 0\\
b &= -\sqrt{2}a\ \cdots\ ②
\end{align*}

このとき ②を①に代入して

\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-2}
&= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}-a\sqrt{2}}{x-2}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a(\sqrt{x}-\sqrt{2})}{x-2}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a(x-2)}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\\
\\
&= \dfrac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}}
\end{align*}
\dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \colorbox{lightgreen}{$-1$} のとき①が成り立つから a=-2\sqrt{2}

このとき,②から

b \textcolor{orange}{=-\sqrt{2}a} = -\sqrt{2} \cdot (-2\sqrt{2}) = 4

冒頭部分の考え方

代入すると \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}+b}{x} = \dfrac{2a+b}{\small\bf\color{red}分母が0} になる。

 

そこで強制的に約分を発生させる!

 

\def\bunsi{a\sqrt{x+4}+b}
\def\bunbo{x}
\def\input{0}
\def\limit{1}

\begin{align*}
\small\lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\colorbox{lightcyan}{$\bunbo$}}\colorbox{lightcyan}{$\times \bunbo$}
&\small = \lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\bunbo} \colorbox{mistyrose}{$\times \displaystyle\lim_{x \rightarrow \input}\ \bunbo$}\\
\\
&\small = \limit \colorbox{mistyrose}{$\times 0$}\\
\color{red}\scriptsize\bf \Darr 左辺を約分して  \\
\small\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunsi) &\small = 0
\end{align*}

【解答】

\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}+b}{x} = \colorbox{lightgreen}{$1$} \ \cdots\ ①

が成り立つとする。\colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ x = 0$} であるから

\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow 0}\ (a\sqrt{x+4}+b) &= 0\\
a\sqrt{4}+b &= 0\\
b &= -2a\ \cdots\ ②
\end{align*}

このとき ②を①に代入して

\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}+b}{x}
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}-2a}{x}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a(\sqrt{x+4}-2)}{x}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a(x+4-4)}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{ax}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\
\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a}{\sqrt{x+4}+2}\\
\\
&= \dfrac{a}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{a}{4}
\end{align*}
\dfrac{a}{4} = \colorbox{lightgreen}{$1$} のとき①が成り立つから a=4

このとき,②から

b \textcolor{orange}{=-2a} = -8
  • 20210925…初版公開。問題数3。

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