極限値をもつように定数を定める

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の等式が成り立つように，定数 $a,\ b$ の値を定めよ。

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-1} = 2

冒頭部分の考え方

代入すると $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-1} = \dfrac{a+b}{\small\bf\color{red}分母が0}$ になる。

そこで強制的に約分を発生させる！

\def\bunsi{a\sqrt{x}+b} \def\bunbo{x-1} \def\input{1} \def\limit{2} \begin{align*} \small\lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\colorbox{lightcyan}{$\bunbo$}}\colorbox{lightcyan}{$\times (\bunbo)$} &\small = \lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\bunbo} \colorbox{mistyrose}{$\times \displaystyle\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunbo)$}\\ \\ &\small = \limit \colorbox{mistyrose}{$\times 0$}\\ \color{red}\scriptsize\bf \Darr 左辺を約分して　 \\ \small\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunsi) &\small = 0 \end{align*}

【解答】

\lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-1} = \colorbox{lightgreen}{$2$} \ \cdots\ ①

が成り立つとする。 $\colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}\ (x-1) = 0$}$ であるから

\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1}\ (a\sqrt{x}+b) &= 0\\ a\sqrt{1}+b &= 0\\ b &= -a\ \cdots\ ② \end{align*}

このとき　②を①に代入して

\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-1} &= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a\sqrt{x}-a}{x-1}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a(\sqrt{x}-1)}{x-1}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{a}{\sqrt{x}+1}\\ \\ &= \dfrac{a}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{a}{2} \end{align*}

\dfrac{a}{2} = \colorbox{lightgreen}{$2$}

のとき①が成り立つから　

a=4

このとき，②から

b \textcolor{orange}{=-a} = -4

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-2} = -1

冒頭部分の考え方

代入すると $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-2} = \dfrac{a+b}{\small\bf\color{red}分母が0}$ になる。

そこで強制的に約分を発生させる！

\def\bunsi{a\sqrt{x}+b} \def\bunbo{x-2} \def\input{2} \def\limit{-1} \begin{align*} \small\lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\colorbox{lightcyan}{$\bunbo$}}\colorbox{lightcyan}{$\times (\bunbo)$} &\small = \lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\bunbo} \colorbox{mistyrose}{$\times \displaystyle\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunbo)$}\\ \\ &\small = \limit \colorbox{mistyrose}{$\times 0$}\\ \color{red}\scriptsize\bf \Darr 左辺を約分して　 \\ \small\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunsi) &\small = 0 \end{align*}

【解答】

\lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-2} = \colorbox{lightgreen}{$-1$} \ \cdots\ ①

が成り立つとする。 $\colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2}\ (x-2) = 0$}$ であるから

\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 2}\ (a\sqrt{x}+b) &= 0\\ a\sqrt{2}+b &= 0\\ b &= -\sqrt{2}a\ \cdots\ ② \end{align*}

このとき　②を①に代入して

\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}+b}{x-2} &= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a\sqrt{x}-a\sqrt{2}}{x-2}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a(\sqrt{x}-\sqrt{2})}{x-2}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a(x-2)}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 2}\ \dfrac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\\ \\ &= \dfrac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}} \end{align*}

\dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \colorbox{lightgreen}{$-1$}

のとき①が成り立つから　

a=-2\sqrt{2}

このとき，②から

b \textcolor{orange}{=-\sqrt{2}a} = -\sqrt{2} \cdot (-2\sqrt{2}) = 4

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}+b}{x} = 1

冒頭部分の考え方

代入すると $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}+b}{x} = \dfrac{2a+b}{\small\bf\color{red}分母が0}$ になる。

そこで強制的に約分を発生させる！

\def\bunsi{a\sqrt{x+4}+b} \def\bunbo{x} \def\input{0} \def\limit{1} \begin{align*} \small\lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\colorbox{lightcyan}{$\bunbo$}}\colorbox{lightcyan}{$\times \bunbo$} &\small = \lim_{x \rightarrow \input}\ \dfrac{\bunsi}{\bunbo} \colorbox{mistyrose}{$\times \displaystyle\lim_{x \rightarrow \input}\ \bunbo$}\\ \\ &\small = \limit \colorbox{mistyrose}{$\times 0$}\\ \color{red}\scriptsize\bf \Darr 左辺を約分して　 \\ \small\lim_{x \rightarrow \input}\ (\bunsi) &\small = 0 \end{align*}

【解答】

\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}+b}{x} = \colorbox{lightgreen}{$1$} \ \cdots\ ①

が成り立つとする。 $\colorbox{mistyrose}{$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ x = 0$}$ であるから

\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0}\ (a\sqrt{x+4}+b) &= 0\\ a\sqrt{4}+b &= 0\\ b &= -2a\ \cdots\ ② \end{align*}

このとき　②を①に代入して

\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}+b}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a\sqrt{x+4}-2a}{x}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a(\sqrt{x+4}-2)}{x}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a(x+4-4)}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{ax}{x(\sqrt{x+4}+2)}\\ \\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{a}{\sqrt{x+4}+2}\\ \\ &= \dfrac{a}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{a}{4} \end{align*}

\dfrac{a}{4} = \colorbox{lightgreen}{$1$}

のとき①が成り立つから　

a=4

このとき，②から

b \textcolor{orange}{=-2a} = -8

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