気になるところをタップして確認しましょう。
関数 f(x) において,x が a と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき,f(x) の値が一定の値 \alpha に限りなく近づくならば,この値 \alpha を
x \rightarrow a のときの f(x) の極限値
または
x \rightarrow \alpha のときの f(x) の極限
という。
このことを,次のように記号で表す。
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha
または
x \rightarrow a のとき f(x) \rightarrow \alpha

btakeshi
分かりにくいですね。その違和感はどこからくるのでしょうか。
例えば,関数 f(x)=x^2+2x において,x が 1 と異なる値をとりながら 1 に限りなく近づくとき,f(x) の値は f(1)=3 に近づきます。これはグラフをかけば分かります。つまり
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$1$}) = 3
が成り立ちます。実は,皆さんが学んできた関数の世界では,ほぼ以下の公式が成り立ちます。
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$a$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$a$})

btakeshi
つまり,a を代入するだけで極限値は求められるわけです。残念ながら代入するだけでは求められない以下のパターンは解法を身につける必要があります。まとめておきます。
- 代入すると分母が0になる ⇒ 因数分解か通分
- 代入すると分母0+ルート ⇒ 有理化!?
- 代入すると分母0 ⇒ \dfrac{定数}{0}=\infty
Happy Math-ing!
何度も解いて体で覚えましょう!
次の極限を求めよ。
代入してみると
\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4}-2}{\colorbox{mistyrose}{$x$}} &= \dfrac{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$0$}} \end{align*}
分母0+ルートがあるから有理化!?
\begin{align*} & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化!?}}\\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{(x+4)-4}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x$}}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ xを約分!}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4}+2}\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}+2}\\\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4} \end{align*}
代入してみると
\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3}-2}{\colorbox{mistyrose}{$x$}-1} &= \dfrac{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$1$}+3}-2}{\colorbox{lightcyan}{$1$}-1} &= \dfrac{\sqrt{4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$0$}} \end{align*}
分母0+ルートがあるから有理化!?
\begin{align*} & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化!?}}\\ \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\colorbox{lightgreen}{$x-1$}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x+3)-4}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\ &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x-1$}}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分!}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3}+2}\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$1$}+3}+2}\\\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4} \end{align*}
代入してみると
\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$4$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x$}-4}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}}-2} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$4$}-4}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$4$}}-2} &= \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}} \end{align*}
分母0+ルートがあるから有理化!?
\begin{align*} & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化!?}}\\ \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{x-4}{\colorbox{lightgreen}{$\sqrt{x}-2$}} &= \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$(\sqrt{x}-2)$}(\sqrt{x}+2)}\\ &= \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x-4)$}(\sqrt{x}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$x-4$}}\\ & \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-4を約分!}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$4$}} (\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$x$}}+2)\\ &= \sqrt{4}+2=2+2=4 \end{align*}
- 初版公開。問題数3。