気になるところをタップして確認しましょう。
関数 f(x) において，x が a と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき，f(x) の値が一定の値 \alpha に限りなく近づくならば，この値 \alpha を
x \rightarrow a のときの f(x) の極限値
または
x \rightarrow \alpha のときの f(x) の極限
という。
このことを，次のように記号で表す。
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alphaまたは
x \rightarrow a のとき f(x) \rightarrow \alpha
btakeshi
分かりにくいですね。その違和感はどこからくるのでしょうか。
例えば，関数 f(x)=x^2+2x において，x が 1 と異なる値をとりながら 1 に限りなく近づくとき，f(x) の値は f(1)=3 に近づきます。これはグラフをかけば分かります。つまり
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$1$}) = 3
が成り立ちます。実は，皆さんが学んできた関数の世界では，ほぼ以下の公式が成り立ちます。
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$a$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$a$})btakeshi
つまり，a を代入するだけで極限値は求められるわけです。残念ながら代入するだけでは求められない以下のパターンは解法を身につける必要があります。まとめておきます。
- 代入すると分母が０になる ⇒ 因数分解か通分
- 代入すると分母０＋ルート ⇒ 有理化！？
- 代入すると分母０ ⇒ \dfrac{定数}{0}=\infty
Happy Math-ing!
何度も解いて体で覚えましょう！
次の極限を求めよ。
代入してみると
\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4}-2}{\colorbox{mistyrose}{$x$}} &= \dfrac{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}分母０＋ルートがあるから有理化！？
\begin{align*}
& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\
\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{(x+4)-4}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x$}}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\
& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ xを約分！}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4}+2}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}+2}\\\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}
\end{align*}代入してみると
\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3}-2}{\colorbox{mistyrose}{$x$}-1} &= \dfrac{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$1$}+3}-2}{\colorbox{lightcyan}{$1$}-1} &= \dfrac{\sqrt{4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}分母０＋ルートがあるから有理化！？
\begin{align*}
& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\
\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\colorbox{lightgreen}{$x-1$}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x+3)-4}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x-1$}}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\
& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分！}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3}+2}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$1$}+3}+2}\\\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}
\end{align*}代入してみると
\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$4$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x$}-4}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}}-2} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$4$}-4}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$4$}}-2} &= \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}分母０＋ルートがあるから有理化！？
\begin{align*}
& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化！？}}\\
\lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{x-4}{\colorbox{lightgreen}{$\sqrt{x}-2$}} &= \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$(\sqrt{x}-2)$}(\sqrt{x}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x-4)$}(\sqrt{x}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$x-4$}}\\
& \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-4を約分！}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$4$}} (\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$x$}}+2)\\
&= \sqrt{4}+2=2+2=4
\end{align*}- 初版公開。問題数３。
