関数の極限を求める①分母0+ルート

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

関数 f(x) において,xa と異なる値をとりながら a に限りなく近づくときf(x) の値が一定の値 \alpha に限りなく近づくならば,この値 \alpha

x \rightarrow a のときの f(x)極限値

または

x \rightarrow \alpha のときの f(x)極限

という。

このことを,次のように記号で表す。

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha

または

x \rightarrow a のとき f(x) \rightarrow \alpha
btakeshi
btakeshi

分かりにくいですね。その違和感はどこからくるのでしょうか。
例えば,関数 f(x)=x^2+2x において,x1 と異なる値をとりながら 1 に限りなく近づくときf(x) の値は f(1)=3 に近づきます。これはグラフをかけば分かります。つまり

\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$1$}) = 3

が成り立ちます。実は,皆さんが学んできた関数の世界では,ほぼ以下の公式が成り立ちます。

\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$a$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$a$})
btakeshi
btakeshi

つまり,a代入するだけで極限値は求められるわけです。残念ながら代入するだけでは求められない以下のパターンは解法を身につける必要があります。まとめておきます。

  • 代入すると分母が0になる因数分解か通分
  • 代入すると分母0+ルート有理化!?
  • 代入すると分母0\dfrac{定数}{0}=\infty

Happy Math-ing!

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の極限を求めよ。

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4}-2}{\colorbox{mistyrose}{$x$}} &= \dfrac{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}

分母0+ルートがあるから有理化!?

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化!?}}\\
\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} &= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{(x+4)-4}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x$}}{\colorbox{lightgreen}{$x$}(\sqrt{x+4}+2)}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ xを約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4}+2}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}+2}\\\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}
\end{align*}

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3}-2}{\colorbox{mistyrose}{$x$}-1} &= \dfrac{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$1$}+3}-2}{\colorbox{lightcyan}{$1$}-1} &= \dfrac{\sqrt{4}-2}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}

分母0+ルートがあるから有理化!?

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化!?}}\\
\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\colorbox{lightgreen}{$x-1$}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x+3)-4}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x-1$}}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(\sqrt{x+3}+2)}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3}+2}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$1$}+3}+2}\\\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}
\end{align*}

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$4$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x$}-4}{\sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}}-2} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$4$}-4}{\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$4$}}-2} &= \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}

分母0+ルートがあるから有理化!?

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 有理化!?}}\\
\lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{x-4}{\colorbox{lightgreen}{$\sqrt{x}-2$}} &= \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$(\sqrt{x}-2)$}(\sqrt{x}+2)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 4} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x-4)$}(\sqrt{x}+2)}{\colorbox{lightgreen}{$x-4$}}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-4を約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$4$}} (\sqrt{\colorbox{lightcyan}{$x$}}+2)\\
&= \sqrt{4}+2=2+2=4
\end{align*}
  • 初版公開。問題数3。

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