関数の極限を求める①分母が０

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気になるところをタップして確認しましょう。

【定義】関数の極限値（または極限）

関数 $f(x)$ において， $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき， $f(x)$ の値が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくならば，この値 $\alpha$ を

$x \rightarrow a$ のときの $f(x)$ の極限値

または

$x \rightarrow \alpha$ のときの $f(x)$ の極限

という。

このことを，次のように記号で表す。

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha

または

x \rightarrow a　のとき　f(x) \rightarrow \alpha

btakeshi

分かりにくいですね。その違和感はどこからくるのでしょうか。
例えば，関数 $f(x)=x^2+2x$ において， $x$ が $1$ と異なる値をとりながら $1$ に限りなく近づくとき， $f(x)$ の値は $f(1)=3$ に近づきます。これはグラフをかけば分かります。つまり

$\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$1$}) = 3$

が成り立ちます。実は，皆さんが学んできた関数の世界では，ほぼ以下の公式が成り立ちます。

\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$a$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$a$})

btakeshi

つまり， $a$ を代入するだけで極限値は求められるわけです。残念ながら代入するだけでは求められない以下のパターンは解法を身につける必要があります。まとめておきます。

代入すると分母が０になる ⇒ 因数分解か通分
代入すると分母０＋ルート ⇒ 有理化！？
代入すると分母０ ⇒ $\dfrac{定数}{0}=\infty$

Happy Math-ing!

練習問題にチャレンジ！

何度も解いて体で覚えましょう！

次の極限を求めよ。

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}

代入してみると

\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}-1} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1^2$}-1}{\colorbox{lightcyan}{$1$}-1} = \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}} \end{align*}

分母が０になるから因数分解か通分！

\begin{align*} & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分子を因数分解！}}\\ \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^2-1}{\colorbox{lightgreen}{$x-1$}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x+1)\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}}\\ & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分！}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x$}+1)\\ &= \colorbox{lightcyan}{$1$} + 1\\ &= 2 \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{x^3+1}{x+1}

代入してみると

\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^3$}+1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}+1} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$(-1)^3$}+1}{\colorbox{lightcyan}{$-1$}+1} = \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}} \end{align*}

分母が０になるから因数分解か通分！

\begin{align*} & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分子を因数分解！}}\\ \lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{x^3+1}{\colorbox{lightgreen}{$x+1$}} &= \lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x+1)$}(x^2-x+1)}{\colorbox{lightgreen}{$(x+1)$}}\\ & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分！}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-\colorbox{mistyrose}{$x$}+1)\\ &= \colorbox{lightcyan}{$(-1)^2$}-\colorbox{lightcyan}{$(-1)$} + 1\\ &= 1+1+1=3 \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{x}\left(\dfrac12 - \dfrac{1}{2+x}\right)

代入してみると

\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}}\left(\dfrac12-\dfrac{1}{2+\colorbox{mistyrose}{$x$}}\right) = \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}\left(\dfrac12-\dfrac{1}{2+\colorbox{lightcyan}{$0$}}\right) \end{align*}

分母が０になるから因数分解か通分！

\begin{align*} & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ かっこ内を通分！}}\\ & \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}}\left(\dfrac12 - \dfrac{1}{2+x}\right)\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{1 \cdot (2+x)-1\cdot 2}{2(2+x)}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{2+x-2}{2(2+x)}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x$}}{2(2+x)}\\ & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ xを約分！}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \dfrac{1}{2(2+\colorbox{mistyrose}{$x$})}\\\\ &= \dfrac{1}{2(2+\colorbox{lightcyan}{$0$})}\\\\ &= \dfrac{1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4} \end{align*}

次の極限を求めよ。

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -3} \dfrac{x^2-9}{x+3}

代入してみると

\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-3$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-9}{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$(-3)^2$}-9}{\colorbox{lightcyan}{$-3$}+3} = \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}} \end{align*}

分母が０になるから因数分解か通分！

\begin{align*} & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分子を因数分解！}}\\ \lim_{x \rightarrow -3} \dfrac{x^2-9}{\colorbox{lightgreen}{$x+3$}} &= \lim_{x \rightarrow -3} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x+3)$}(x-3)}{\colorbox{lightgreen}{$(x+3)$}}\\ & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x+3を約分！}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-3$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x$}-3)\\\\ &= \colorbox{lightcyan}{$-3$} - 3 = -6 \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}\ \dfrac{x^3-1}{x^2-3x+2}

代入してみると

\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^3$}-1}{\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-3\colorbox{mistyrose}{$x$}+2} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1^3$}-1}{\colorbox{lightcyan}{$1^2$}-3 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 1$}+2} = \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}} \end{align*}

分母が０になるから因数分解か通分！

\begin{align*} & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母・分子を因数分解！}}\\ \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^3-1}{\colorbox{lightgreen}{$x^2-3x+2$}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(x^2+x+1)}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(x-2)}\\ & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分！}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}}\ \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^2$}+\colorbox{mistyrose}{$x$}+1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}-2}\\\\ &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1^2$}+\colorbox{lightcyan}{$1$} + 1}{\colorbox{lightcyan}{$1$}-2}\\\\ &= \dfrac{3}{-1} = -3 \end{align*}

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a+x}\right)

代入してみると

\begin{align*} \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+\colorbox{mistyrose}{$x$}}\right) = \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+\colorbox{lightcyan}{$0$}}\right) \end{align*}

分母が０になるから因数分解か通分！

\begin{align*} & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ かっこ内を通分！}}\\ & \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}}\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a+x}\right)\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{1 \cdot (a+x)-1\cdot a}{a(a+x)}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{a+x-a}{a(a+x)}\\\\ &= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x$}}{a(a+x)}\\ & 　　　\textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ xを約分！}}\\ &= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \dfrac{1}{a(a+\colorbox{mistyrose}{$x$})}\\\\ &= \dfrac{1}{a(a+\colorbox{lightcyan}{$0$})}\\\\ &= \dfrac{1}{a \cdot a} = \dfrac{1}{a^2} \end{align*}

編集ログ

20210829…初版公開。問題数６。

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