関数の極限を求める①分母が0

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

関数 f(x) において,xa と異なる値をとりながら a に限りなく近づくときf(x) の値が一定の値 \alpha に限りなく近づくならば,この値 \alpha

x \rightarrow a のときの f(x)極限値

または

x \rightarrow \alpha のときの f(x)極限

という。

このことを,次のように記号で表す。

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha

または

x \rightarrow a のとき f(x) \rightarrow \alpha
btakeshi
btakeshi

分かりにくいですね。その違和感はどこからくるのでしょうか。
例えば,関数 f(x)=x^2+2x において,x1 と異なる値をとりながら 1 に限りなく近づくときf(x) の値は f(1)=3 に近づきます。これはグラフをかけば分かります。つまり

\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$1$}) = 3

が成り立ちます。実は,皆さんが学んできた関数の世界では,ほぼ以下の公式が成り立ちます。

\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$a$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$a$})
btakeshi
btakeshi

つまり,a代入するだけで極限値は求められるわけです。残念ながら代入するだけでは求められない以下のパターンは解法を身につける必要があります。まとめておきます。

  • 代入すると分母が0になる因数分解か通分
  • 代入すると分母0+ルート有理化!?
  • 代入すると分母0\dfrac{定数}{0}=\infty

Happy Math-ing!

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の極限を求めよ。

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}-1} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1^2$}-1}{\colorbox{lightcyan}{$1$}-1} = \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}

分母が0になるから因数分解か通分!

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分子を因数分解!}}\\
\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^2-1}{\colorbox{lightgreen}{$x-1$}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x+1)\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x$}+1)\\
&= \colorbox{lightcyan}{$1$} + 1\\
&= 2
\end{align*}

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^3$}+1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}+1} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$(-1)^3$}+1}{\colorbox{lightcyan}{$-1$}+1} = \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}

分母が0になるから因数分解か通分!

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分子を因数分解!}}\\
\lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{x^3+1}{\colorbox{lightgreen}{$x+1$}} &= \lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x+1)$}(x^2-x+1)}{\colorbox{lightgreen}{$(x+1)$}}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-\colorbox{mistyrose}{$x$}+1)\\
&= \colorbox{lightcyan}{$(-1)^2$}-\colorbox{lightcyan}{$(-1)$} + 1\\
&= 1+1+1=3
\end{align*}

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}}\left(\dfrac12-\dfrac{1}{2+\colorbox{mistyrose}{$x$}}\right) = \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}\left(\dfrac12-\dfrac{1}{2+\colorbox{lightcyan}{$0$}}\right)
\end{align*}

分母が0になるから因数分解か通分!

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ かっこ内を通分!}}\\
& \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}}\left(\dfrac12 - \dfrac{1}{2+x}\right)\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{1 \cdot (2+x)-1\cdot 2}{2(2+x)}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{2+x-2}{2(2+x)}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x$}}{2(2+x)}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ xを約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \dfrac{1}{2(2+\colorbox{mistyrose}{$x$})}\\\\
&= \dfrac{1}{2(2+\colorbox{lightcyan}{$0$})}\\\\
&= \dfrac{1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4}
\end{align*}

次の極限を求めよ。

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-3$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-9}{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$(-3)^2$}-9}{\colorbox{lightcyan}{$-3$}+3} = \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}

分母が0になるから因数分解か通分!

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分子を因数分解!}}\\
\lim_{x \rightarrow -3} \dfrac{x^2-9}{\colorbox{lightgreen}{$x+3$}} &= \lim_{x \rightarrow -3} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x+3)$}(x-3)}{\colorbox{lightgreen}{$(x+3)$}}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x+3を約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-3$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x$}-3)\\\\
&= \colorbox{lightcyan}{$-3$} - 3 = -6
\end{align*}

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^3$}-1}{\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-3\colorbox{mistyrose}{$x$}+2} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1^3$}-1}{\colorbox{lightcyan}{$1^2$}-3 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 1$}+2} = \dfrac{0}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}
\end{align*}

分母が0になるから因数分解か通分!

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ 分母・分子を因数分解!}}\\
\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^3-1}{\colorbox{lightgreen}{$x^2-3x+2$}} &= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(x^2+x+1)}{\colorbox{lightgreen}{$(x-1)$}(x-2)}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ x-1を約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}}\ \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x^2$}+\colorbox{mistyrose}{$x$}+1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}-2}\\\\
&= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$1^2$}+\colorbox{lightcyan}{$1$} + 1}{\colorbox{lightcyan}{$1$}-2}\\\\
&= \dfrac{3}{-1} = -3
\end{align*}

代入してみると

\begin{align*}
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}} \dfrac{1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+\colorbox{mistyrose}{$x$}}\right) = \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$0$}}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+\colorbox{lightcyan}{$0$}}\right)
\end{align*}

分母が0になるから因数分解か通分!

\begin{align*}
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ かっこ内を通分!}}\\
& \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}}\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a+x}\right)\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{1 \cdot (a+x)-1\cdot a}{a(a+x)}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{a+x-a}{a(a+x)}\\\\
&= \lim_{x \rightarrow 0}\ \dfrac{1}{\colorbox{lightgreen}{$x$}} \times \dfrac{\colorbox{lightgreen}{$x$}}{a(a+x)}\\
&    \textcolor{orange}{\phase{\footnotesize\ xを約分!}}\\
&= \lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \dfrac{1}{a(a+\colorbox{mistyrose}{$x$})}\\\\
&= \dfrac{1}{a(a+\colorbox{lightcyan}{$0$})}\\\\
&= \dfrac{1}{a \cdot a} = \dfrac{1}{a^2}
\end{align*}
  • 20210829…初版公開。問題数6。

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