関数の極限を求める①代入のみ

ポイントを確認!

気になるところをタップして確認しましょう。

関数 f(x) において,xa と異なる値をとりながら a に限りなく近づくときf(x) の値が一定の値 \alpha に限りなく近づくならば,この値 \alpha

x \rightarrow a のときの f(x)極限値

または

x \rightarrow \alpha のときの f(x)極限

という。

このことを,次のように記号で表す。

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha

または

x \rightarrow a のとき f(x) \rightarrow \alpha
btakeshi
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分かりにくいですね。その違和感はどこからくるのでしょうか。
例えば,関数 f(x)=x^2+2x において,x1 と異なる値をとりながら 1 に限りなく近づくときf(x) の値は f(1)=3 に近づきます。これはグラフをかけば分かります。つまり

\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$1$}) = 3

が成り立ちます。実は,皆さんが学んできた関数の世界では,ほぼ以下の公式が成り立ちます。

\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$a$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$a$})
btakeshi
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つまり,a代入するだけで極限値は求められるわけです。残念ながら代入するだけでは求められない以下のパターンは解法を身につける必要があります。まとめておきます。

  • 代入すると分母が0になる因数分解か通分
  • 代入すると分母0+ルート有理化!?
  • 代入すると分母0\dfrac{定数}{0}=\infty

Happy Math-ing!

\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$}\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \colorbox{lightcyan}{$g(x)$} = \colorbox{lightcyan}{$\beta$} とする。

 

  1. \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} k \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} = k \colorbox{mistyrose}{$\alpha$}   ただし,k は定数
     
  2. \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$} + \colorbox{lightcyan}{$g(x)$}\right\} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} + \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
    \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$} - \colorbox{lightcyan}{$g(x)$}\right\} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} - \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
     
  3. \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} \times \colorbox{lightcyan}{$g(x)$} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} \times \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
     
  4. \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$}}{\colorbox{lightcyan}{$g(x)$}} = \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\alpha$}}{\colorbox{lightcyan}{$\beta$}}    ただし,\beta \neq 0

btakeshi
btakeshi

たくさん公式があって大変そうですが,使いながら身につけていきましょう。

 

①②の性質をまとめて線形性といいます。一般的に線形性は以下のように1つの式で表現します。

\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{ a \colorbox{mistyrose}{$f(x)$}+b \colorbox{lightcyan}{$g(x)$} \right\} = a \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} + b \colorbox{lightcyan}{$\beta$}

練習問題にチャレンジ!

何度も解いて体で覚えましょう!

次の極限を求めなさい。

\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$2$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x^2$}+3\colorbox{mistyrose}{$x$}-4) &= \colorbox{lightcyan}{$2^2$}+3 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 2$} -4\\
&= 4+6-4\\
&= 6
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}}\ \dfrac{2\colorbox{mistyrose}{$x$}+1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3} &= \dfrac{2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot (-1)$}+1}{\colorbox{lightcyan}{$-1$}+3}\\
&= \dfrac{-1}{2}\\
&= -\dfrac12
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4} &= \sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}\\
&= \sqrt{4} \textcolor{orange}{=\sqrt{2^2}}\\
&= 2
\end{align*}

次の極限を求めなさい。

\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}}\ (2\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-3\colorbox{mistyrose}{$x$}-1) &= 2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 1^2$}-3 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 1$} -1\\
&= 2-3-1\\
&= -2
\end{align*}
\begin{align*}
& \textcolor{white}{=} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-2$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x$}-3)(\colorbox{mistyrose}{$x$}+2)\\
&= (\colorbox{lightcyan}{$-2$}-3)(\colorbox{lightcyan}{$-2$} +2)\\
&= -5 \cdot 0\\
&= 0
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x$}+1}{2\colorbox{mistyrose}{$x$}-3} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$0$}+1}{2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 0$}-3}\\
&= \dfrac{1}{-3}\\
&= -\dfrac13
\end{align*}
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}}\ \sqrt{1-\colorbox{mistyrose}{$x$}} &= \sqrt{1-\colorbox{lightcyan}{$(-1)$}}\\
&= \sqrt{2}
\end{align*}
  • 20210829…初版公開。問題数7。

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