気になるところをタップして確認しましょう。
関数 f(x) において,x が a と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき,f(x) の値が一定の値 \alpha に限りなく近づくならば,この値 \alpha を
x \rightarrow a のときの f(x) の極限値
または
x \rightarrow \alpha のときの f(x) の極限
という。
このことを,次のように記号で表す。
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alpha
または
x \rightarrow a のとき f(x) \rightarrow \alpha

分かりにくいですね。その違和感はどこからくるのでしょうか。
例えば,関数 f(x)=x^2+2x において,x が 1 と異なる値をとりながら 1 に限りなく近づくとき,f(x) の値は f(1)=3 に近づきます。これはグラフをかけば分かります。つまり
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$1$}) = 3
が成り立ちます。実は,皆さんが学んできた関数の世界では,ほぼ以下の公式が成り立ちます。
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$a$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$a$})

つまり,a を代入するだけで極限値は求められるわけです。残念ながら代入するだけでは求められない以下のパターンは解法を身につける必要があります。まとめておきます。
- 代入すると分母が0になる ⇒ 因数分解か通分
- 代入すると分母0+ルート ⇒ 有理化!?
- 代入すると分母0 ⇒ \dfrac{定数}{0}=\infty
- \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} k \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} = k \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} ただし,k は定数
- \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$} + \colorbox{lightcyan}{$g(x)$}\right\} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} + \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$} - \colorbox{lightcyan}{$g(x)$}\right\} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} - \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
- \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} \times \colorbox{lightcyan}{$g(x)$} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} \times \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
- \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$}}{\colorbox{lightcyan}{$g(x)$}} = \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\alpha$}}{\colorbox{lightcyan}{$\beta$}} ただし,\beta \neq 0

たくさん公式があって大変そうですが,使いながら身につけていきましょう。
①②の性質をまとめて線形性といいます。一般的に線形性は以下のように1つの式で表現します。
\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{ a \colorbox{mistyrose}{$f(x)$}+b \colorbox{lightcyan}{$g(x)$} \right\} = a \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} + b \colorbox{lightcyan}{$\beta$}何度も解いて体で覚えましょう!
次の極限を求めなさい。
\begin{align*} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$2$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x^2$}+3\colorbox{mistyrose}{$x$}-4) &= \colorbox{lightcyan}{$2^2$}+3 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 2$} -4\\ &= 4+6-4\\ &= 6 \end{align*}
\begin{align*} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}}\ \dfrac{2\colorbox{mistyrose}{$x$}+1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3} &= \dfrac{2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot (-1)$}+1}{\colorbox{lightcyan}{$-1$}+3}\\ &= \dfrac{-1}{2}\\ &= -\dfrac12 \end{align*}
\begin{align*} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4} &= \sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}\\ &= \sqrt{4} \textcolor{orange}{=\sqrt{2^2}}\\ &= 2 \end{align*}
次の極限を求めなさい。
\begin{align*} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}}\ (2\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-3\colorbox{mistyrose}{$x$}-1) &= 2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 1^2$}-3 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 1$} -1\\ &= 2-3-1\\ &= -2 \end{align*}
\begin{align*} & \textcolor{white}{=} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-2$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x$}-3)(\colorbox{mistyrose}{$x$}+2)\\ &= (\colorbox{lightcyan}{$-2$}-3)(\colorbox{lightcyan}{$-2$} +2)\\ &= -5 \cdot 0\\ &= 0 \end{align*}
\begin{align*} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x$}+1}{2\colorbox{mistyrose}{$x$}-3} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$0$}+1}{2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 0$}-3}\\ &= \dfrac{1}{-3}\\ &= -\dfrac13 \end{align*}
\begin{align*} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}}\ \sqrt{1-\colorbox{mistyrose}{$x$}} &= \sqrt{1-\colorbox{lightcyan}{$(-1)$}}\\ &= \sqrt{2} \end{align*}
- 20210829…初版公開。問題数7。