気になるところをタップして確認しましょう。
関数 f(x) において，x が a と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき，f(x) の値が一定の値 \alpha に限りなく近づくならば，この値 \alpha を
x \rightarrow a のときの f(x) の極限値
または
x \rightarrow \alpha のときの f(x) の極限
という。
このことを，次のように記号で表す。
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \alphaまたは
x \rightarrow a のとき f(x) \rightarrow \alpha
btakeshi
分かりにくいですね。その違和感はどこからくるのでしょうか。
例えば，関数 f(x)=x^2+2x において，x が 1 と異なる値をとりながら 1 に限りなく近づくとき，f(x) の値は f(1)=3 に近づきます。これはグラフをかけば分かります。つまり
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$1$}) = 3
が成り立ちます。実は，皆さんが学んできた関数の世界では，ほぼ以下の公式が成り立ちます。
\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$a$}} f(\colorbox{mistyrose}{$x$}) = f(\colorbox{lightcyan}{$a$})btakeshi
つまり，a を代入するだけで極限値は求められるわけです。残念ながら代入するだけでは求められない以下のパターンは解法を身につける必要があります。まとめておきます。
- 代入すると分母が０になる ⇒ 因数分解か通分
- 代入すると分母０＋ルート ⇒ 有理化！？
- 代入すると分母０ ⇒ \dfrac{定数}{0}=\infty
Happy Math-ing!
\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$}，\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \colorbox{lightcyan}{$g(x)$} = \colorbox{lightcyan}{$\beta$} とする。
- \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} k \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} = k \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} ただし，k は定数
- \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$} + \colorbox{lightcyan}{$g(x)$}\right\} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} + \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$} - \colorbox{lightcyan}{$g(x)$}\right\} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} - \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
- \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \colorbox{mistyrose}{$f(x)$} \times \colorbox{lightcyan}{$g(x)$} = \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} \times \colorbox{lightcyan}{$\beta$}
- \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$f(x)$}}{\colorbox{lightcyan}{$g(x)$}} = \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$\alpha$}}{\colorbox{lightcyan}{$\beta$}} ただし，\beta \neq 0
btakeshi
たくさん公式があって大変そうですが，使いながら身につけていきましょう。
①②の性質をまとめて線形性といいます。一般的に線形性は以下のように１つの式で表現します。
\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \left\{ a \colorbox{mistyrose}{$f(x)$}+b \colorbox{lightcyan}{$g(x)$} \right\} = a \colorbox{mistyrose}{$\alpha$} + b \colorbox{lightcyan}{$\beta$}何度も解いて体で覚えましょう！
次の極限を求めなさい。
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$2$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x^2$}+3\colorbox{mistyrose}{$x$}-4) &= \colorbox{lightcyan}{$2^2$}+3 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 2$} -4\\
&= 4+6-4\\
&= 6
\end{align*}\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}}\ \dfrac{2\colorbox{mistyrose}{$x$}+1}{\colorbox{mistyrose}{$x$}+3} &= \dfrac{2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot (-1)$}+1}{\colorbox{lightcyan}{$-1$}+3}\\
&= \dfrac{-1}{2}\\
&= -\dfrac12
\end{align*}\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \sqrt{\colorbox{mistyrose}{$x$}+4} &= \sqrt{\colorbox{lightcyan}{$0$}+4}\\
&= \sqrt{4} \textcolor{orange}{=\sqrt{2^2}}\\
&= 2
\end{align*}次の極限を求めなさい。
\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$1$}}\ (2\colorbox{mistyrose}{$x^2$}-3\colorbox{mistyrose}{$x$}-1) &= 2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 1^2$}-3 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 1$} -1\\
&= 2-3-1\\
&= -2
\end{align*}\begin{align*}
& \textcolor{white}{=} \displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-2$}}\ (\colorbox{mistyrose}{$x$}-3)(\colorbox{mistyrose}{$x$}+2)\\
&= (\colorbox{lightcyan}{$-2$}-3)(\colorbox{lightcyan}{$-2$} +2)\\
&= -5 \cdot 0\\
&= 0
\end{align*}\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$0$}}\ \dfrac{\colorbox{mistyrose}{$x$}+1}{2\colorbox{mistyrose}{$x$}-3} &= \dfrac{\colorbox{lightcyan}{$0$}+1}{2 \colorbox{lightcyan}{$\cdot 0$}-3}\\
&= \dfrac{1}{-3}\\
&= -\dfrac13
\end{align*}\begin{align*}
\displaystyle\lim_{\colorbox{mistyrose}{\footnotesize$x$} \rightarrow \colorbox{lightcyan}{\footnotesize$-1$}}\ \sqrt{1-\colorbox{mistyrose}{$x$}} &= \sqrt{1-\colorbox{lightcyan}{$(-1)$}}\\
&= \sqrt{2}
\end{align*}- 20210829…初版公開。問題数７。
